1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先 生生. .先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一” 字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是 个“三”字个“三”字. .学到这里，儿子就告诉父亲说：学到这里，儿子就告诉父亲说： “我已经学会了写字，不“我已经学会了写字，不 用先生再教了用先生再教了.”.”于是，于是， 财主就把教书先生给辞退了财主就把教书先生给辞退了. . 一天，财主要邀请一位姓
2、一天，财主要邀请一位姓 万的朋友，叫儿子写张请帖万的朋友，叫儿子写张请帖. 财主的儿子怎么写的财主的儿子怎么写的? ? 1.1.理解归纳推理、类比推理的概念，掌握归纳理解归纳推理、类比推理的概念，掌握归纳 推理、类比推理的方法技巧推理、类比推理的方法技巧. .( (重点重点) ) 2.2.掌握归纳法的步骤，体会归纳推理、类比推理掌握归纳法的步骤，体会归纳推理、类比推理 在数学发现中的作用在数学发现中的作用( (难点难点) ) 探究点探究点1 1 归纳推理归纳推理 【1 1】17421742 年 哥 德 巴 赫年 哥 德 巴 赫 (Goldbach(Goldbach , ,16901690 17
3、641764, , 是德国一位中学教师是德国一位中学教师, ,也是一位著名的数学也是一位著名的数学 家家, , 17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士年当选为俄国彼得堡科学院院士) )观察到观察到: : 6 = 3+3,6 = 3+3, 8 = 3+5,8 = 3+5, 10 = 5+5,10 = 5+5, 12 = 5+7,12 = 5+7, 14 = 7+7,14 = 7+7, 16 = 5+11,16 = 5+11, 1000 = 29+971,1000 = 29+971, 1002 =139+863,1002 =139+863, 猜想猜想: :任何一个不小于任何一个不小于6 6的
4、偶数都等于两个奇质数之的偶数都等于两个奇质数之 和和. . 任何一个不小于任何一个不小于6 6的的 偶数都等于两个奇质数之偶数都等于两个奇质数之 和和. . 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 ) 3N(2 21 nnppn， 哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料具体的材料 观察分析观察分析 猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论 【3 3】成语“一叶知秋”成语“一叶知秋” 【2 2】统计初步中的用样本估计总体统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验, , 进而对整体作出推断进而对整体作出推断. . 意思是从一片树叶的凋落意思
5、是从一片树叶的凋落, ,知道秋天将要来到知道秋天将要来到. . 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化比喻由细微的迹象看出整体形势的变化, ,由部分推知由部分推知 全体全体. . 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征, ,推出推出 该类事物的该类事物的 都具有这些特征的推理都具有这些特征的推理, ,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理（简简 称归纳称归纳）. . 归纳推理归纳推理 特点：部分特点：部分 整体，个别整体，个别 一般一般. . 铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 猜想猜想: :所有金属都导电所有金属都导电
6、. . 又如又如 232212222 , 331332333 猜想猜想: : ( , , bbm a b m aam 均均为为正正整整数数).). 部分对象部分对象 全部对象全部对象 个别事实个别事实 一般结论一般结论 分析：分析：数列的通项公式表示的是数列数列的通项公式表示的是数列an的第的第 n n项项an与序号与序号n n之间的对应关系之间的对应关系. .为此，我们先根据为此，我们先根据 已知的递推公式，算出数列的前几项已知的递推公式，算出数列的前几项. . 例例1.已知数列已知数列an的第的第 1 项项a1=1,且且 (n=1, 2,)，试归纳出这个数列的通项公式，试归纳出这个数列的通
7、项公式. 1 1 n n n a a a 解解:当当n=1时，时，a1=1; 当当n=2时，时， ; 2 1 11 1 2 a 1 . n a n 当当n=3时，时， 2 3 2 1 21 ; 113 1 2 a a a 当当n=4时，时， 3 4 3 1 31 . 114 1 3 a a a 观察可得，数列的前观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数项都等于相应序号的倒数. 由此猜想，这个数列的通项公式为由此猜想，这个数列的通项公式为 春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了 手手, ,他由此受到启发从而发明了锯他由此受到启发从而发明了锯. .
