1、1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 引入引入1 1 对于命题对于命题p,qp,q，命题，命题pqpq，pqpq，p p的的 含义分别如何？这些命题与含义分别如何？这些命题与p,qp,q的真假关系如何？的真假关系如何？ pqpq：用联结词“且”把命题：用联结词“且”把命题p p和命题和命题q q联结起来得联结起来得 到的命题，当且仅当到的命题，当且仅当p,qp,q都是真命题时，都是真命题时，pqpq为真为真 命题命题. . pqpq：用联结词“或”把命题：用联结词“或”把命题p p和命题和命题q q联结起来得联结起来得 到的命题，当且仅当到的命题，当且仅当p,
2、qp,q都是假命题时，都是假命题时，pqpq为假为假 命题命题. . p p：命题：命题p p的否定，的否定，p p与与p p的真假相反的真假相反. . 引入引入2 2 在我们的生活和学习中，常遇到这样在我们的生活和学习中，常遇到这样 的命题：的命题： （1 1）所有所有中国公民的合法权利都受到中华人民共中国公民的合法权利都受到中华人民共 和国宪法的保护；和国宪法的保护； （2 2）对）对任意任意实数实数x x，都有，都有 00； （3 3）存在存在有理数有理数x x，使，使 2 20;0; （4 4）有些有些人没有环境保护意识人没有环境保护意识. . 对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的
3、对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的 认识认识. . 2 x 2 x 1.1.理解全称量词与存在量词的定义及常见形式理解全称量词与存在量词的定义及常见形式. . 2.2.能运用全称量词与存在量词解决一些简单能运用全称量词与存在量词解决一些简单 问题问题. . 3.3.全称量词与存在量词及其应用全称量词与存在量词及其应用. .（重点、（重点、难点难点) ) 下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)(1)与与(3)(3)，(2)(2)与与(4)(4)之间有之间有 什么关系？什么关系？ (1)x3(1)x3； (2)2x+1(2)2x+1是整数；是整数； (3)(3)对所有的对所有的xxR，x
4、3x3； ( (4 4) )对任意一个对任意一个xxZ，2x+12x+1是整数是整数。 语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题； 语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。 探究点探究点1 1 全称量词全称量词 （1 1）与）与(3)(3)区别是对所有的区别是对所有的xxR，x3x3； （2 2）与）与( (4 4) )区别是对任意一个对任意一个xxZ，2x+12x+1是整数是整数。 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词全称量词，并用符号“，并用符号“ ”表示”表
5、示 含有全称量词的命题，含有全称量词的命题， 叫做叫做全称命题全称命题. . 常见的全称量词还有常见的全称量词还有 “一切”“一切” “每一个”“每一个” “任给”“任给” 等等 全称命题举例：全称命题举例： 全称命题符号记法：全称命题符号记法： 命题：对任意的命题：对任意的nnZ，2n+12n+1是奇数；是奇数； 所有的正方形都是矩形。所有的正方形都是矩形。 ( ),xMp x ， 全称命题“对全称命题“对M M中任意一个中任意一个x x，有，有p(x)p(x)成立成立 ” 可用符号简记为：可用符号简记为： 读作读作“对任意“对任意x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)成立”成立”。
6、要判定全称命题“要判定全称命题“ xM,p(x) ”xM,p(x) ”是真命题，是真命题， 需要对集合需要对集合M M中每个元素中每个元素x, x, 证明证明p(x)p(x)成立；成立； 如果在集合如果在集合M M中找到一个元素中找到一个元素x x0 0, ,使得使得p(xp(x0 0) )不不 成立，那么这个全称命题就是假命题成立，那么这个全称命题就是假命题. . 判断全称命题真假判断全称命题真假 解：解：（1 1）2 2是素数，但是素数，但2 2不是奇数，所以为假命题不是奇数，所以为假命题. . （2 2）真命题）真命题. . （3 3） 是无理数，但是无理数，但 =2=2是有理数是有理数
7、. .所以所以 为假命题为假命题. . 例例1 1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假： （1 1）所有的素数都是奇数；）所有的素数都是奇数； （2 2） （3 3）对每一个无理数）对每一个无理数x x，x x2 2也是无理数。也是无理数。 2 2 2（） 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假： （1 1）每个指数函数都是单调函数；）每个指数函数都是单调函数； （2 2）任何实数都有算术平方根；）任何实数都有算术平方根； （3 3） 解：解：（1 1）真命题；）真命题； （2 2）- -4 4没有算术平方根，所以为假命题；没有算术平方根，所以为假命题； （3 3）真命题）
8、真命题。 【变式练习变式练习】 下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)(1)与与(3)(3)，(2)(2)与与(4)(4)之间之间 有什么关系？有什么关系？ (1)2x+1=3(1)2x+1=3； (2)x(2)x能被能被2 2和和3 3整除；整除； (3)(3)存在一个存在一个x x0 0R，使，使2x2x0 0+1=3+1=3； ( (4 4) )至少有一个至少有一个x x0 0Z，x x0 0能被能被2 2和和3 3整除。整除。 语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题； 语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题
