1、3.2. 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换（二）二） cos() sin() ）（ )( C () S （） ）（ )( Ttan() sincoscossin coscossinsin tantan 1tantan 知识回顾知识回顾: : 2tan 2sin 2cos cossin2 22 sincos 2 tan1 tan2 ）（ 2 S ）（ 2 C ）（ 2 T 1cos2 2 2 sin21 式式 公公 角角 倍倍 和和 差差 公公 式式 ,sin211cos22cos 22 由公式：由公式： 得：得： 2 cos 2 2cos1 2 sin 2 2cos1 .cossin22s
2、in cossin 2 2sin （降幂公式）（降幂公式） 2 cos2 2cos1 cossin2 （升幂公式）（升幂公式） 2 sin2 2cos1 2sin 2 cos 2 2 cos1 2 tan 2 cos1 cos1 2 sin 2 2 cos1 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos cos1 cos1 2 tan 半角公式：半角公式： sin cos1 cos1 sin 2 tan 注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一确定。注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一确定。 应根据角的象限定符号！应根据角的象限定符号！ 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan
3、1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 万能公式：万能公式： ；，)2(Zkk ；，)2(Zkk ).2 2 (Zkkk ，且且 三角变换问题三角变换问题 观察角度之间的关系观察角度之间的关系 观察函数之间的关系观察函数之间的关系 同名三角函数同名三角函数 不同名三角函数不同名三角函数 切化弦切化弦 观察运算结构的关系观察运算结构的关系 恰当选择公式求解或证明恰当选择公式求解或证明 和和、差关系差关系 倍倍、半关系半关系 互余或互补关系互余或互补关系 特殊角特殊角 例例1. 求证求证: ；)sin()sin( 2 1 cossin)1( . 2 cos 2 s
4、in2sinsin)2( 证明：证明： 1 (sincoscossin)(sincoscossin) 2 1 2sincos 2 sincos (1) 右边右边 =左边左边 ).sin()sin( 2 1 cossin 例例1. 求证求证: ；)sin()sin( 2 1 cossin)1( )sin(1 由由）（ )sin( cossin2)sin()sin( 得得 ).sin()sin( 2 1 cossin sincoscossin sincoscossin . 2 cos 2 sin2sinsin)2( 方法方法2： 说明：说明： 如果记如果记 ,sincos,cossinyx 则则
5、)sin( )sin( yx yx ,x这就是方程思想的体现这就是方程思想的体现. 则则，令令 ， 2 . 2 将它们代入将它们代入可得：可得： (2)由由(1)得得 cossin2)sin()sin( 例例1. 求证求证: ；)sin()sin( 2 1 cossin)1( . 2 cos 2 sin2sinsin)2( 证明：证明： . 2 cos 2 sin2sinsin 思考思考:在例在例2证明过程中证明过程中,如果不用如果不用(1)的结果的结果,如何证明如何证明(2)？ 说明：说明：换元思想！换元思想！ 说明：说明：将右边转化为和差角，展开化简可得左边将右边转化为和差角，展开化简可得
6、左边. 例例1. 求证求证: . 2 cos 2 sin2sinsin)2( 方法二：方法二： 2sincos 22 1cos1cos1cos1cos sinsinsinsin 2222 2(sincoscossin)(coscossinsin) 22222222 2sin()cos( 2222 ） 222 2 2sincoscos2sinsincos2cossincos 222222222 2sincossin 222 sinsin 例例1. 求证求证: . 2 cos 2 sin2sinsin)2( 方法三：方法三： (sincoscossin) 2222 (sincoscossin) 2
7、222 sinsinsin()sin() 2222 2sincos 22 说明：说明： . 2222 ， 思考思考:在例在例2证明过程中证明过程中,如果不用如果不用(1)的结果的结果,如何证明如何证明(2)？ 例例1. 求证求证: . 2 cos 2 sin2sinsin)2( 方法四：方法四： 2sincos 22 2sincoscossincossin 222222 (sincoscossin)(sincos 222222 cossin) 22 sin()sin() 2222 sinsin sinsin2sincos. 22 【评析评析】（1）第）第(1)小题的两种方法看似没什么差异，小题
8、的两种方法看似没什么差异， 但从内核看有着本质上的区别但从内核看有着本质上的区别.方法一侧重于利用三角恒方法一侧重于利用三角恒 等变换中的“三个统一”观沟通等式两端的关系，方法等变换中的“三个统一”观沟通等式两端的关系，方法 二从方程的角度出发，将二从方程的角度出发，将 和和 视为整视为整 体变量，通过解二元一次方程组得结论，其中蕴含了函体变量，通过解二元一次方程组得结论，其中蕴含了函 数与方程思想、化归与转化思想、换元思想等，从更高数与方程思想、化归与转化思想、换元思想等，从更高 的角度体现了三角恒等变换的本质的角度体现了三角恒等变换的本质. sincoscossin ；)sin()sin(
