1、平面向量等和线法平面向量等和线法为什么要研究这个专题？1、平面向量由于其与代数，几何均有相当高的融合性，常与这两者有机结合，进行考查，综合性强，难度大。2、向量的表示以及数乘运算是B级考点，而此类题型的考查常会与向量的数量积、不等式等C级考点结合，考试要求高。3、课本上有多处出现了“等和线”的基本题型，其理论基础多次被提及。4、此类题目要求学生在数形结合，转化化归等数学思想上有很高的理解，对于此类题目学生普遍束手无策。5、最近3年高考中，每年至少有2道此类题目出现，模拟题中更数不胜数，故有必要进行一个此专题的讲解。高考真题高考真题2013安徽（理）、2013江苏、2013北京（文）、2014天
2、津、2014陕西、2015新课标（理）、2015北京（理）的轨迹方程，求点且其中，满足若点是坐标原点已知CROBOAOCCBAO1,.3,1,1,3,苏教版必修4,P77,题11课本溯源课本溯源诸如此类的已知图形求系数和或者已知系数和求图形的题目在历年的真题与模拟题中屡见不鲜。学生在解决此类问题时，往往要通过建系或者利用角度与数量积处理，思路不清晰且解题繁琐，得分率普遍不高。故特地做此专题，希望能给出一个简单的方法解决此类问题。等和线的理论基础等和线的理论基础章节2.2.3 例41:.1,OBOAOCCBACABCOAB求证上的一点，为直线中章节2.3.2例3的坐标求点上一点，且是直线已知PP
3、PPPPPPyxPyxP,2121222111定比分点公式结论：当三个向量共起点时，以其中两个向量作为基底来表示第三条向量，若三个向量终点共线，我们可得基底的系数和为1，反之也成立。等和线的证明等和线的证明ODOByOAxOByOAxOCODOC，那么若yxyx即,1深入研究进一步探究,/DABOCClABlC，连接上任作一点在点作直线过对应的系数和依然为为基底时，同理可得，以,OCOBOA负。在起点的两侧时，值为比，若等和线与到等和线的距离成正线”。值的大小与起点，我们称之为“等和数和为定值，这样的线的向量，其基底的系的直线上面的点为终点平行下，所有以与在向量起点相同的前提ABAB结论结论典
4、型例题：典型例题：._)().2013(1的取值范围是），则，（的动点，设包括边界内是中，如图，正六边形南通二模、例RAFABAPCDEPABCDEF解析：解析：4,3,1AMADAMANDECCDEPkBF点的等和线是最远的是最近的等和线，过内时，在的等和线，为._,321)14)(2009(2的最大值是则上变动，若为圆心的圆弧在以，如图所示，点，它们的夹角为和量的平面向给定两个长度为理安徽、例yxRyxOByOAxOCABOCOBOA2maxkkAB结合角度，不难得到最大圆心最远，即此时取得平行的直线中，切线离所有与解析：解析：典型例题：典型例题：思考：如果起点不同，是否能用“等和线”做呢
5、？我们高中阶段研究的是自由向量，向量是可以任意平移的。在使用等和线解题的时候，若是起点不同一定要将向量平移到起点重合。实际上，对于向量而言，若起点没有约束，单纯研究终点是没有任何意义的。典型例题典型例题._,32,21,)10(20133212121的值为则，若上的点，的边分别是设江苏、例RACABDEBCBEABADBCABABCED2121的中位线，因此为，即易知，的延长线交于点与，设作过点BCDFFHAFHBCAFDEAFA解析：解析：思考：思考：若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等
6、操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和._33)17(20134的取值范围是则，上的一个动点，若为弧，中，如图，在扇形杭州一模、例yxOByOAxOCABCAOBOAB典型例题典型例题3,131,3,33的取值范围是的等和线，所以系数和是最近跟最远的等和线，这两个分别点时，经过在的等和线，点时，经过在为基底。显然，当，那么则要考虑以向量令kkBCkACOBOAOBOBOByOAxOC解析：解析：课后巩固：课后巩固：._cos,12,4,3)(20143._,120,2,2)13)(12013(2._.,14)(20091BA
7、CyxACyABxAOyxACABABCOACABAOBACaACaABABCORAFAEACBCCDFEABCD则且，使得存在非零实数若的外心，且是已知点宁波一模、最小值为则若的外心，是已知点高考考前指导卷苏州大学、则其中的中点，若和分别是边和中，在平行四边形文安徽、思考：思考：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用等和线呢？._,132011的最小值为则设一点，为半径的圆弧上的任意为圆心，为以的中点，为中，如图，在正方形苏州一模APDEACABAPABEABCD思考这个问题，下节课一起探讨：思考这个问题，下节课一起探讨：本专题存在的意义：本专题存在的意义：1、等和线法巧妙的将代数问题转化为了图形的关系，将具体的代数式运算转化为了距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。2、等和线法将复杂的不等式问题，范围问题，数量积问题转化为了简单，直接，操作方便的点到直线距离问题，很多时候用相似即可迅速解决，提高了做题效率与正确率，提升了学生的学习热情与兴趣。
