1、 学习目标: 1.能说出奇、偶函数的定义及其图象特征 2.会判断一个函数的奇偶性。 学习重点： 函数奇偶性的判断 复习回顾： 初中时我们学习过哪些函数的图象 是对称图形？ 探究：函数 的性质特征 2 ( )f xx 探究一：结合解析式，从“数”上观察函数 有什么特征？ 2 ( )f xx x211233 941149 【定义探究】 0 0 x y 探究二：结合函数图象，从“形”上观察函数 有什么特征？ 探究：函数 的性质特征 2 ( )f xx ( 1)(1)ff ( 2)(2)ff ( 3)(3)ff 猜想：对任意的 ，都有 xR ()( )fxf x ？ 结论：对任意的 ，都有 xR ()
2、( )fxf x 函数奇偶性的定义： 1、偶函数的定义： 设函数 定义域为 ，如果对 内的任 意一个 ，都有 ，且 ， 则函数 叫做偶函数。 x ( )f x ()( )fxf x ( )yf x xD DD 探究：函数 的性质特征 3 ( )f xx 探究一：结合解析式，从“数”上观察函数 有什么特征？ 3 ( )f xx x2 11233 27811827 0 0 探究二：结合函数图象，从“形”上观察函数 有什么特征？ 探究：函数 的性质特征 3 ( )f xx ( 1)(1)ff ( 2)(2)ff ( 3)(3)ff 猜想：对任意的 ，都有 xR ()( )fxf x ？ 结论：对任意
3、的 ，都有 xR ()( )fxf x x y 函数奇偶性的定义： 1、偶函数的定义： 设函数 定义域为 ，如果对 内的任 意一个 ，都有 ，且 ， 则函数 叫做偶函数。 x ( )f x ()( )fxf x ( )yf x xD DD 2、奇函数的定义： 设函数 定义域为 ，如果对 内的任 意一个 ，都有 ，且 ， 则函数 叫做奇函数。 x ( )f x ()( )fxf x ( )yf x xD DD 3、如果一个函数 是奇函数或偶函数，则 称函数 具有奇偶性。 ( )f x ( )f x 对奇函数、偶函数定义的理解 若函数具有奇偶性，则 和 同时在定义域内， 所以奇偶函数的定义域 。
4、xx 练习1：说出下列区间是否关于坐标原点对称 1. 2.( 1,1) 3.( 1,1 4.(,0)(0,) R 5.(,1)(1,) 6. 2, 1,0,1,2 7.a,b(ab) 一定关于坐标原点对称 练习2：判断下列图象是否是偶函数的图象？ 定义域： R 4 3 2 -3 -4 -2 o -1 1 y x y o x y o x y o x y o x y=0 根据图象判断下列函数的奇偶性根据图象判断下列函数的奇偶性 偶 函 数 非 奇 非 偶 函 数 奇 函 数 既 奇 又 偶 函 数 (1) (4) (3) (2) 函数按是否 具有奇偶性 可分为四类 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 既
5、奇又偶函数 例1、根据定义判断函数的奇偶性 1 1. ( )f xx x |0x x 解：函数定义域为 1 ()fxx x 函数 是奇函数 ( )f x 步骤： 1.求出函数定义域并判 断是否关于原点对称 2.判断函数 与 的关系 ()fx( )f x 【精讲点拨】 1 ()x x ( )f x ()( )fxf x若，则为偶函数 ()( )fxf x若，则为奇函数 考点一：判断函数的奇偶性 2 3. ( )()f xx 2 2. ( )f xx R解：函数定义域为 2 ()()fxx ( )f x函数是偶函数 2 ( ) x f x 解：函数定义域为x|x0 定义域不关于坐标原 点对称 函数
6、 是非奇非偶 函数 ( )f x 思维一点通： 判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法： （2）图象法： 若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数； 若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数。 （1）定义法： 先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称 若不对称，则函数为非奇非偶函数； 若对称，再判断 与 的关系。 ()fx( )f x 22 4. ( )11f xxx 2 2 10 10 x x 解： 1 1x 或 2 11x 2 =1x 函数定义域为-1,1， 此时f(x)=0 f(x)是既奇又偶函数 o x y -1 1 考点二：奇偶函数的图象及应用 例2、已知函数 是偶函数，它在 轴右边 的图象
7、如下图所示，画出函数 在 轴左边 的图象。 ( )yf x ( )yf x y y o y x A B1 D1 A1 B D C C1 E1 E 变式训练1：已知函数 是奇函数，它在 轴右边的图象如下图所示，画出函数 在 轴左边的图象。 ( )yf x y y ( )yf x o y x A B1 D1 A1 B D C C1 偶函数 奇函数 o y x A B1 D1 A1 B D C C1 o y x A B1 D1 A1 B D C C1 E1 E 在原点两侧对称区间上 奇函数单调性相同， 偶函数单调性相反 . ( 1)(3) B. (2)(3) . ( 3)(5) . (0)(1) A
8、 ff ff C ff D ff 变式训练2： 已知函数 在 上是偶函数， 在 上是单调函数，且 ，则下列不等 式一定成立的是（ ） ( )f x0,5 5,5 ( 4)( 2)ff ( )f x y x o -5 5 D 【课堂小结】： ( ),f xDxDxD 设函数定义域为 ，且对都有 如果 ，则 叫做偶函数 如果 ，则 叫做奇函数 ()( )fxf x ()( )fxf x ( )f x ( )f x 根据定义判断函数奇偶性的步骤 1、判断函数定义域是否关于坐标原点对称 2、判断函数 的关系 ()( )fxf x ， 奇偶函数的定义： 图象特征： 偶函数的图象关于y轴对称，原点两侧对
9、称区间上单调性相反 奇函数的图象关于原点对称，原点两侧对 称区间上单调性相同 数学思想的应用： 数形结合的思想 类比的思想 分类讨论的思想 数学与生活是紧密联系的，生活离不开数学， 数学来源于生活而又服务于生活。 趣味小游戏 赢赢 你你 没没 商商 量量 设有数量足够多的相同面值的硬币，让两个人轮流的 在圆形桌面上摆硬币，每次摆一个，个个不能互相重 叠，也不能有小部分落在桌面的边缘之外，这样经过 许多次以后，谁先摆不下硬币就算输，请同学们选出 一个代表，与老师做这个游戏，老师先摆，试证：老 师有办法让你们一定输。 罗素：英国哲学家、 数学家 “数学不但拥有真理， 而且具有至高的美。” 古希腊名言：“哪里有数，哪里就有美。” 【课后作业】： 1.课本P49练习A 2.拓展题 判断下列函数的奇偶性 2 1 (1) ( ) |2| 2 x f x x 1(0) (2) ( )0 (0) 1(0) xx f xx xx 3.选做题 已知函数 是奇函数，且当 时， 求 时， 的解析式。 ( )f x ( )f x 0x ( )(2)f xx x 0x 4. 探究探究：什么样的函数既是奇函数，又是偶函数？ 它的图象有什么特点？
