1、2.2.2 2.2.2 事件的相互事件的相互 独立性独立性 1理解两个事件相互独立的概念 2能进行一些与事件独立性有关的概率的计算 3通过对实例的分析，会进行简单的应用 本课主要学习事件相互独立性。通过知识回顾、问题探 究引入新课，得到事件相互独立概念，相互独立事件同时 发生的概率公式。引导学生认识相互独立事件与互斥事件 概念的区别，通过练习引导学生巩固概念，由例1、例2、 例3问题解决加深对较为复杂的实际问题求概率的解题方 法，强调解决应用问题的思想方法与一般步骤。 在概念教学过程中，通过实例引导学生理解概念、应用 比较法让学生区分新旧概念的实质突出本节课重点，采用 例题与变式结合的方法，通
2、过例1、例2、例3问题分析与 讲解掌握求相互独立事件同时发生的概率实际问题的分析 、解决问题的思想方法，突破本节教学难点。 什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？ 两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？ 若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？ 不可能同时发生的两个事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件互斥事件；如果两如果两 个互斥事件有一个发生时另一个必不发生个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的 两个互斥事件叫对立事件对立事件. P(A+B)=P(A)+(B) P(A)+P()=1 条件概率 设事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率
3、，叫做条件概率。 记作P(B |A). 条件概率计算公式: ()() (|) ( )( ) n ABP AB P B A n AP A 注意条件：必须 P(A)0 我们知道，当事件A的发生对事件B的发生 有影响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是 不相等的，但有时事件A的发生，看上去对事件 B的发生没有影响， 比如依次抛掷两枚硬币的结果,抛掷第一枚 硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果 （事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？ ?BA “.“B, “ “A, 3,13 发生的概率吗发生的概率吗的发生会影响事件的发生会影响事件事件事件 最后一名同学抽到奖券最后一名同学
4、抽到奖券为为事件事件抽到奖券抽到奖券 第一名同学没有第一名同学没有为为事件事件同学有放回地抽取同学有放回地抽取 名名现分别由现分别由张能中奖张能中奖张奖券中只有张奖券中只有思考思考 .BPAPA|BPAPABP ,BPA|BP , 31, , .AB 显然 有放回地抽取奖券时 最后一名同学也是 从原来的 张奖券中任取 张 因此第一名同学抽 的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响 即 事件的发生不会影响事件 发生的概率于是 1 1、事件的相互独立性、事件的相互独立性 相互独立事件及其同时发生的概率相互独立事件及其同时发生的概率 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=
5、P(A)P(B),则称事件A与事 件B 相互独立。 即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有 影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是相互 独立的？ 注：注： 区别：区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。 相互独立 2、相互独立事件同时发生的概率公式： “第一个同学没抽到奖劵、第三个同学抽到奖劵”“第一个同学没抽到奖劵、第三个同学抽到奖劵” 是一个事件， 它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作AB 这
6、就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积， 即 P P（A A1 1 A A2 2A An n）=P=P（A A1 1） P P（A A2 2）P P（A An n） 两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概 率为： )()()(BPAPBAP 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件? 1.篮球比赛 “罚球二次”“罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事 件B表示“第2球罚中”. 2.
7、篮球比赛 “1+11+1罚球”罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事 件B表示 “第2球罚中”. 3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依次取2球.事件A:“取 出的是白球”.事件B:“取出的是黑球”. ( 不放回抽取) 4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.事件A为“取 出的是白球”.事件B为“取出的是白球”. ( 放回抽取) A与B为互独事件 A与B不是互独事件也非互斥事件 A与B为互独事件 A与B为非互独是互斥事件 例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获 得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖 方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动
8、的中奖概率都是 0.05 ,求两次抽奖中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。 1“1“, “2“,“ “. ,., A B AB AB 记 第 次抽奖抽到某一指定号码 为事件 第 次抽奖抽到某一指定号码 为事件则 两次抽 奖都抽到某指定号码 就是事件由于两次抽奖结 果互不影响 因此 与 相互独立于是由独立性可得 两次抽奖都抽到某一指定 解 号码的概率 BPAPABP.0025.005.005.0 所求的概率为独立事件定义 根据概率加法公式和互斥与由于事件表示 可以用某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到 , ,BABA.B
9、A BA“2 BPAPBPAPBAPBAP .095.005.005.0105.0105.0 所求的概率为立事件定义根据概率加法公式和独斥 两两互和由于事件表示 可以用到某一指定号码两次抽奖至少有一次抽 , BABA,AB.BABAAB “2 .0975.0095.00025.0BAPBAPABP ?为什么为什么奖概率的两倍吗奖概率的两倍吗 概率是一次开奖中概率是一次开奖中二次开奖至少中一次的二次开奖至少中一次的思考思考 例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人 击中目标的概率都是0.6，计算： （1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
10、 解：(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙射 击1次,击中目标”为事件B. 答：两人都击中目标的概率是0.36. 且A与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到 P(AB)=P(A) P(B)=0.60.60.36 例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击 中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情 况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 ）另一种是 甲未击中，乙击中（事件B发生）。 BA 48. 024. 024. 0 6 . 0
11、)6 . 01 ()6 . 01 (6 . 0 )()()()( )()( BPAPBPAP BAPBAP 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概 率乘法公式，所求的概率是 B A 根据题意，这两种情况在各射击1次时不可能同时发 生，即事件B与 互斥， 例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击 中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是 84. 048. 036. 0 )()()( BAPBAPBAPP 解法2：两人都未击中的概率是 84. 016. 01)(1 ,16. 0)6 . 01 ()6 . 01 (
12、 )()()( BAPP BPAPBAP 目标的概率因此，至少有一人击中 答：至少有一人击中的概率是0.84. 例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关， 只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作. 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计 算在这段时间内线路正常工作的概率. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。 027. 0 )7 . 01)(7 . 01)(7 . 01 ( )(1)(1)(1 )()()()( CPBPAP CPBPAPCBAP 所以这段事件内线路正常工作的概率是 973. 0027. 01)(1CBAP 答：在这段时间内线路正常工
13、作的概率是0.973. CBA JJJ、 解：分别记这段时间内开关 能够闭合为事 件A,B,C. 根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是 1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件 “第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”， C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两 个相互独立？ 2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率； （2）甲、乙两地都不下雨的概率； （3）其中至少有一方下雨的概率. P=0.20.30.06 P=(1-0.2)(
14、1-0.3)=0.56 P=1-0.56=0.44 3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率; (2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率; (4)目标被击中的概率. 分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. 又A与B是相互独立的. （1）“两次都中靶” 是指 “事件A发生且事件B发生” 即 A B P( A B）= P（A） P（B） （2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A B + A B+ A B. 求 P(A B + A B+ A B) （3）“至多有一次中
15、靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (不中,不中) 即 A B + A B+ A B. 求 P(A B + A B+ A B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A B + A B+ A B. 求 P(A B + A B+ A B) 解题步骤： 1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B. 2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥;互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事 件的概率. 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系. “所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件) 4.根据公式解答 求 较 复 杂 事 件 概 率 正向 反向 对立事件的概率 分类 分步 P(A+B)= P(A) + P (B) P(A B)= P(A) P (B) ( 互斥事件) ( 互独事件) 独立事件一定不互斥独立事件一定不互斥. . 互斥事件一定不独立互斥事件一定不独立. .
