1、第2课时 双曲线方程及性质的应用 ax 或 ax ay ay 或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e 222222 ( (其 其 中 中 c =a +b )c =a +b ) 关于关于 坐标坐标 轴和轴和 原点原点 都对都对 称称 性性 质质 双 曲 线 双 曲 线 22 22 1 00(,) xy ab ab 22 22 1 00(,) yx ab ab 范围范围 对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线 离心离心 率率 图象图象 x x y y x x y y 1.1.了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问 题之中
2、题之中. .（重点）（重点） 2.2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质 及图形四者之间的内在联系，分析和解决实及图形四者之间的内在联系，分析和解决实 际问题际问题. .（重点、难点）（重点、难点） 探究点探究点1 1 由双曲线的性质求双曲线方程由双曲线的性质求双曲线方程 1 12 132555 1 , ()m, m , m, m. ,(m ). 【例例 】 双双曲曲线线型型冷冷却却塔塔的的外外形形 是是双双曲曲线线的的一一部部分分绕绕其其 虚虚轴轴旋旋转转所所成成的的曲曲面面 如如图图 , ,它它的的最最小小半半径径为为上上 口口半半径径为为下下口口
3、半半径径为为高高为为试试选选择择适适当当的的坐坐 标标系系 求求出出此此双双曲曲线线的的方方程程 精精确确到到 , xOy, AAx,. 如如图图 建建立立冷冷却却塔塔的的轴轴截截面面所所在在 平平面面的的直直角角坐坐标标系系使使小小圆圆的的直直 径径在在 轴轴上上 圆圆心心 解解 与与原原点点重重合合 ： 22 22 100 132555 xy a,b,C ab yB . y 设设双双曲曲线线的的方方程程为为令令点点 的的 坐坐标标为为（ ， ），则则点点 的的坐坐标标为为（，） B,C,因因为为点点在在双双曲曲线线上上 所所以以 132252 ,CC ,BB x,|CC |,|BB |.
4、这这时时 上上、下下口口的的直直径径都都平平行行 于于轴轴 且且 AA BB CC x y 13 12 25 O 2 2 22 22 22 5525 11 12 13 12 12 y , b y . b （） （ ） 5 2 12 1 b ,y, 由由方方程程得得负负值值舍舍去去 代代入入方方程程（），得得 2 2 22 2 5 55 2512 1 12 192751815003 b , b bb. 化化简简得得（ ） AA BB CC x y 13 12 25 O 22 1 144625 xy ,.所所以以 所所求求双双曲曲线线的的方方程程为为 325 b. 用用计计算算器器解解方方程程（
5、），得得 已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤：已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤： (1)(1)确定焦点所在的位置，以确定双曲线方程的形式；确定焦点所在的位置，以确定双曲线方程的形式； (2)(2)确立关于确立关于a,b,ca,b,c的方程的方程( (组组) )，求出参数，求出参数a,b,ca,b,c； (3)(3)写出标准方程写出标准方程 【提升总结提升总结】 解：解： dMl设设 是是点点到到直直线线 的的距距离离，根根 据据题题意意，所所求求轨轨迹迹就就是是集集合合 5 4 |MF | PM, d 22 55 16 4 5 (x)y . |x| 由由此此得得 将将上上
6、式式两两边边平平方方，并并化化简简，得得 22 916144xy. 86所所以以点点的的轨轨迹迹是是实实轴轴、虚虚轴轴长长分分别别为为 , ,的的双双曲曲线线M. 【例例2】点点M（x，y）与定点）与定点F（5，0）的距离和它到定）的距离和它到定 直线直线 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M的轨迹的轨迹. 5 16 :xl 4 5 22 1 169 xy .即即 x y l . . F O M d . H 双曲线中应注意的几个问题：双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线的两条渐近线是区别于
7、其他圆锥曲线所特双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特 有的；有的； (3)双曲线只有两个顶点双曲线只有两个顶点，离心率离心率e1； (5)注意双曲线中注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中的等量关系与椭圆中a， b，c，e的不同的不同 (4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直； 【提升总结提升总结】 X Y O 种类种类: 相离相离; 相切相切; 相交相交(一个交点一个交点, 两个交点两个交点) 探究点探究点2 2 直线与双曲线的位置关系直线与
8、双曲线的位置关系 1.1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离 2.2.判别方法判别方法( (代数法代数法) ) 联立直线与双曲线的方程，联立直线与双曲线的方程， 消元得到一元二次方程（当二次项系数不为消元得到一元二次方程（当二次项系数不为0 0时）时） (1)(1)00直线与双曲线相交直线与双曲线相交有两个公共点；有两个公共点； (2)(2)=0 =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切有且只有一个有且只有一个 公共点；公共点； (3)(3)0，所以所以 16169 91616，所以所以16 16 2525. . 所以所以所求的双曲线所求的双曲线标准标准方程为方程为 x x 2 2 256256 2525 y y 2 2 144144 2525 1 1. . 1.1.双曲线的简单几何性质，利用性质求方程，双曲线的简单几何性质，利用性质求方程， 解决与性质相关的综合性问题；解决与性质相关的综合性问题； 2.2.掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式. . 泪水和汗水的化学成分相似，但前者 只能为你换来同情，后者却可以为你赢得 成功.
