1、2.52.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和 第一课时第一课时 等比数列的前等比数列的前n n项和项和 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n n项和公式项和公式, ,了解推导等比数列前了解推导等比数列前n n项和公式的过程与项和公式的过程与 方法方法. . 2.2.能够运用等比数列的前能够运用等比数列的前n n项和公式进行有关的计算项和公式进行有关的计算. . 3.3.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n n项和的性质及其应用项和的性质及其应用. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.等比数列的前等比数列的前 n n
2、项和公式项和公式 S Sn n= = 1 1 1 ,1, ,1. 1 1 1 n n na q a q a q a q q q 2.2.等比数列的前等比数列的前n n项和的性质项和的性质 (1)(1)在公比不等于在公比不等于- -1 1的等比数列的等比数列aan n 中中, ,连续相同项数和也成等比数列连续相同项数和也成等比数列, , 即即S Sk k,S,S2k 2k- -S Sk k,S ,S3k 3k- -S S2k2k, ,仍成等比数列 仍成等比数列, ,其公比为其公比为q qk k. . (2)(2)当当n n为偶数时为偶数时, ,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比偶数项之
3、和与奇数项之和的比等于等比数列的公比, ,即即 S S 偶 奇 =q.=q. (3)(3)若一个非常数列若一个非常数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=Aq=Aqn n- -A(A0,q0,nA(A0,q0,nN N* *),),则数列则数列aan n 为等比数列为等比数列, ,即即S Sn n=Aq=Aqn n- -A A数列数列aan n 为等比数列为等比数列. . 自我检测自我检测 D D 解析解析: :因为因为aan n 为等比数列为等比数列, , 所以所以S S2 2,S,S4 4- -S S2 2,S,S6 6- -S S4 4成等比数列成等比数列. . 所以所以2(
4、S2(S6 6- -8)=(88)=(8- -2)2)2 2. . 所以所以S S6 6=26.=26. 1.(1.(等比数列前等比数列前n n项和性质的应用项和性质的应用) )在等比数列在等比数列aan n 中中,S,S2 2=2,S=2,S4 4=8,=8,则则S S6 6等于等于 ( ( ) ) (A)32(A)32 (B)18(B)18 (C)24(C)24 (D)26(D)26 C C 解析解析: :S S4 4= = 4 1 1 1 aq q =1,=1, S S8 8= = 8 1 1 1 aq q =17,=17, 得得 1+q1+q 4 4=17,q =17,q 4 4=16
5、.q= =16.q=2.2.故选故选 C C 2.(2.(利用等比数列前利用等比数列前n n项和公式求公比项和公式求公比) )等比数列等比数列aan n 中中, ,已知前已知前4 4项之和为项之和为 1,1,前前8 8项和为项和为17,17,则此等比数列的公比则此等比数列的公比q q为为( ( ) ) (A)2(A)2 (B)(B)- -2 2 (C)2(C)2或或- -2 2 (D)2(D)2或或- -1 1 3.(3.(等比数列前等比数列前n n项和公式的直接应用项和公式的直接应用) )等比数列等比数列22n n 的前的前n n项和项和S Sn n= = . . 解析解析: :首项为首项为
6、 2,2,公比为公比为 2,2,末项为末项为 2 2 n n, , 所以所以 S Sn n= = 22 2 12 n =2=2 n+1n+1- -2. 2. 答案答案: :2 2n+1 n+1- -2 2 解析解析: :由已知得首项为由已知得首项为 1 2 , ,公比公比 q=q= 1 2 , ,所以所以 11 1 22 1 1 2 n = = 255 256 , , 即即( ( 1 2 ) ) n n= = 1 256 = =（ 1 2 ） 8 8, ,所以 所以 n=8.n=8. 答案答案: :8 8 4.(4.(利用等比数列前利用等比数列前 n n 项和公式求项数项和公式求项数) )若等
7、比数列若等比数列 1 2 , , 1 4 , , 1 8 , ,的的 前前 n n 项和为项和为 255 256 , ,则则 n=n= . . 课堂探究课堂探究 等比数列的前等比数列的前n n项和的基本运算项和的基本运算 题型一题型一 解解: :(1)(1)由题意知由题意知 1 2 1 130, 1155, aq aqq 解得解得 1 5, 5, a q 或或 1 180, 5 . 6 a q 从而从而 S Sn n= = 1 4 5 5 n+1n+1- -5 4 或或 S Sn n= = 5 10801 6 11 n . . 【例【例 1 1】 在等比数列在等比数列aan n 中中, , (