8、探究点探究点2 2 类比推理类比推理 类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这 样得到的样得到的. . 鱼类鱼类 潜水艇潜水艇 蜻蜓蜻蜓 直升机直升机 形状，沉浮原理形状，沉浮原理 外形，飞行原理外形，飞行原理 仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制 得到的得到的. . 可能有生命存在可能有生命存在 有生命存在有生命存在 温度适合生物的生存温度适合生物的生存 一年中有四季的变更一年中有四季的变更 有大气层有大气层 大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生
9、存 一年中有季节的变更一年中有季节的变更 有大气层有大气层 行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕 轴自转轴自转 行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕 轴自转轴自转 火星火星 地球地球 火星上是否有生命？火星上是否有生命？ 火星与地球类比的思维过程：火星与地球类比的思维过程： 火星火星 地球地球 存在类存在类 似特征似特征 地球上有生命存在地球上有生命存在 猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在 类比推理的过程（步骤）类比推理的过程（步骤） 观察、比较观察、比较 联想、类推联想、类推 猜想新结论猜想新结论 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象由两类对象具有某些类
10、似特征和其中一类对象 的某些已知特征的某些已知特征, ,推出另一类对象也具有这些特征的推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理推理称为类比推理. . 类比推理类比推理 (1)(1)类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理. . ( (2 2) )运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象, , 我们可以从不同的角度出发确定类比对象我们可以从不同的角度出发确定类比对象, ,基本原基本原 则是要根据当前问题的需要则是要根据当前问题的需要, ,选择适当的类比对象选择适当的类比对象. . ( (1 1) )类比是从人们已经掌握的事物的属性类比是
11、从人们已经掌握的事物的属性, ,推断推断 正在研究中的事物的属性正在研究中的事物的属性, ,它以已有知识为基础它以已有知识为基础, , 类比出新的结论类比出新的结论. . ( (2 2) )是从一事物的特殊属性推断另一种事物的是从一事物的特殊属性推断另一种事物的 特殊属性特殊属性. . ( (3 3) )类比的结果具有猜测性类比的结果具有猜测性. . 类比推理的特点类比推理的特点 例例2 2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. . 分析：分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算， 都满足一定的运
12、算律，都存在逆运算，而且都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0 0” 和和“1 1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位分别在加法和乘法中占有特殊的地位. .因此，因此， 我们可以从上述我们可以从上述4 4个方面来类比这两种运算个方面来类比这两种运算. . 解：解：（1 1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，）两个实数经过加法运算或乘法运算后， 所得的结果仍然是一个实数所得的结果仍然是一个实数. . (2)(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换 律和结合律，即律和结合律，即 )()( )()( bcacabcbacba baababba (3)(
13、3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法 的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使 得方程得方程 )0( 1 0aaxxa 都有唯一解都有唯一解 a xax 1 (4)在加法中，任意实数与在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；相加都不改变大小； 乘法中的乘法中的1与加法中的与加法中的0类似，即任意实数与类似，即任意实数与1的积的积 都等于原来的数都等于原来的数.即即 aaaa1 0 三角形三角形 思考：思考：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为你认为平面几何中的哪一类图形可以作为 四面体的类比对象？四面体
14、的类比对象？ 例例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出 空间中四面体性质的猜想空间中四面体性质的猜想 分析：分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我 们可以选取有们可以选取有3 3个面两两垂直的四面体，作为直角个面两两垂直的四面体，作为直角 三角形的类比对象三角形的类比对象. . a a b b c c D D P P E E F F s s1 1 s s2 2 s s3 3 ) 1 ( )2( 解：解：如上图，在如上图，在RtABC中，中，C=90.设设a,b,c分分 别表示三条边的长度，由勾股定理，得别表示
