1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第三章第三章 3.2 复数的运算复数的运算 第第1课时课时 复数的加法和减法复数的加法和减法 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 实数可以进行加、减运算，那么复数可以进 行加、减运算吗？怎样计算呢？其结果是怎 样一个数呢？下面我们来学习复数的加、减 运算. 1.实数加法的交换律：_ 结合律：_. 2复数zabi(a，bR)与复平面内的点 _及以原点为起点，_为终 点的_相对应，它们之间的对应都是 _的关系 答案：1.abba (ab)ca(bc) 2Z(a，
2、b) Z(a，b) 向量OZ 一一对应 一 复数的加法 1加法法则 设 z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)是任意两个复数， 规定 z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 即两个复数相加， 就是实部与实部、 虚部与虚部分别相加， 显然两个复数的和仍然是复数 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即 z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，znanbni，则 z1z2zn(a1a2an)(b1b2bn)i. 2加法运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的 z1、z2、z3 C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 已知复数z134i
3、，z234i，则z1z2 ( ) A8i B6 C68i D68i 答案 B 解析 z1z2(34i)(34i)6. 二 复数的减法 1相反数 已知复数abi(a，bR)，根据复数加法的 定义，存在唯一的复数abi，使(abi) (abi)0.其中abi叫做abi的相反 数 2减法运算法则 规定两个复数的减法法则，设z1abi，z2 cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数， 则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与 虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个 复数 计算：(2x3yi)(3x2yi)(y2xi)3xi _. 答案 (yx)(5y5
4、x)i 解析 (2x3yi)(3x2yi)(y2xi)3xi (2x3xy)(3yi2yi2xi3xi)(yx) (5y5x)i. 三 复数加法与减法的几何意义 复数可以用向量来表示，已知复数 z1x1y1i(x1、y1R)， z2x2y2i(x2、y2R)，其对应的向量OZ1 (x1，y1)，OZ2 (x2， y2)，如图 1，且OZ1 和OZ2 不共线，以 OZ1和 OZ2为两条邻边作 平行四边形 OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线 OZ 所对应 的向量OZ OZ1 OZ2 ，而OZ1 OZ2 所对应的坐标是(x1x2，y1 y2)，这正是两个复数之和 z1z2所对应的有序实数对 复
5、数的减法是加法的逆运算， 如图 2， 复数 z1z2与向量OZ1 OZ2 (等于Z2Z1 )对应，这就是复数减法的几何意义 注意：1.根据复数加减法的几何意义知，两 个复数对应向量的和向量所对应的复数就是 这两个复数的和；两个复数对应向量的差向 量所对应的复数就是这两个复数的差 2求两个复数对应向量的和，可使用平行四 边形法则或三角形法则 3在确定两复数的差所对应的向量时，应按 照三角形法则进行 拓展 由复数加减运算的几何意义可得出： |z1|z2|z1 z2|z1|z2|. 复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5 2i，则由A、B、C所构成的三角形形状是 _ 答案 直角三角形 解析
6、|AB |2i1| 5， |AC |(52i)1|42i|2 5， |BC |(52i)2i|5|5. 且|AB |2|AC |2|BC |2，ABC 为直角三角形 四 数形结合思想的应用 由于复数与向量的对应关系，因此在解决复 数的加、减运算及有关复数模的问题时，可 通过数形结合的方法解决由复数模的几何 意义可得出如下结论： 在复平面内，z1、z2对应的点A、B，z1z2 对应的点为C，O为坐标原点 (1)A，B两点间距离d|z1z2|. (2)四边形OACB为平行四边形 (3)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩 形 (4)若|z1|z2|，则四边形OABC为菱形 (5)若|z1
