1、2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例抛物线的生活实例 1.1.掌握抛物线的定义及标准方程掌握抛物线的定义及标准方程. .（重点）（重点） 2.2.能求简单抛物线的方程能求简单抛物线的方程. .（重点（重点、难点）、难点） 我们知道我们知道, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的图象 是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴 等问题等问题. .那么，抛物线到底有怎样的几何性质？它那么，抛物线到底有怎样的几何性质？它
2、还有哪些几何性质？还有哪些几何性质？ 探究点探究点1 1 抛物线的定义抛物线的定义 M H F E l m 思考：思考：如图，点如图，点F F是定点，是定点，l是不经过点是不经过点F F的定直线的定直线.H.H 是是l上任意一点，经过点上任意一点，经过点H H作作MHMHl，线段，线段FHFH的垂直平的垂直平 分线分线m m交交MHMH于点于点M.M.拖动点拖动点H H，观察点，观察点M M的轨迹的轨迹. .你能发你能发 现点现点M M满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？ m m 一条经过点一条经过点F且且 垂直于垂直于l 的直线的直线 抛物线的定义抛物线的定义: : 在平面内在平面内,与一个
3、定点与一个定点F 和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F) 距离相等距离相等的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做抛抛 物线物线. C M F l H 焦点焦点 d 准线准线 点点F叫做叫做抛物线的焦点抛物线的焦点, 直线直线l 叫做叫做抛物线的准线抛物线的准线. 想一想：想一想：定义中当直线定义中当直线l 经过定经过定 点点F F，则点，则点M M的轨迹是什么的轨迹是什么? l F 化化 简简 列列 式式 设设 点点 建建 系系 以过点以过点F F且垂直于直线且垂直于直线 l 的直线为的直线为x x轴轴, ,垂足为垂足为K.K.以以 FKFK的中点的中点O O为坐标原点建为坐标原点建 立直角
4、坐标系立直角坐标系x xO Oy y. x K y O F PM MFd, 0 22 pp Fx 则则焦焦点点 的的坐坐标标为为（， ），准准线线的的方方程程为为 M l （x, ,y） 设设M M（x x，y y）是抛物线上任意一点，）是抛物线上任意一点， H 点点M M到到l的距离为的距离为d d d 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 探究点探究点2 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程 FKp 设设（p p0 0），）， 化化 简简 列列 式式 设设 点点 建建 系系 两边平方两边平方, ,整理得整理得 x K y O F M l （x, y） H d
5、 2 2 22 pp xyx 所所以以 ）0(2 2 ppxy 其中其中p p为正常数，它的几何为正常数，它的几何 意义是意义是: : 焦点到准线的距离焦点到准线的距离 方程方程 y y2 2 = 2= 2pxpx（p p0 0）表示焦点在）表示焦点在x x轴正轴正 半轴上的抛物线半轴上的抛物线 0 22 l pp F:x 焦焦点点 的的坐坐标标为为（ ， ），准准线线 的的方方程程为为 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据 上述办法求出它的标准方程吗？上述办法求出它的标准方程吗？ 抛物线的标准方程还有哪些不同形式抛物线的标准方程还有哪些不同
6、形式? ? F M l N y x F M l N H F M l N O F M l N x H y O 准线方程准线方程 焦点坐标焦点坐标 标准方程标准方程 焦点位置焦点位置 图图 形形 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的 正半轴上正半轴上 x轴的轴的 负半轴上负半轴上 y轴的轴的 正半轴上正半轴上 y轴的轴的 负半轴上负半轴上 y y2 2=2px(p0)=2px(p0) y y2 2= =- -2px 2px (p0)(p0) x x2 2=2py =2py (p0)(p0) x x2 2= =- -2py 2py (p0)(p0) )0 , 2 (
7、p F)0 , 2 p F(- ) 2 , 0( p F) 2 , 0( p F- 2 = p x- 2 = p x 2 = p y 2 = p y- . . . . . . . . （1 1）若一次项的变量为）若一次项的变量为X X（或（或Y Y），则焦点就在），则焦点就在X X轴轴 （或（或Y Y轴）上；轴）上； 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ （2 2）一次项的系数的正负决定了开口方向）一次项的系数的正负决定了开口方向 即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！ 【提升总结提升总结】 【例例1 1】(
8、1)(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y y2 2= =6 6x x, ,求它的焦求它的焦 点坐标和准线方程点坐标和准线方程 (2)(2)已知抛物线的焦点是已知抛物线的焦点是F(0,F(0,- -2)2)，求它的标准方程，求它的标准方程. . 解解: :(1)(1)因为因为，故抛物线的焦点坐标为，故抛物线的焦点坐标为 ， 准线方程为准线方程为 ）（0 , 2 3 . 2 3 x (2)(2)因为抛物线的焦点在因为抛物线的焦点在y y轴的负半轴上轴的负半轴上, ,且且 故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为x x2 2= =- -8 8y.y. p 2,p4, 2 1.