8、1)S(1)S2 2=30,S=30,S3 3=15=155,5,求求 S Sn n; ; (2)(2)若若 S Sn n=189,q=2,a=189,q=2,an n=96,=96,求求 a a1 1和和 n.n. (2)(2)由由 S Sn n= = 1 1 1 n aq q ,a,an n=a=a1 1q q n n- -1 1 以及已知条件得以及已知条件得 1 1 1 12 189, 12 962, n n a a 所以所以 a a1 12 2 n n=192, =192,即即 2 2 n n= = 1 192 a , , 所以所以 189=a189=a1 1(2(2 n n- -1)
9、=a 1)=a1 1( ( 1 192 a - -1 1) ). . 所以所以 a a1 1=3,2=3,2 n n- -1 1= =96 3 =32,=32,所以所以 n=6.n=6. 题后反思题后反思(1)(1)解答关于等比数列的基本运算问题解答关于等比数列的基本运算问题, ,通常是利用通常是利用 a a1 1,a,an n,q,n,S,q,n,Sn n这五个基本量的关系列方程组求解这五个基本量的关系列方程组求解, ,而在条件与结论间联系不而在条件与结论间联系不 很明显时很明显时, ,均可用均可用a a1 1与与q q列方程组求解列方程组求解. . (2)(2)运用等比数列的前运用等比数列
10、的前n n项和公式要注意公比项和公式要注意公比q=1q=1和和q1q1两种情形两种情形, ,在解有在解有 关的方程组时关的方程组时, ,通常用两式相除约分的方法进行消元通常用两式相除约分的方法进行消元. . 即时训练即时训练1 1 1:(1)1:(1)设设aan n 是公比为正数的等比数列是公比为正数的等比数列, ,若若a a1 1=1,a=1,a5 5=16,=16,则数列则数列aan n 的的前前 7 7 项和为项和为( ( ) ) (A)63(A)63 (B)64(B)64 (C)127(C)127 (D)128(D)128 (2)(2)设设aan n 是由正数组成的等比数列是由正数组成
11、的等比数列,S,Sn n为其前为其前 n n 项和项和. .已知已知 a a2 2a a4 4=1,S=1,S3 3=7,=7,则则 S S5 5等于等于 ( ( ) ) (A)(A) 15 2 (B)(B) 31 4 (C)(C) 33 4 (D)(D) 17 2 解析解析: :(1)(1)设公比为设公比为 q,q,则则 q q 4 4=16, =16,因为因为 q0,q0,所以所以 q=2.q=2. 因此因此 S S7 7= = 7 112 12 =127.=127.故选故选 C.C. (2)(2)设公比为设公比为 q,q,显然显然 q0q0 且且 q q1,1, 则有则有 3 11 3
12、1 1, 1 7, 1 a q a q aq q 解得解得 1 4, 1 , 2 a q 所以所以 S S5 5= = 5 1 4 1 2 1 1 2 = = 31 4 . .故选故选 B.B. 【思维激活】【思维激活】 在等比数列在等比数列aan n 中中, , (1)(1)若若 a a1 1+a+a3 3=10,a=10,a4 4+a+a6 6= = 5 4 , ,求求 a a4 4和和 S S5 5; ; (2)(2)若若 q=2,Sq=2,S4 4=1,=1,求求 S S8 8. . 解解: :(1)(1)设公比为设公比为 q,q,由通项公式及已知条件得由通项公式及已知条件得 2 11
13、 35 11 10, 5 , 4 aa q a qa q 即即 2 1 32 1 110, 5 1, 4 aq a qq 因为因为 a a1 10,1+q0,1+q 2 2 0,0,所以所以得得, ,q q 3 3= =1 8 , ,即即 q=q= 1 2 , ,所以所以 a a1 1=8.=8. 所以所以 a a4 4=a=a1 1q q 3 3=8 =8( ( 1 2 ) ) 3 3=1, =1,S S5 5= = 5 1 1 1 aq q = = 5 1 81 2 1 1 2 = = 31 2 . . (2)(2)设首项为设首项为 a a1 1, , 因为因为 q=2,Sq=2,S4 4
14、=1,=1,所以所以 4 1 12 12 a =1.=1.即即 a a1 1= = 1 15 . . 所以所以 S S8 8= = 8 1 1 1 aq q = = 8 1 12 15 12 =17.=17. 等比数列前等比数列前n n项和的性质项和的性质 题型二题型二 【例例2 2】 在等比数列在等比数列aan n 中中, ,已知已知S Sn n=48,S=48,S2n 2n=60, =60,求求S S3n 3n. . 解解: :法一法一 因为因为 S S2n 2n2S2Sn n, ,所以所以 q q1,1, 由已知得由已知得 1 2 1 1 48, 1 1 60, 1 n n aq q a
15、q q 得得 1+q1+q n n= =5 4 , , 即即 q q n n= =1 4 , , 代入得代入得 1 1 a q =64,=64,所以所以 S S3n 3n= = 3 1 1 1 n aq q =64=64( (1 1- - 3 1 4 ) )=63.=63. 法二法二 因为因为aan n 为等比数列为等比数列, ,显然公比不等于显然公比不等于- -1,1, 所以所以 S Sn n,S,S2n 2n- -S Sn n,S,S3n3n- -S S2n2n也成等比数列也成等比数列. . 所以所以(S(S2n 2n- -S Sn n) ) 2 2=S =Sn n(S(S3n 3n- -