7、|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB为正方形 已知z1、z2C，求证：|z1| |z2|z1z2|z1|z2|. 解析 如图所示，根据复数加、减法的几何意义，令 z1、 z2分别对应向量AB 、AD ， 则向量AC 、DB 分别对应复数 z1z2，z1z2. |AB |BC |AC |AB |BC |，|z1|z2|z1z2|z1| |z2|. 又|AB |AD |DB |AB |AD | |z1|z2|z1z2|z1|z2|. 故|z1|z2|z1 z2|z1|z2|. 课堂典例探究课堂典例探究 计算： (1)(23i)(5i)； (2)(abi)(2a3bi)3i(a、bR
8、) 复数的加、减运算 解析 (1)原式(25)(31)i32i. (2)原式(a2a)b(3b)3i a(4b3)i. 方法总结 两个复数相加(减)， 将两个复数的实部与实部 相加(减)，虚部与虚部相加(减) 计算：(1)(35i)(4i)(34i)； (2)(1 2i)(1 2i) 解析 (1)原式(343)(514)i410i. (2)原式(11)( 2 2)i0. 复数加、减法的几何意义 已知复平面内平行四边形 ABCD，A 点对应的复 数为 2i，向量BA 对应的复数为 12i，向量BC 对应的复数为 3i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积 解题
9、提示 (1)先求出AC 对应的复数， 进而求出OC ， AD 对 应的复数，可求出点 C，D 对应的复数 (2)根据向量知识求平行四边形 ABCD 的面积 解析 (1)向量BA 对应的复数为 12i，向量BC 对应的 复数为 3i. 向量AC 对应的复数为(3i)(12i)23i. 又OC OA AC ， 点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i. AD BC ，向量AD 对应的复数为 3i. 即AD (3，1) 设 D(x，y)，则AD (x2，y1)(3，1)， x23， y11， 解得 x5， y0， 点 D 对应的复数为 5. (2)BA BC |BA |BC|cosB， cosB
10、 BA BC |BA |BC | 32 5 10 1 5 2 2 10 . sinB 7 5 2 7 2 10 . S|BA |BC |sinB 5 107 2 10 7， 平行四边形 ABCD 的面积为 7. 方法总结 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四 边形法则 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数 分别为 0,32i，24i，试求：(1)AO 表示的复数；(2)CA 表示 的复数；(3)B 点对应的复数 解析 (1)AO OA ， AO 表示的复数为(32i)，即32i. (2)CA OA OC ， CA 表示的复数为(32i)(24i)52i. (3)OB
11、OA AB OA OC ， OB 表示的复数为(32i)(24i)16i， 即 B 点对应的复数为 16i. 复平面内轨迹的求法 已知|z|r(r0)，求2z34i对应 的点的轨迹 解题提示 设2z34ixyi(x，yR)， 确定x，y的关系式 解析 令z12z34i xyi(x，yR)， 则2zx3(y4)i， |2z|x3(y4)i|2r， (x3)2(y4)24r2， z1对应的点的轨迹是以(3，4)为圆心， 2r为径的圆 方法总结 求复平面上轨迹方程常有两种方 法：一是直接法，通过设zxyi(x，yR) 直接寻求x，y之间的关系；二是整体代换法， 通过转化变形利用基本轨迹方程代入求解
12、常见的复数轨迹方程有以下几种： (1)|zz1|r，表示复数z对应的点的轨迹是 以z1对应的点为圆心，半径为r的圆 (2)|zz1|zz2|，表示以复数z1、z2的对 应点为端点的线段的垂直平分线 (3)|zz1|zz2|2a(2a|z1z2|)，表示 以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆 (4)|zz1|zz2|2a(02a|z1z2|)，表 示以复数z1，z2的对应点为焦点的双曲线 在复平面内，若复数z满足|z1|z1|4， 则z在复平面内对应的点的轨迹是_， 其方程为_ 答案 以(1,0)，(1,0)为焦点，以 4 为实轴长的椭圆x 2 4 y2 3 1 解析 根据模的几何意义， 复数
13、z 在复平面内对应的点到 两定点(1,0)， (1,0)的距离之和为定值 4， 故其轨迹是以(1,0)， (1,0)为焦点，以 4 为实轴长的椭圆. 满足条件|z2i|z1| 5的点 Z 的轨迹是 ( ) A椭圆 B直线 C线段 D圆 误解 根据复数减法的几何意义，可知上式的几何意义 是到点(0，2)与点(1,0)的距离之和为 5的点的集合根据 椭圆的几何意义可知轨迹为椭圆，所以选 A. 辨析 因为两定点之间的距离为 5，所以点 Z 的轨迹不 可能是一个椭圆，误解忽略了椭圆定义中的条件，即到两定点 距离之和大于两定点间的距离 正解 根据复数减法的几何意义，可知上式的几何意义 是到点(0，2)与点(1,0)的距离之和为 5的点的集合因为 点(0，2)与点(1,0)之间的距离等于 5，根据椭圆定义中的 特殊情况可以判定， 点的轨迹应该为一条连结点(0， 2)与点( 1,0)的线段，所以选 C. 复数的加 法和减法 复数的加法了解 法则 运算律 几何意义 复数的减法了解 相反数 法则 几何意义