9、1.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程. . (1)(1)焦点是（焦点是（0 0，- -3 3）；）； (2)(2)准线是准线是 . . 2.2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. . (1)y=8x(1)y=8x2 2； (2)x(2)x2 2+8y=0.+8y=0. 1 2 x x x2 2= =- -12y12y y y2 2=2x=2x 焦点焦点 ，准线，准线 1 (0,) 32 1 32 y 焦点焦点 ，准线，准线 (0, 2)2y 【提升总结提升总结】(1)(1)用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程求抛物线标准方程,
10、 ,应应 先确定抛物线的形式先确定抛物线的形式，再求再求p p值值. .(2)(2)求抛物线的求抛物线的 焦点坐标和准线方程要先化成焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程抛物线的标准方程. . 【变式练习变式练习】 【例例2 2】一种卫星接收天线的轴截面如图一种卫星接收天线的轴截面如图(1)(1)所示所示. .卫卫 星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天 线，经反射聚集到焦点处线，经反射聚集到焦点处. .已知接收天线的口径已知接收天线的口径( (直径直径) ) 为为4.8m,4.8m,深度为深度为0.5m0.5m，试建立适当的坐标系，求
11、抛物线，试建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标的标准方程和焦点坐标. . , ,即即p=5.76.p=5.76. 解：解：如图如图(2)(2)，在接收天线的轴截面所，在接收天线的轴截面所 在平面内建立直角坐标系，使接收天线在平面内建立直角坐标系，使接收天线 的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合. 设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 2 2(0),ypx p 2 2.420.5p 所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 , ,焦焦 点坐标是（点坐标是（2.882.88，0 0）. . 2 11.52yx 由已知条件可得，点由已知
12、条件可得，点A A的坐标是的坐标是 （0.50.5，2.42.4），代入方程得），代入方程得 x y O A B (2)(2) . . F F C C 2 2设抛物线设抛物线y y2 28x8x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是4 4，则，则 点点P P到该抛物线焦点的距离是（到该抛物线焦点的距离是（ ） A.12 B.4 C.6 D.8A.12 B.4 C.6 D.8 C C 1.1.(2013(2013新课标全国卷新课标全国卷) )设抛物线设抛物线 C:yC:y 2 2=2px(p0) =2px(p0) 的焦点为的焦点为F,F,点点M M在在C C上上,|MF|=5,|MF|
13、=5,若以若以MFMF为直径的圆为直径的圆 过点过点(0,2),(0,2),则则 C C 的方程为的方程为 ( ( ) ) A.yA.y 2 2=4x =4x 或或 y y 2 2=8x =8x B.y B.y 2 2=2x =2x 或或 y y 2 2=8x =8x C.yC.y 2 2=4x =4x 或或 y y 2 2=16x =16x D.y D.y 2 2=2x =2x 或或 y y 2 2=16x =16x 3 3已知动圆已知动圆M M 经过点经过点A(3A(3，0)0)，且与直线且与直线l：x x3 3相切，相切， 求动圆圆心求动圆圆心M M的轨迹方程的轨迹方程 解析：解析：设动
14、点设动点M(xM(x，y)y)， 设圆设圆M M与直线与直线l：x x3 3的切点为的切点为N N， 则则|MA|MA|MN|MN|，即动点，即动点M M到定点到定点A A和定直线和定直线l：x x3 3 的距离相等，的距离相等， 所以点所以点M M的轨迹是抛物线，的轨迹是抛物线， 且以且以A(3A(3，0)0)为焦点，以直线为焦点，以直线l：x x3 3为准线，为准线， 所以所以 3 3，所以，所以p p6.6. 所以圆心所以圆心M M的轨迹方程是的轨迹方程是y y2 212x.12x. 2 p 平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l ( (l不不 经过点经
15、过点F)F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 一个定义：一个定义： 两类问题：两类问题： 三项注意：三项注意： 四种形式：四种形式： 1.1.求抛物线标准方程；求抛物线标准方程； 2.2.已知方程求焦点坐标和准线方程已知方程求焦点坐标和准线方程. . 1.1.定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l不经过点不经过点F;F; 2.2.p p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦点到准线的距离； 3.3.标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐 标轴的抛物线标轴的抛物线. . 抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种： y y2 2=2px(p0),y=2px(p0),y2 2= =- -2px(p0)2px(p0)， x x2 2=2py(p0),x=2py(p0),x2 2= =- -2py(p0).2py(p0). 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃 时间的人，生活就会冷落他.