16、S S2n2n).). 所以所以 S S3n 3n= = 2 2nn n SS S +S+S2n 2n= = 2 6048 48 +60=63.+60=63. 题后反思题后反思 法一是等比数列前法一是等比数列前n n项和公式的直接应用项和公式的直接应用, ,属通性通法属通性通法; ;法二利用法二利用 等比数列前等比数列前n n项和的项和的“片断和片断和”性质性质, ,方法灵活方法灵活, ,技巧性强技巧性强. . 解解: :法一法一 由由S S4 4=1,S=1,S8 8=17,=17,知知q q1,1,由等比数列前由等比数列前n n项和项和, ,故设故设 S Sn n=Aq=Aq n n- -
17、A(Aq A(Aq0,q0,q1),1), 所以所以 4 8 1, 17, AqA AqA 两式相除两式相除, ,化简化简, ,得得 q q 4 4=16, =16,所以所以 q=q=2.2. 当当 q=2q=2 时时,A=,A= 1 15 ,S,Sn n= = 1 15 (2(2 n n- -1); 1); 当当 q=q=- -2 2 时时,A=,A= 1 15 ,S,Sn n= = 1 15 (- -2)2) n n- -1. 1. 即时训练即时训练 2 2 1:1:设设 S Sn n为等比数列为等比数列aan n 的前的前 n n 项和项和, ,已知已知 S S4 4=1,S=1,S8
18、8=17,=17,求求 S Sn n. . 法二法二 设数列设数列aan n 的公比为的公比为 q,q,由由 S S4 4=1,S=1,S8 8=17,=17,知知 q q1,1, 所以所以 4 1 8 1 1 1, 1 1 17, 1 aq q aq q 两式相除并化简两式相除并化简, ,得得 q q 4 4+1=17, +1=17,即即 q q 4 4=16. =16.所以所以 q=q=2.2. 当当 q=2q=2 时时,a,a1 1= = 1 15 ,S,Sn n= = 1 12 15 12 n = = 1 15 (2(2 n n- -1); 1); 当当 q=q=- -2 2 时时,a
19、,a1 1= =- - 1 5 ,S,Sn n= = 1 12 5 12 n = = 1 15 (- -2)2) n n- -1. 1. 解解: :法一法一 若若 q=1,q=1,则则 S S6 6=6a=6a1 1,S,S3 3=3a=3a1 1, , 所以所以 6 3 S S =2,=2,这与已知矛盾这与已知矛盾, ,所以所以 q q1.1. 所以由题设知所以由题设知 6 1 3 1 1 1 1 1 aq q aq q =3,=3,即即 1+q1+q 3 3=3, =3,所以所以 q q 3 3=2. =2. 所以所以 9 6 S S = = 9 1 6 1 1 1 1 1 aq q aq
20、 q = = 3 2 12 12 = = 7 3 . . 【备用例【备用例 1 1】 设等比数列设等比数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,若若 6 3 S S =3,=3,求求 9 6 S S 的值的值. . 法二法二 S S6 6=3S=3S3 3. .由等比数列的性质知由等比数列的性质知S S3 3,S,S6 6- -S S3 3,S,S9 9- -S S6 6成等比数列成等比数列. . 即即 S S3 3,2S,2S3 3,S,S9 9- -3S3S3 3成等比数列成等比数列, , 所以所以 S S9 9- -3S3S3 3=4S=4S3 3, ,所以所以
21、S S9 9=7S=7S3 3, ,所以所以 9 6 S S = = 7 3 . . 法三法三 由性质由性质 S Sn+m n+m=S=Sn n+q+q n nS S m m知知,S,S6 6=S=S3 3+q+q 3 3S S 3 3, , 所以所以 6 3 S S =1+q=1+q 3 3=3, =3,所以所以 q q 3 3=2. =2. 又又 S S9 9=S=S6 6+q+q 6 6S S 3 3=S=S6 6+4S+4S3 3=7S=7S3 3, , 所以所以 9 6 S S = = 3 3 7 3 S S = = 7 3 . . 等比数列的综合应用等比数列的综合应用 题型三题型三
22、 (1)(1)解解: :由由 S Sn n= = 2 3 2 nn , ,得得 a a1 1=S=S1 1=1,=1, 当当 n n2 2 时时,a,an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=3n=3n- -2,2,又又 n=1n=1 时也适合上式时也适合上式, , 所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=3n=3n- -2.2. 【例【例 3 3】 (2014 (2014 高考江西卷高考江西卷) )已知数列已知数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n= = 2 3 2 nn ,n,nN N * *. . (1)(1)求数列求数列aan
