1、2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 . .掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平 行四边形法则作两个向量的和向量；行四边形法则作两个向量的和向量； . .掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向 量计算；量计算； . .通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习， 增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题 奠定基础奠定基础 回忆巩固 1.
2、1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反 映的？什么叫零向量和单位向量？映的？什么叫零向量和单位向量？ 由于大陆和台湾没有直航，因此王先生春节回老家探由于大陆和台湾没有直航，因此王先生春节回老家探 亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机 的位移是多少的位移是多少? ? 上海上海 台北台北 香港香港 a b c 上海上海 台北台北 香港香港 A B C 1.1.位移位移 ABBCAC 2.2
3、.力的合成力的合成 F1 F2 F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看， 可以认为可以认为 是是 的和，的和，F可以认为是可以认为是 的和，即位移、力的和，即位移、力 的合成可以看作向量的加法的合成可以看作向量的加法. 12 FFF 12 FF与 AC ABBC与 向量加法的几何运算法则向量加法的几何运算法则 思考思考1 1：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按原方向到点按原方向到点C C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ A B C ABBCAC 思考思考
4、2 2：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按反方向到点按反方向到点C C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ AB BCACA B C A B C ABBCAC 思考思考3 3：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B改变方向到点改变方向到点C C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ 思考思考4 4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向 量的和还是
5、一个向量量的和还是一个向量. .一般地，求两个向量和的运算，叫一般地，求两个向量和的运算，叫 做做向量的加法向量的加法. .上述求两个向量和的方法，称为上述求两个向量和的方法，称为向量加法向量加法 的三角形法则的三角形法则. .对于下列两个向量对于下列两个向量 ，如何用三角形，如何用三角形 法则求其和向量？法则求其和向量？ a b ab与 b a a b 思考思考5 5：图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方方 向伸长了向伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相的作用下，沿相 同方
6、向伸长了相同长度同方向伸长了相同长度. .从力学的观点分析，力从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2 之间的关系如何？之间的关系如何？ M C E O 图1 M E O 图2 1 F 2 F 12 FFFF 1 F 2 F F C O A B 思考思考6 6：人在河中游泳，人的游速为人在河中游泳，人的游速为 水流速为水流速为 ， 那么人在水中的实际速度那么人在水中的实际速度 与与 、 之间的关系如之间的关系如 何？何？ OAOB OCOAOB OCOA OB 思考思考7 7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则行四边形
7、法则. .对于下列两个向量对于下列两个向量 ，如何用平行四，如何用平行四 边形法则求其和向量？边形法则求其和向量？ B A O C ab与 a b a b a b 思考思考8 8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和 向量，其作图特点分别如何？向量，其作图特点分别如何？ 三角形法则：首尾相接连端点；三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角平行四边形法则：起点相同连对角. . 例例1.1.已知向量已知向量, , 求作向量求作向量 作法作法1 1：在平面内取一点：在平面内取一点O O，作，作 作法作法2 2：在平面内取一点：在
8、平面内取一点O O，作，作 以以 OA、 OB为邻边做平行四边形为邻边做平行四边形OACB,连接连接OC,则则 OBOAOC O A B b a O A B C a b、 ，ab. OAa,ABb.OBab.则 OAa,OBb. ab 思考思考1 1：零向量零向量 与任一向量与任一向量 可以相加吗？可以相加吗？ 规定：规定： 思考思考2 2：若向量若向量 为相反向量，则为相反向量，则 等于什么？反之等于什么？反之 成立吗？成立吗？ 为相反向量为相反向量 向量加法的代数运算性质向量加法的代数运算性质 a 00 aa， 0a ab与 ab0 ab与 a b 思考思考3 3：若向量若向量 同向，则向
9、量同向，则向量 的方向如何？若向的方向如何？若向 量量 反向，则向量反向，则向量 的方向如何？的方向如何？ ab与a b ab与a b a b a b a b a b 的方向与长度大的向量同向的方向与长度大的向量同向 a bab 与 和 a b 同向同向 思考思考4 4：考察下列各图，考察下列各图， 的大小关系如何？的大小关系如何？ 的大小关系如何？的大小关系如何？ A B C 当且仅当当且仅当 同向时取等号；同向时取等号； 当且仅当当且仅当 反向时取等号反向时取等号. |a b|a|b|与 |a b|a|b|与 a b a b a b a ba ba b |a b| |a|b|，ab与 ab
10、与 |a b| |a|b|， 思考思考5 5：实数的加法运算满足交换律，即对任意实数的加法运算满足交换律，即对任意 R R， 都有都有 那么向量的加法也满足交换律吗？如何检那么向量的加法也满足交换律吗？如何检 验？验？ B C A O abba, a,b a b a b a OAACbOaC OBBCaObC 思考思考6 6：实数的加法运算满足结合律，即对任意实数的加法运算满足结合律，即对任意a a，b b， cRcR，都有（，都有（a ab b）c=ac=a（b bc c）. .那么向量的加法也那么向量的加法也 满足结合律吗？如何检验？满足结合律吗？如何检验？ C B A O abc ab
11、a b c a bc a (OAAB)BCOBBCOC OA(AB b c BC)OAACOC （ ） （ ） 例例2 2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输输. .如下图所示，一艘船从长江南岸如下图所示，一艘船从长江南岸A A点出发，以点出发，以5km/h5km/h的速的速 度向垂直对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东度向垂直对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.2km/h. （1 1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）（保留两个有效数字）
12、; ; （2 2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）夹角表示，精确到度）. A 解：解：（1 1）如图所示如图所示, , 表示船速表示船速, , 表示水速，以表示水速，以ADAD、 ABAB为邻边做平行四边形为邻边做平行四边形ABCDABCD，则，则 表示船实际航行的速度表示船实际航行的速度. . AC ABAD 答答: :船实际行驶速度的大小为船实际行驶速度的大小为5.4km/h,5.4km/h,方向与水流速度方向与水流速度 间的夹角约为间的夹角约为6868. . 22 22 2 Rt ABCAB2, BC5. ACABBC25295.4 （ ）在中， 所以 5 tanCAB, 2 CAB68. 因为 由计算器得 C BA D .化简化简 _) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA _) 3(DCCABDAB AD MN 0 )4( )3( )2( ) 1 ( edc dba dc ba 2.2.根据图示填空根据图示填空 a b c d e fg A A B B D D E E C C c f g f 向量加法的定义向量加法的定义 向量加法的运算律向量加法的运算律 三角形法则三角形法则 平行四边形法则平行四边形法则 向量加法的运算向量加法的运算
