1、2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟此事古难全，但愿千里共婵娟 生活中的双曲线生活中的双曲线
2、法拉利主题公园法拉利主题公园 巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂 麦克唐奈天文馆麦克唐奈天文馆 1.1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程方程. .（重点）（重点） 2.2.会用待定系数法确定双曲线的方程会用待定系数法确定双曲线的方程. .（难点）（难点） 探究点探究点1 1 双曲线的定义双曲线的定义 问题问题1 1：椭圆的定义？椭圆的定义？ 1 F 2 F 0, c 0, cX Y O yxM, 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距的距 离的和等于常数（大于离的和等于常数（大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫做椭圆）的点的
3、轨迹叫做椭圆. . 问题问题2 2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点即“平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的差等于非零常的距离的差等于非零常 数的点的轨迹数的点的轨迹 ”是什么？”是什么？ 如图如图(A)(A)， |MF|MF1 1| |- -|MF|MF2 2|=|F|=|F2 2F|F| 如图如图(B)(B)， |MF|MF2 2| |- -|MF|MF1 1|=2|=2a a， 由可得：由可得： |MF|MF1 1| |- -|MF|M
4、F2 2|=2|=2a a（非零常数）（非零常数）. . 上面两条曲线合起来叫做上面两条曲线合起来叫做 双曲线双曲线, ,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线 的一支的一支. . 看图分析动点看图分析动点M M满足的条件：满足的条件： =2a.=2a. 即即|MF|MF1 1| |- -|MF|MF2 2|=|=- -2 2a.a. 图图 图图 两个定点两个定点F F1 1，F F2 2双曲线的焦点双曲线的焦点; ; |F|F1 1F F2 2|=2c|=2c双曲线的焦距双曲线的焦距. . （1 1）2a0. 双曲线定义双曲线定义 |MF|MF1 1| |- -|MF|MF2 2|=2a ( 02
5、c？ 不能不能. .若为若为0 0，曲线就是，曲线就是F F1 1F F2 2的垂直平分线了；的垂直平分线了； 若若为为2a=2c,2a=2c,曲线应为两条射线；曲线应为两条射线； 若为若为2a2c,2a2c,这样的曲线不存在这样的曲线不存在. . 探究点探究点2 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 1. 1. 建系建系. . 如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOyxOy，使，使 x x轴经过两焦点轴经过两焦点F F1 1，F F2 2，y y轴为线轴为线 段段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线. . F 2 2 F 1 1 M x O y 设设M(x , y)M(x ,
6、y)为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点, ,双曲线的焦距双曲线的焦距 为为2c(c0),2c(c0),则则F F1 1( (- -c,0),Fc,0),F2 2(c,0)(c,0)，又设点，又设点M M与与F F1 1，F F2 2 的距离的差的绝对值等于常数的距离的差的绝对值等于常数2a.2a. 2. 2. 设点设点. . 3.3.列式列式 由定义可知，双曲线就是集合：由定义可知，双曲线就是集合： P= P= M M | |MFMF1 1 | | - - | | MFMF2 2| | | = 2a = 2a , 2222 2()() .xcyxcya 即即 4.4.化简化简 代数式化简得：
7、代数式化简得： 2 2222222 ()() y ca xaa ca ， 222 (),aca 两两 边边 同同 除除 以以得得 22 222 1. xy aca 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，2c2a0,2c2a0,即即ca,ca,故故c c2 2- -a a2 20,0, 令令c c2 2- -a a2 2=b=b2 2, ,其中其中b0,b0,代入上式，得：代入上式，得： 22 22 100(,). xy ab ab 上面方程是双曲线的方程上面方程是双曲线的方程, ,我们把它叫做双曲我们把它叫做双曲 线的标准方程线的标准方程. .它表示焦点在它表示焦点在x x轴上，焦点分别是轴上，
8、焦点分别是 F F1 1( (- -c,0),Fc,0),F2 2(c,0)(c,0)的双曲线，这里的双曲线，这里c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. . 想一想：想一想：焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程应该是轴上的双曲线的标准方程应该是 什么？我们应该如何求解？什么？我们应该如何求解？ 22 22 100,). yx ab ab （ 定定 义义 方方 程程 焦焦 点点 a,b,ca,b,c的的 关系关系 F F（c c，0 0） F F（c c，0 0） a0a0，b0b0，但，但a a不一不一 定大于定大于b b，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 ab0ab0，a a
9、2 2=b=b2 2+c+c2 2 |MF|MF1 1| |MF|MF2 2|=2a,0|F1 1F F2 2| | 椭椭 圆圆 双曲线双曲线 F F（0 0，c c） F F（0 0，c c） 22 22 10() xy ab ab 22 22 10() yx ab ab 22 22 100(,) xy ab ab 22 22 100(,) yx ab ab 【提升总结提升总结】 例例 1 1 已已知双曲线两个焦点知双曲线两个焦点 1( 5,0) F , , 2(5,0) F, ,双曲线双曲线 上一上一点点P到到 ， 距离差的绝对值等于距离差的绝对值等于 6 6, , 求求双曲线双曲线 的的