23、n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)求证对任意的求证对任意的 n1,n1,都存在都存在 m mN N * *, ,使得 使得 a a1 1,a,an n,a,am m成等比数列成等比数列. . (2)(2)证明证明: :要使得要使得 a a1 1,a,an n,a,am m成等比数列成等比数列, ,只需要只需要 2 n a=a=a1 1a am m, , 即即(3n(3n- -2)2) 2 2=1 =1(3m(3m- -2),2),即即 m=3nm=3n 2 2- -4n+2, 4n+2,而此时而此时 m mN N * *, ,且 且 mn.mn. 所以对任意的所以对任意的 n1,n1
24、,都存在都存在 m mN N * *, , 使得使得 a a1 1,a,an n,a,am m成等比数列成等比数列. . 题后反思题后反思 等比数列问题求解的关键是找出首项和公比等比数列问题求解的关键是找出首项和公比, ,然后再利用其然后再利用其 公式和性质准确计算公式和性质准确计算. . 即时训练即时训练3 3- -1:1:已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=2n=2n- -n n2 2,a,an n=log=log5 5b bn n, ,其中其中 b bn n0,0,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n. . 解解: :当当 n n2 2
25、时时, , a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=(2n=(2n- -n n 2 2) )- -2(n 2(n- -1)1)- -(n(n- -1)1) 2 2 = =- -2n+3, 2n+3, 当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=S=S1 1=2=21 1- -1 1 2 2=1 =1 也适合上式也适合上式, , 所以所以aan n 的通项公式的通项公式 a an n= =- -2n+3(n2n+3(nN N * *). ).又又 a an n=log=log5 5b bn n, ,所以所以 loglog5 5b bn n= =- -2n+3,2n+3, 于是于是
26、b bn n=5=5 - -2n+32n+3,b ,bn+1 n+1=5=5 - -2n+12n+1, ,所以 所以 1n n b b = = 21 23 5 5 n n =5=5 - -2 2= = 1 25 . . 因此因此bbn n 是公比为是公比为 1 25 的等比数列的等比数列, ,且且 b b1 1=5=5 - -2+32+3=5, =5, 于是于是bbn n 的前的前 n n 项和项和 T Tn n= = 1 5 1 25 1 1 25 n = = 125 24 1 1- -( ( 1 25 ) ) n n . . 解解: :(1)(1)因为因为 a a1 1a a5 5+2a+
27、2a3 3a a5 5+a+a2 2a a8 8=25,=25,所以所以 2 3 a+2a+2a3 3a a5 5+ + 2 5 a=25,=25, 又又 a an n0,0,所以所以 a a3 3+a+a5 5=5.=5. 又又 a a3 3与与 a a5 5的等比中项为的等比中项为 2,2,所以所以 a a3 3a a5 5=4,=4, 而而 q q(0,1),(0,1),所以所以 a a3 3aa5 5, ,所以所以 a a3 3=4,a=4,a5 5=1.=1. 所以所以 q=q= 1 2 ,a,a1 1=16,=16,所以所以 a an n=16=16( ( 1 2 ) ) n n-
28、 -1 1=2 =2 5 5- -n n. . 【备用例【备用例2 2】 在等比数列在等比数列aan n 中中,a,an n0(n0(nN N * *), ),公比公比q q(0,1),(0,1),且且a a1 1a a5 5+2a+2a3 3a a5 5+a+a2 2a a8 8=25,=25, 又又 a a3 3与与 a a5 5的等比中项为的等比中项为 2.2. (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)设设 b bn n=log=log2 2a an n, ,数列数列bbn n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,当当+ + 1 1 S
29、+ + 2 2 S + + + n S n 最大时最大时, ,求求 n n 的值的值. . (2)b(2)bn n=log=log2 2a an n=5=5- -n,n, 所以所以 b bn+1 n+1- -b bn n= =- -1,1, 所以所以bbn n 是以是以 b b1 1=4=4 为首项为首项, ,- -1 1 为公差的等差数列为公差的等差数列, , 所以所以 S Sn n= = 9 2 nn , ,所以所以 n S n = = 9 2 n , ,所以当所以当 n n8 8 时时, , n S n 0;0; 当当 n=9n=9 时时, , n S n =0;=0; 当当 n9n9 时时, , n S n 0.0. 所以当所以当 n=8n=8 或或 9 9 时时, , 1 1 S + + 2 2 S + + 3 3 S + + + n S n 最大最大. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
