1、1.1 1.1 分类加法计数原理与分类加法计数原理与 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 第二课时 计数原理的综合应用 1通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决一些 生活中的实际问题。 2掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两 个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰 当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和 理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程； 3体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学 生体验到发现数学、运用数学的过程。 本节课是练习课的教学典范本节课是练习课的教学典范通过典型丰富的实例通过典型丰富的实例，如如 汽车号码排序汽车号码排序
2、，DNADNA核糖核酸排序问题核糖核酸排序问题，电子计算机模块电子计算机模块 排序排序，二进制问题等引导学生在不断思考中利用两个计数二进制问题等引导学生在不断思考中利用两个计数 原理解决问题；然后通过实例探究原理解决问题；然后通过实例探究，归纳原理归纳原理得出先得出先 “两类两类”后后“多类多类”，先先“分类分类”后后“分步分步”，先先“加法加法” 后后“乘法乘法”的逐步过渡的逐步过渡，然后归纳小结引导学生在加法与然后归纳小结引导学生在加法与 乘法原理相互转化的过程中灵活运用两个计数原理乘法原理相互转化的过程中灵活运用两个计数原理. . 最后最后，通过设置有关高考科目改革的热点思考题通过设置有
3、关高考科目改革的热点思考题，为后为后 继学习排列组合做好铺垫继学习排列组合做好铺垫，激发学生进一步学习的欲望激发学生进一步学习的欲望 1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类 办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方 法，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共 有 种不同的方法. 12n Nmmm 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步 有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 12n Nmmm 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：共同点： 不同点：
4、不同点： 分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算完成一件事的方法种数 每类方案中的每一 种方法都能独立完 成这件事 每步依次完成才算完 成这件事情（每步中 的每一种方法不能独 立完成这件事） 相加 相乘 类类独立 步步相依 不重不漏 缺一不可 分类、 分步、 例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一 项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比 赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名
5、方法，5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为44444= 种 . 5 4 （2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5= 种 . 4 5 例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字 母A G或U Z，后两个要求用数字19，问最多可以给多 少个程序命名？ 分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤： 第一步，选首字符；第一步，选首字符； 解：首字符共有7+613种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有1399105
6、3种不同的选法 第二步，先中间字符；第二步，先中间字符； 第三步，选末位字符。第三步，选末位字符。 13种 9种 9种 例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有 着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成 分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中， 各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基 无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？ 分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、 G、U中任选一个
7、来占据。 第1位 第2位 第3位 第100位 4种 4种 4种 4种 解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U 中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有 100 4100 44444 个 种不同的RNA分子. 例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由个二进制位构成，问 （1）一个
8、字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉 字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多 少个字节表示？ 第1位 第2位 第3位 第8位 2种 2种 2种 2种 如00000000，10000000， 11111111. 解：（1）用图来表示一个字节.一个字节共有8位， 每个字节上有两种选择.根据分步乘法计数原理， 一个字节最多可以表示2x2x2x2x2x2x2x2=28=256个 不同的字符. （2）所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2 个字节表示 . 例5.计算机编程人员在编写 好程序以后要对程序进行测 试。程序员需
9、要知道到底有 多少条执行路（即程序从开 始到结束的线），以便知道 需要提供多少个测试数据。 一般的，一个程序模块又许 多子模块组成，它的一个具 有许多执行路径的程序模块。 问：这个程序模块有多少条 执行路径？另外为了减少测 试时间，程序员需要设法减 少测试次数，你能帮助程序 员设计一个测试方式，以减 少测试次数吗？ 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成：第1步是从开 始执行到A点；第2步 是从A点执行到结束。 而第步可由子模块1 或子模块2或
10、子模块3 来完成；第二步可由 子模块4或子模块5来 完成。因此，分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常，需要测 试的次数为：3 2=6。 如果每个子模块都正常工 作，并且各个子模块之间 的信息交流也正常，那么 整个程序模块就正常。 这样，测试整个
11、模块的次数就变为 172+6=178（次） 在实际测试中，程序员总 是把每一个子模块看成一 个黑箱，即通过只考察是 否执行了正确的子模块的 方式来测试整个模块。这 样，他可以先分别单独测 试5个模块，以考察每个 子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为： 18+45+28+38+43=172。 例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母 和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现， 个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照? 分析：按照新
12、规定，牌照可以分为两类， 即字母组合在左和字母组合在右. 确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤. : 6, 字母和数字 照的个步骤确定一个汽车牌分字母组合在左时 ;26,126,1种选法有放在首位个个字母中选从步第 ;25 ,2,125,2 种选法 有位放在第个个字母中选从剩下的步第 ;24 ,3,124,3 种选法 有位放在第个个字母中选从剩下的步第 ;10,4,110,4种选法有位放在第个个数字中选从步第 解：牌照可以分为两类即字母组合在左和字母组合 在右 ; 9,5,19,5 种选法 有位放在第个个数字中选从剩下的步第 . 8,6,18,6 种选法 有位放在第个个数字中选从剩下的步第
13、.00023211,个有字母组合在右的牌照也同理 . 224640001123200011232000, 辆汽车上牌照 共能给所以 .000232118910242526 , 个有 字母组合在左的牌照共根据分步乘法计数原理 2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。 1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明 白怎样就能“完成这件事”？其次要做到合理分 类，准确分步，按元素的性质分类，按事件发生 的过程分步是计数问题的基本方法。 升华提高：升华提高： 1.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格 里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的 数字均不同的填法有_种. 练
14、习 解：1号方格里可填2,3,4三个数字，有3种填法.1 号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的 方格，又有3种填法，其余两个方格只有1种填法. 所以共有331=9种不同的方法. （1）解：完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤： 第一步 选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第二步 选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第三步 选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步 选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有 N=5432=120（个） 2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数
15、字的： （1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？ （2） 解：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分 四个步骤： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种不同的选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字 中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法； 第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字， 有3种不同的选取方法； 第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字， 有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有 N=4432=96（个） 2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数
16、字的： （1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？ (3)解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事， 可以分四个步骤： 第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数 字, 有2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中 选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和 0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取 方法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个 数字做十位数字，有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=233 2 =36（个）. 2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的： （1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。 应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：应用两个基本计数原理解题时应注意的问题： 1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？ 3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排 以及是否重复等。 敬请指导敬请指导 .