10、标准标准方程方程. . 1 F 2 F 解：解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x x轴上，所以设它的标准轴上，所以设它的标准 方程为方程为 22 22 100(,). xy ab ab 因为因为2a=6,2c=10,2a=6,2c=10,所以所以a=3,c=5,a=3,c=5,所以所以 222 5316.b 因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为 22 1 916 . xy 例例2 2 已知已知A,BA,B两地相距两地相距800 m,800 m,在在A A地听到炮弹爆炸声比地听到炮弹爆炸声比 在在B B地晚地晚2 s,2 s,且声速为且声速为340 m/s,340 m/s,求炮
11、弹爆炸点的轨迹方求炮弹爆炸点的轨迹方 程程. . 分析分析: :首先根据题意首先根据题意, ,判断轨迹的形状判断轨迹的形状. .由声速及由声速及A A，B B 两处听到爆炸声的时间差两处听到爆炸声的时间差, ,可知可知A A，B B两处与爆炸点的两处与爆炸点的 距离的差为定值距离的差为定值. . 这样，爆炸点在以这样，爆炸点在以A A，B B为焦点的为焦点的 双曲线上双曲线上. .因为爆炸点离因为爆炸点离A A处比离处比离B B处远，所以爆炸点处远，所以爆炸点 应在靠近应在靠近B B处的双曲线的一支上处的双曲线的一支上. . 解解: : 如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xOy,
12、xOy,使使A A，B B两点在两点在x x 轴上，并且坐标原点轴上，并且坐标原点O O与线段与线段ABAB的中点重合的中点重合. . x y o P B A 设爆炸点设爆炸点P P的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，则，则 3402680PAPB， 即即 2 2a a=680=680，a a=340.=340. AB800，又又 所以所以 2c=800,c=400,2c=800,c=400, 44 400bca， 222222 340268000,.P AP Bx因因 为为所所 以以 1(0). 115 60044 400 xy x 2222 因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为因此炮弹
13、爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为 【举一反三举一反三】 1.1.若在若在A,BA,B两地同时听到炮弹爆炸声两地同时听到炮弹爆炸声, ,则炮弹爆炸点则炮弹爆炸点 的轨迹是什么的轨迹是什么? ? 解解: : 爆炸点的轨迹是线段爆炸点的轨迹是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. . 2.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间 差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸 点的准确位置点的准确位置. . 而现实生活中为了安全，我们最关心而现实生活中为了安全，我们最关心 的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才
14、能确定爆炸点的的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的 准确位置呢准确位置呢? ? 解解: :再增设一个观测点再增设一个观测点C C，利用，利用B B，C C（或（或A A，C C）两处测）两处测 得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程， 解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确 位置位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. . 1 1已知两定点已知两定点F F1 1( (5 5, ,0 0) )，F F2 2( (5 5, ,0 0) )，动点动点P P满足满
15、足 | |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2a a，则当则当a a3 3和和5 5时时，P P点的轨迹点的轨迹 为为( ( ) ) A A双曲线和一直线双曲线和一直线 B B双曲线和一条射线双曲线和一条射线 C C双曲线的一支和一条射线双曲线的一支和一条射线 D D双曲线的一支和一条直线双曲线的一支和一条直线 C 2.2.若方程若方程(k(k2 2+k+k- -2)x2)x2 2+(k+1)y+(k+1)y2 2=1=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y y轴上的轴上的 双曲线，则双曲线，则k k . . ( (- -1, 1)1, 1) 解解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双
16、曲线方程因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程 为为 mxmx 2 2 nyny 2 2 1(1(mnmn0)0)，因，因 P P1 1，P P2 2在双曲线上，所以有在双曲线上，所以有 4m45 4 n1 16 9 7m16n1 解得解得 m 1 16 n1 9 所以所以所求双曲线方程为所求双曲线方程为 x x 2 2 1616 y y 2 2 9 9 1 1，即，即y y 2 2 9 9 x x 2 2 1616 1.1. ， ， ， ， 1.1.双曲线定义及标准方程；双曲线定义及标准方程； 4.4.双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系. . 2.2.双曲线焦点位置的确定方法；双曲线焦点位置的确定方法； 3.3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）；求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 如果我们投一辈子石块，即使闭着眼 睛，也肯定有一次击中成功.
