1、1.2.1 1.2.1 排排 列列 首先通过2015年北京田径世锦赛在男子4 100米接力决 赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌组成的中国队创 历史的以38秒01的成绩获得亚军，他们四人上颁奖台有多少 种站法引入本课内容，然后通过教材“从甲、乙、丙3名同学 中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,其中 1名参加下午的活动,有多少种不同的方法? ”引出课题。接着 引出排列，排列数，排列数公式，阶乘等重难点内容，最后 进行例题总结及练习。 知识掌握上，很多学生原有的知识储备不够，所以该课的 内容应予以简单明白，深入浅出的分析，使学生更易理解知 识.积极采用形象生动，形式多样的教学
2、方法和学生广泛的积 极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，有效地培养学 生能力，促进学生个性发展. 2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！ 讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？ 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出
3、3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学 模型来刻画 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？ 分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名， 按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 上午上午 下午下午 相应的排法相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法. 第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法 根
4、据分步计数原理：32=6 即共6种方法。 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题 就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一 定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三 位数，共可得到多少个不同的三位数？ 第步，确定百位上的数字，有4种方法 第步，确定十位上的数字，有3种方法 第步，确定个位上的数字，有2种方法 根据分步乘法计数原理，共有 43224 种不同的排法。 如下图所示 1 234 443322 4 44 3 33 1 11 2 4 4 4 3 1 1
5、1 2 22 4 3 33 1 11 2 22 有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。 同样，问题2可以归结为： 从个不同的元素a，b，c，d中任取个，然后按照 一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc
6、,dca,dcb. 思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)有顺序的 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等 推广到一般 排列：一般的，从个不同的元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 排列问题实际包含两个过程： （1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 （2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。 注意： 1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个 问题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完 全相同，而且元素的排列顺
7、序也完全相同。 4、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”。 例1.下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信 （7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 （9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？ 哪些是全排列？ 2
8、、排列数： 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有 排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素 的排列数。用符号 表示。 m n A “排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 排列数，而不表示具体的排列。 所有排列的个数，是一个数； mn“排列数”是指从 个不同元素中，任取 个元素的 m n A所以符号 只表示 nm“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 按照一定的顺序排成一列，不是数； 个元素 问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排 列数，记为 , 2 3 326A 3 4 4 3 224A 2 3 A 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 排列数，记为 ，已经算出 3
9、 4 A 探究：从个不同元素中取出个元素的排 列数 是多少？ ， 又各是多少？ 2 n A)(mnAm n 3 n A 第第1 1位位 第第2 2位位 n n-1 An 3 An 2 ) 1( nn )2)(1( nnn 第第1 1位位 第第2 2位位 第第3 3位位 n-2 n n-1 ) 1()2( ) 1( mnnnn A m n 第第1 1位位 第第2 2位位 第第3 3位位 第第m m位位 n n-1 n-2 n-(m-1) 1) 1(mnmn （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一 个因数少1 （2）最后一个因数是nm1 （3）共有m个因数 观察排列数公式有何特征： 排列数
10、公式（1）： (1)(2)(1)( ,*,) m n An nnnmm nNmn 就是说，个不同元素全部取出的排列数， 等于正整数到的连乘积， 正整数到的连乘积，叫做的阶乘， 用!表示， 所以个不同元素的全排列数公式可以写成 n n An ！ 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元 素的一个全排列，这时公式中的，即有 另外，我们规定 0!1 123)2)(1( nnnAn n ) 1()2( ) 1( mnnnn A m n )!( ! mn n 12)( 12)(1( ) 1( mn mnmnnn 排列数公式（2）： 说明： 1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。 2、对于 这
11、个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。 nm 小结： 【排列】从n个不同元素中选出m(mn)个元素,并按一定 的顺序排成一列. 【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同) 2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分) 【排列数】所有排列总数 121 m n An nnnm()().() m n n! A= (n-m)! (1) (2)(1) m n n nnnm A 排列数公式： m n n! (mn,m,nN ) (nm)! A )Nnm,n,(m 常用于计算含有数字的排列 数的值 常用于对含有字母的排列数的 式子进行变形和论证 10 ！规定：规定： 例例2.2. 计算计算： 3 16
12、(1)A 3360141516 =6！=654321=720 6 6 (2)A ! 57 ! 7! 8 )3( 2 2 ! (1)! (4) m m mm A 42 2 21mm 例3.解方程: 43 21 (1)140 nn AA 1 89 (2)34 mm AA （1）n=3 (2)m=6 例4. 求证下列各式： 1 1 (1) (2) mm nn mkm k nnn k An A AAA 你能用学过的方法，举一实际的例子说明（1）、 （2）吗？ )(nmk 2 3 2 5 4 5 3 4 4 5 )2( ;5) 1 (AAAAA例如： 32 54 54AA1计算：（1） 1234 444
13、4 AAAA（2） 课堂练习: 2从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的 3块土地上进行试验，有 种不同的种植方法？ 348344345545 2 4 3 5 AA 348 64 641234234344 4 4 3 4 2 4 1 4 AAAA 24234 3 4 A 24 4信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面， 最多能打出不同的信号有（ ） A.1种 B.3种 C.6种 D.27种 3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进 行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有 种不同 的方法？ 60345 3 5 A 6123 3 3 A 60 C C 例5.某年全国足球甲级A组
14、联赛共有14个队参加，每 队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多 少场比赛？ 解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次 客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的 一个排列，因此，比赛的总场次是 1821314 2 14 A 例 6.(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？ (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？ = 543= 60 A 3 5 被选元素可重复选取，不是排列问题！ 555= 125 “从5个不同元素中选出3并按顺序排列” 例7.用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复数字 的三位数？
15、特殊位置“百位”，特殊元素“0” 百位 十位 个位 648899 2 9 1 9 AA 法1： 6482 2 9 3 9 AA法2： 百位百位 十位十位 个位个位 A 3 9 0 百位百位 十位十位 个位个位 A 2 9 0 百位百位 十位十位 个位个位 A 2 9 648898910 2 9 3 10 AA 法3： 对于有限制条件的排列问题，必须遵循 “特殊元素优先考虑，特殊位置优先安 排”，并注意“合理分类，准确分步”， 做到“不重不漏，步骤完整” ，适当考虑 “正难则反” 。 个。有种，故符合题意的偶数有 、千位上的排列数不能选），十位、百位种（ 排列数有中选）；万位上的数字、种（从有
16、）个位上的数字排列数解法一：（正向思考法 3 3 1 3 1 2 3 3 1 3 1 2 5 42 AAAA A A 百位 十位 个位 千位 万位 1 3 A3 3 A 1 2 A 变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 百位 十位 个位 千位 万位 个共有： 个，符合题意的偶数的数减去偶数中大于 个，再数个，减去其中奇数的个位数有数字的 组成无重复、）由解法二：（逆向思维法 36 50000 5 54321 3 3 1 2 4 4 1 3 5 5 3 3 1 2 4 4 1 3 5 5 AAAAA AA AAA 变式：由数字1、2、3、
17、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？ 有约束条件的排列问题 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排 成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同， 就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的 排列） 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是 说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较 少时，可以根据排列的意义写出所有的排列 2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！ 讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？ 3 4 4 3 224A 敬请指导敬请指导 .