9、 2 1 cossin)1( 【评析评析】（2）第）第(2)小题方法一的侧重点是换元思想，小题方法一的侧重点是换元思想， 四两拨千斤！方法二的侧重点是三角恒等变换，看似笨四两拨千斤！方法二的侧重点是三角恒等变换，看似笨 拙，但思路简单，重在公式合理选择及准确使用；方法拙，但思路简单，重在公式合理选择及准确使用；方法 三的侧重点在于角度的代数变换，将角度进行分解：三的侧重点在于角度的代数变换，将角度进行分解： 就是三角公式就是三角公式 背景下的代数变换了；方法四的侧重点在背景下的代数变换了；方法四的侧重点在 于三角函数的代数变换，利用构造法得结论于三角函数的代数变换，利用构造法得结论. . 2
10、cos 2 sin2sinsin)2( 2222 ，统一了角度之后剩下的工作统一了角度之后剩下的工作 ；)sin()sin( 2 1 cossin)1( . 2 cos 2 sin2sinsin)2( 问：问：这两个式子的左右两边在结构上有什么异同？这两个式子的左右两边在结构上有什么异同？ （1）积化和差）积化和差 （2）和差化积）和差化积 1 (1)cossinsin()sin() 2 ； 1 (2)coscoscos()cos() 2 ； 1 (3)sinsincos()cos(). 2 同理可证：同理可证： 1 sincossin()sin() 2 ； 1 cossinsin()sin(
11、) 2 ； 1 coscoscos()cos() 2 ； 1 sinsincos()cos(). 2 积化和差公式：积化和差公式： 则则，令令 ， 2 . 2 代入式得：代入式得： ； 2 cos 2 sin2sinsin ； 2 sin 2 cos2sinsin ； 2 cos 2 cos2coscos . 2 sin 2 sin2coscos 和差化积公式：和差化积公式： 说说 明：明： 根据问题选取公式，应从以下几个方面加以考虑：根据问题选取公式，应从以下几个方面加以考虑： （1）运用公式后能否出现特殊角；）运用公式后能否出现特殊角； （2）运用公式后能否提取公因式，能否约分，）运用公式
12、后能否提取公因式，能否约分， 能否合并或消项；能否合并或消项； （3）运用公式后能否使三角函数式更简单，）运用公式后能否使三角函数式更简单， 各种关系更加明显各种关系更加明显 . 32 1 222 sin tantan. coscos xxx xx （） 证明：证明： 观察知等式中的角有关系：观察知等式中的角有关系： . 22 3 ,2 22 3 x xx x xx xsin, 2 sin 2 3 cos 2 cos 2 3 sin xxxx xx2coscos ) 22 3 sin( xx ) 22 3 cos() 22 3 cos( xxxx ， 2 cos 2 3 cos2 xx xx
13、x 2coscos sin2 2 cos 2 3 cos 2 sin 2 3 cos2 2 cos 2 3 sin2 xx xxxx 2 cos 2 sin 2 3 cos 2 3 sin x x x x . 2 tan 2 3 tan xx 原等式成立原等式成立. 例例2. 求证：求证： 2 tan1 tan2 4cos4sin1 4cos4sin1 . tan1 4cos4sin1 tan2 4cos4sin1 2 求证求证 2tan 要证原式即证要证原式即证 2（） 证明：证明： 4sin4cos1 4sin4cos1 4cos4sin1 4cos4sin1 2cos2sin22cos2
14、 2cos2sin22sin2 2 2 )2sin2(cos2cos )2cos2(sin2sin 2tan 原等式成立原等式成立. 2 tan1 tan2 4cos4sin1 4cos4sin1 . tan1 4cos4sin1 tan2 4cos4sin1 2 求证求证 2tant 要证原式即证要证原式即证 2（） 证明：证明： 2 22 2 22 12 1 144 11 12144 1 11 sincos sincos tt tt tt tt 原等式成立原等式成立. 法二：法二： 22 22 112 112 2tan ttt ttt t 【评析评析】（1）证明三角恒等式的关键在于“统一观
15、”：）证明三角恒等式的关键在于“统一观”： 从三角恒等式两端的角度关系入手，统一函数名与运从三角恒等式两端的角度关系入手，统一函数名与运 算结构算结构. （2）三角恒等式的证明和一般等式相似，重在化繁为）三角恒等式的证明和一般等式相似，重在化繁为 简，比如第（简，比如第（1）题从左化向右，左右归一，促成了转）题从左化向右，左右归一，促成了转 化，即把左右的角进行统一化，即把左右的角进行统一. （3）本题证明方法很多，请尝试用其他方法加以证明）本题证明方法很多，请尝试用其他方法加以证明. 例例3. 已知：已知： 2 sincos2sinsin cossin， 求证：求证： 1 cos2cos2
16、. 2 证明：证明： 由由 得得 22 (sincos )4sin，sincos2sin， 即即 2 12sin cos4sin， 2 sin cossin ，又又 22 12sin4sin， 即即 1cos21cos2 124 22 ， 1 cos2cos2 . 2 说明：说明：除了三角恒等式证明外，还有一类三角等除了三角恒等式证明外，还有一类三角等 式的证明，即条件三角恒等式的证明式的证明，即条件三角恒等式的证明.其解题策略为：其解题策略为： 首先应观察条件与结论之间的差异（角、函数名、式首先应观察条件与结论之间的差异（角、函数名、式 子结构），从解决某一差异入手，将条件转化或将条子结构），从解决某一差异入手，将条件转化或将条 件代入，从而得证件代入，从而得证. 课后作业课后作业 2.3.2.2 3. 梳理第一章、第三章的知识体系梳理第一章、第三章的知识体系 及方法、技巧；总结常用结论及方法、技巧；总结常用结论 1.教材第教材第146页复习参考题（电子作业，页复习参考题（电子作业， 自行订正）自行订正）
