1、1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具过山车是一项富有刺激性的娱乐工具. .那种那种 风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷. . 过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢， 本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用 吧！吧！ 1.1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理正确理解利用导数判断函数的单调性的原理. . （重点）（重点） 2.2.利用导数判断函数单调性利用导数判断函数单调性. .（难点）（难点） 3.3.掌握
2、利用导数判断函数单调性的方法掌握利用导数判断函数单调性的方法. . 图图(1)(1)表示高台跳水运动员的高表示高台跳水运动员的高 度度 随时间随时间 t t 变化的函数变化的函数 的图的图 象象, , 图图(2)(2)表示高台跳水运动员表示高台跳水运动员 的速度的速度 随时间随时间 t t 变化的函变化的函 数数 的图象的图象. .运运 动员从起跳到最高点动员从起跳到最高点, , 以及从以及从 最高点到入水这两段时间的运最高点到入水这两段时间的运 动状态有什么区别动状态有什么区别? ? 2 ( )4.96.510h ttt ( )9.86.5v tt a a b b t t v h O O (
3、1)(1) (2)(2) 探究：函数的单调性与其导函数的关系探究：函数的单调性与其导函数的关系 v h a a b b t t v h O O 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, ,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的的 增加而增加增加而增加, ,即即h(t)h(t)是增函数是增函数. .相应地相应地, , ( ) ( )0.v th t 从最高点到入水从最高点到入水, , 运动员离水面的高运动员离水面的高 度度h h随时间随时间t t的增加的增加 而减小而减小, ,即即h(t)h(t)是是 减函数减函数. .相应地相应地, , ( )( )0.v th t (1)(1) (2
4、)(2) , . 观观察察下下面面一一些些函函数数图图象象 探探讨讨函函数数的的单单调调性性与与其其导导函函数数正正负负 的的关关系系 yx y xO 1 1 2 yx O y x 2 2 3 yx O y x 3 3 1 y x O y x 4 4 O O O O O O O O 3.3 3图 yf x O y x 00 ,xf x 11 ,x f x x xxx xx x x x xxx xx 0 0 0000 0 0 0 0 0 0 1111 1 1 如如图图, ,导导数数表表示示函函数数 f f在在点点,f,f处处的的 切切线线的的斜斜率率. .在在 = =处处, , 0,0,切切线线
5、是是 “左左下下 右右上上”式式的的, ,这这时时, , 函函数数f f 在在附附近近单单调调递递增增; ;在在 = =处处,0,那那么么函函数数y = f xy = f x 在在这这个个区区间间内内单单调调递递增增; ;如如果果fx 4 , , 或或 x 0,f(x)f(x) 当当 x 4 , , 或或 x 0. 因此因此, , 函数函数 在在 上单调递增上单调递增. .如图如图(1)(1)所示所示 3 3 f(x)= x +3xf(x)= x +3xxRxR x y o o 3 3 f x = x +3xf x = x +3x 图图 1 1 为为 22 2 因2 因f x =x -2x-3
6、,所f x =x -2x-3,所以以f x =2x-2=2 x-1 .f x =2x-2=2 x-1 . 当时数单调递 22 f x 0, 即f x 0, 即x1, 函x1, 函f x =x -2x-3增f x =x -2x-3增; ; 当时数单调递减 22 f x 0, 即即 时时, , 函函数数f x f x f f ; ; 当当x 0,得函数单调增区间得函数单调增区间; ; 解不等式解不等式f f (x)0(或或 0)0) (3)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间） 2.2.证明可导函数证明可导函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法： (1)(1)求求 (2)(2)确认确认 在在(a,b)(a,b)内的符号内的符号 (3)(3)作出结论作出结论 f (x)f (x) f (x)f (x) f (x)f (x) f (x)f (x) f (x)f (x) 古之成大事者，不惟有超世之才，亦必有 坚忍不拔之志也.
