1、2.2.3 向量数乘运算向量数乘运算 及其几何意义及其几何意义 1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: : a A b B C ba a a A b B b O C ba 特点特点: :首尾相连，起到终首尾相连，起到终 特点特点:共起点，对角线共起点，对角线 b a b B a A BAab O 特点：同起点，指向被特点：同起点，指向被 2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: : 3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: : 已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 ,你能发现什么？你能发现什么？ aaaa 类比上述结论，类比上述结论， 又如何呢？又如何呢？ ()()
2、()aaa a O aaa A B C 3a P Q a M a N a 3a 与与 方向相同方向相同 3aa 33aa即 与与 方向相反方向相反 3a a 33aa即 作一作，看成果作一作，看成果 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数 与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量， 这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向 规定如下：规定如下： a a | |;aa （1 1） （2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。 aa 0 aa0 特别的，当特别的，
3、当 时，时， 00.a 向量的数乘运算满足如下运算律： )() ; () 1 (2) (3) ; (). aa aaa abab ， 是是实实数数， ）（ aa abab 特别地:（） 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算 例例1、计算下列各式、计算下列各式 a 4)3)(1( ababa )(2)(3)2( a 12 b 5 )23 ()32)(3 (cbacba cba 25 :思考 ?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab ?),0(/)2(是否成立则若abaab /ba 成立成立 （或共线）（或共线） 向量共线定理：向量共线定理：
4、 0 . ),(,aba ba 向量与 共线当且仅唯一一个当有实数 使 思考思考:1) :1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量? ? a 2) 2) 可以是零向量吗可以是零向量吗? ? b ab即 与 共线ba(0)a 例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC， 试判断AC与AE是否共线。 A A D D E E C C B B BCAB33 BCAB3 AC3 与与 共线共线 AEAC DEADAE 解解： ： 例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作 a b、 2 ,3 .OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之 间的位置关系
5、吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ ab a b 2b 3b A B C O 证明证明三点共线三点共线的方法的方法: 总结总结: AB=BC 且有公共点且有公共点 A,B,C三点共线三点共线 12 121212 2362348 : ee ABee BCee CDee AB 已知两个非零向量 和 不共线，如果 ， 求证、 、D三点共线. C D 一、一、 a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 证明证明 向量共线向量共线 2. 证明证明 三点共线三点共线: AB=BC 且有公共点且有公共点 3. 证明证明 两直线平行两直线平行: AB=CD AB与与CD不在同一直线上不在同一直线上 直线直线AB直线直线CD 小结小结: A,B,C三点共线三点共线 ABCD