9、。 探究点探究点2 2 存在量词存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做存在量词存在量词， 并用符号“并用符号“ ”表示”表示. . 含有存在量词的命题，含有存在量词的命题， 叫做叫做特称命题特称命题. . 常见的存在量词还有常见的存在量词还有 “有些”“有一个”“有些”“有一个” “对某个”“有的”等“对某个”“有的”等 特称命题举例：特称命题举例： 特称命题符号记法：特称命题符号记法： 命题：有的平行四边形是菱形；命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。有一个素数不是奇数。 00 (),xMp x， 特称命题“存在特
10、称命题“存在M M中的一个中的一个x x0 0，使，使p(xp(x0 0) )成立成立 ” 可用符号简记为：可用符号简记为： 读作读作“存在一个“存在一个x x0 0属于属于M M，使，使p(xp(x0 0) )成立”成立”。 判断特称命题真假判断特称命题真假 要判定特称命题要判定特称命题 “ x x0 0M, p(xM, p(x0 0)”)”是是 真命题，只需在集合真命题，只需在集合M M中找到一个元素中找到一个元素x x0 0, ,使使 p(xp(x0 0) )成立即可，如果在集合成立即可，如果在集合M M中，使中，使p(x)p(x) 成立的元素成立的元素x x不存在，则特称命题是假命题不
11、存在，则特称命题是假命题. . 解解：（：（1 1）对于）对于x xR， +2x+3= +2+2x+3= +20 0恒成立，恒成立， 所以所以 +2x+3=0+2x+3=0无解，所以为无解，所以为假命题假命题. . （2 2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， 因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线， 所以为假命题所以为假命题. . （3 3）真命题）真命题. . 例例2 2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假： （1 1）有一个实数）有一个实数x x0 0，使，使x x0 02 2+2
12、x+2x0 0+3=0+3=0； （2 2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3 3）有些整数只有两个正因数。）有些整数只有两个正因数。 2 x 2 x+1（） 2 x 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假： （1 1） （2 2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3 3） 00 ,0;xxR 解解：（：（1 1）真命题；）真命题； （2 2）真命题；）真命题； （3 3）真命题）真命题. . 2 00 |是是无无理理数数 ，是是无无理理数数。xx xx 【变式练习变式练习】 1 1下列命
13、题中是特称命题的是下列命题中是特称命题的是( ( ) ) A A xRxR，x x2 200 B B xRxR，x x2 23 D D xxQ，x x2 2Z 解解: :当当x x1 1时，时，3x3x1 14 4是整数，故选是整数，故选B.B. B B 5 5给出下列命题：给出下列命题： 所有的单位向量都相等；所有的单位向量都相等； 对任意实数对任意实数x x，均有，均有x x2 22x2x； 不存在实数不存在实数x x，使，使x x2 22x2x30.30. 其中所有正确命题的序号为其中所有正确命题的序号为_ 6 6用符号“用符号“ ”与“”与“ ”表示下列命题，并判断真”表示下列命题，并
14、判断真 假假 (1)(1)不论不论m m取什么实数，方程取什么实数，方程x x2 2x xm m0 0必有实根；必有实根； (2)(2)存在一个实数存在一个实数x x，使，使x x2 2x x40.40. 解解: :(1)(1) mRmR，方程，方程x x2 2x xm m0 0必有实根必有实根 当当m m1 1时，方程无实根，是假命题时，方程无实根，是假命题 (2)(2) xRxR，使，使x x2 2x x40. x40. x2 2x+4= +x+4= + 0 0恒成立，所以为假命题恒成立，所以为假命题. . 2 1 2 x（ + +） 15 4 全称命题“对全称命题“对M M中任意一个中任
15、意一个x,x,有有p(x)p(x)成立”成立”, , 符号简记为：符号简记为： xM,p(x),xM,p(x), 读作：对任意读作：对任意x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)成立成立, , 含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题. . 特称命题“存在特称命题“存在M M中的一个中的一个x x0 0, ,使使p(xp(x0 0) )成立”，成立”， 符号简记为：符号简记为： x x0 0M,p(xM,p(x0 0),), 读作：“存在一个读作：“存在一个x x0 0属于属于M M，使，使p(xp(x0 0) )成立”成立” 含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的
16、命题，叫做特称命题。特称命题。 命命 题题 全称命题全称命题 特称命题特称命题 所有的所有的xMxM，p(xp(x) )成立成立 对一切对一切xMxM，p(xp(x) )成立对每成立对每 一个一个xMxM，p(xp(x) )成成 立立 任选一个任选一个xMxM，p(xp(x) )成立成立 凡凡xMxM，都有，都有p(xp(x) )成立成立 存在存在x x0 0MM，使，使p(xp(x0 0) )成立成立 至少有一个至少有一个x x0 0MM，使，使 p(xp(x0 0) )成立成立 对有些对有些x x0 0MM，使，使p(xp(x0 0) )成立成立 对某个对某个x x0 0MM，使，使p(xp(x0 0) )成立成立 有一个有一个x x0 0MM，使，使p(xp(x0 0) )成立成立 ,( )xMp x 0 , () 0 xM p x 表 述 方 法 表 述 方 法 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同， 可能有不同的表述方法：可能有不同的表述方法： 成功的人是跟别人学习经验，失败的 人只跟自己学习经验.