15、三条边的长度，由勾股定理，得 . 222 bac 类地 o o 似 似，在在四四面面体体P-DEF中P-DEF中，PDF =PDF = PDE =PDE =EDF = 90 .EDF = 90 . 设别 积应图 两条边一条边图 三个个 123123 123123 S ,S ,S 和 S ,S ,S 和S分S分表表示示PDF, PDF, PDE, PDE, EDFEDF 和和PEF的PEF的面面，相相于于（1）1）中中直直角角三三角角形形的的 直直角角a,b和a,b和斜斜c，c，（2）2）中中的的四四面面体体 有有“直直角角面面”S ,S ,S 和S ,S ,S 和一一 “斜斜面面”S.S. 类
16、比勾股定理的结构，我们猜想类比勾股定理的结构，我们猜想 2 3 2 2 2 1 2 SSSS 成立成立. . 归纳推理归纳推理 由由部分到整体部分到整体、特殊到一般特殊到一般的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础, 推测新的结论推测新的结论;具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立 类比推理类比推理 由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测新的结论推测新的结论; 具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立 【总结提升总结提升】 提出猜想提出猜想 观察、分观察、分 析、比较、析、比较、 联想联想 归纳、归纳、 类比类比
17、 从具体问从具体问 题出发题出发 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 合情推理合情推理 归纳推理归纳推理 类比推理类比推理 例例4 如图所示，有三根针和套在一根针上的若如图所示，有三根针和套在一根针上的若 干金属片干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部按下列规则，把金属片从一根针上全部 移到另一根针上移到另一根针上. 1 1 2 2 3 3 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片；个金属片； 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. . 试推测：把试推测：把n n个金属片从个金属片从1 1号
18、针移到号针移到3 3号针号针, ,最少最少 需要移动多少次需要移动多少次? ? 分析：分析：我们从移动我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探个金属片的情形入手，探 究其中的规律性，进而归纳出移动究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需个金属片所需 的次数的次数. 解：解：当当n=1时，只需把金属片从时，只需把金属片从1号针移到号针移到3号针，号针， 用符号（用符号（13）表示，共移动了）表示，共移动了1次次. 当当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金时，为了避免将较大的金属片放在较小的金 属片上面，我们利用属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动号针作为“中间针”，移动
19、 顺序是：顺序是： （1）把第）把第1个金属片从个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针； （2）把第）把第2个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针； （3）把第）把第1个金属片从个金属片从2号针移到号针移到3号针；号针； 用符号表示为用符号表示为：（：（12）（）（13）（）（23） 共移动了共移动了3次次. 当当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为 n=2的情形，移动顺序是：的情形，移动顺序是： （1）把上面两个金属片从）把上面两个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针； （2）把第）把第3个金属片从个金属片从1号针移到号针移到
20、3号针；号针； （3）把上面两个金属片从）把上面两个金属片从2号针移到号针移到3号针；号针； 其中（其中（1）和（）和（3）都需要借助中间针）都需要借助中间针.用符号表示为用符号表示为： （13）（）（12）（）（32）；（）；（13）；（）；（21）（）（23）（）（13） 共移动了共移动了7次次. 当当n=4时，把上面时，把上面3个金属片作为一个整体，移动顺个金属片作为一个整体，移动顺 序是：序是： （1）把上面）把上面3个金属片从个金属片从1号针移到号针移到2号针；号针； （2）把第）把第4个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针； （3）把上面）把上面3个金属片从个金属片从2
21、号针移到号针移到3号针；号针； 用符号表示为用符号表示为： （12）（）（13）（）（23）（）（12）（）（31）（）（32）（）（12）；）； （13）；（）；（23）（）（21）（）（31）（）（23）（）（12）（）（13） （23）. 共移动了共移动了15次次. 至此，我们得到依次移动至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数个金属片所需次数 构成的数列构成的数列. 1,3,7,15. 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律： . 1215, 127 , 123 , 121 4321 由此我们猜想：若把由此我们猜想：若把n n个金
22、属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3 号针，最少需要移动号针，最少需要移动an n次，则数列次，则数列 an n 的通项公式的通项公式 为：为： 思考：思考：把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针, 怎样移动怎样移动 才能达到最少的移动次数呢才能达到最少的移动次数呢? 通过探究上述通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可时的移动方法，我们可 以归纳出对以归纳出对n个金属片都适用的移动方法个金属片都适用的移动方法.当移动当移动n 个金属片时，可分为下列个金属片时，可分为下列3个步骤：个步骤： （1）把上面（）把上面（n-1）个金属片从）个金属片从1号针移到号针移
23、到2号针；号针； （2）把第）把第n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针；号针； （3）把上面）把上面(n-1)个金属片从个金属片从2号针移到号针移到3号针号针. 这样就把移动这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次个金属片的任务，转化为移动两次 （n-1）个金属片和移动一次第）个金属片和移动一次第n个金属片的任务个金属片的任务. 而移动（而移动（n-1）个金属片需要移动两次（）个金属片需要移动两次（n-2）个金属）个金属 片和移动一次第（片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（）个金属片，移动（n-2）个金）个金 属片需要移动两次（属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第）
24、个金属片和移动一次第 （n-2）个金属片）个金属片如此继续如此继续.直到转化为移动直到转化为移动1个个 金属片的情形金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式根据这个过程，可得递推公式 1 1 1 21(N*,1 . nn a aann ， 且且） 从这个递推公式出发，可以证明（从这个递推公式出发，可以证明（1）式是正确的）式是正确的. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅 是一种猜想，未必可靠是一种猜想，未必可靠. . ,1712, 512 21 22 3434 2222 2+1= 257, 2+1= 65 537,2+1= 257, 2+1= 65 5
25、37, 都都是是质质数数 费马猜想：费马猜想： 同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠， 你能举一个例子吗？你能举一个例子吗？ 半个世纪之后，欧拉发现：半个世纪之后，欧拉发现： 猜想：猜想： n n 2*2* 2+1(nN )2+1(nN )是是质质数数. . 不是质数，从而推翻了费马的猜想不是质数，从而推翻了费马的猜想 1.1. 若平面上若平面上 n 个圆最多把平面分成个圆最多把平面分成 f(n)个区域，则个区域，则 n1 个圆个圆 最多把平面分成区域的个数为最多把平面分成区域的个数为( ) Af(n)n1 Bf(n)2n Cf(n)2n2 Df(n)
26、2n2 B B 2.2.已知数列已知数列an，ai1,0,1(i1,2,3，2012)，若，若 a1a2 a201211，且，且(a11)2(a21)2(a20121)22099， 则则 a1，a2，a2012中是中是 1 的个数为的个数为( ) A36 B37 C38 D39 C 3.3.（20142014新课标全国卷新课标全国卷I I）甲、乙、丙三位同学）甲、乙、丙三位同学 被问到是否去过被问到是否去过 A A、B B 、C C 三个城市时，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B B城市；城市； 乙说：我没去过乙说：我没去过C C城市；城市；
27、丙说：我们三人去过同一城市；丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为由此可判断乙去过的城市为_._. 解解：由丙可知，乙至少去过一个城市，由甲说可知由丙可知，乙至少去过一个城市，由甲说可知 甲去过甲去过A A，C C且比乙多，故乙只去过一个城市，且没且比乙多，故乙只去过一个城市，且没 有去过有去过C C城市，故乙只去过城市，故乙只去过A A城市城市. . A A 4.观察下列两式：观察下列两式： sin220 cos250 sin20 cos50 3 4； ； sin215 cos245 sin15 cos45 3 4. 分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，分析上面
28、的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式， 并证明你的结论并证明你的结论 【解析】【解析】推广结论：推广结论： sin2cos2(30 )sin cos(30 )3 4. 证明如下：证明如下： sin2cos2(30 )sin cos(30 ) 3 4sin 2 cos(30 )1 2sin 2 3 4sin 2 (coscos30 sinsin30 1 2sin) 2 3 4sin 2 3 4cos 2 3 4. 1.1.归纳推理、类比推理的定义归纳推理、类比推理的定义. . 2. 2. 推理的一般思维过程推理的一般思维过程: : 观察、分析观察、分析 概括、推广、类比概括、推广、类比 提出猜想提出猜想 3.3.归纳、类比推理的特点归纳、类比推理的特点 归纳推理归纳推理 由由部分到整体部分到整体、特殊到一般特殊到一般的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础, 推测新的结论推测新的结论;具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立 类比推理类比推理 由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测 新的结论新的结论;具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立 没有礁石，就没有美丽的浪花；没有挫折， 就没有壮丽的人生.
