1、 数 系 的 扩 充 数 系 的 扩 充 创设情景，探究问题创设情景，探究问题 自然数自然数 整数整数 有理数有理数 实数实数 ？ 因度量的需要因度量的需要 N Z Q R C A 1 D B x 1 A B C D x x 1 1 1 1 E F ABCDBEFD SS 2 22 2ABBD 设BD=X 古老古老的问题的问题:“正方形的对角线是个奇怪的数”正方形的对角线是个奇怪的数” 则可用反证法证明则可用反证法证明 在有理数集在有理数集 中中无解无解 02 2 x 我们知道一元二次方程我们知道一元二次方程 x x2 2 +1=0+1=0在实数集范围内在实数集范围内 无解无解 1 2 x 我
2、们能否将实数集进行扩充，使得它在新的数集中，我们能否将实数集进行扩充，使得它在新的数集中， 该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？ 思考？思考？ 1 2 i引入一个新数：引入一个新数： i 满足满足 合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i ，把，把 i 叫做虚数单位，叫做虚数单位， 并且规定：并且规定： （1）i21； （2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算率时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率包括交换率、结合率 和分配率和分配率)仍然成立。仍
3、然成立。 引入新数，完善数系引入新数，完善数系 复数复数Z=a+bi (aR， bR )把实数把实数a，b叫做叫做 复数的实部和虚部复数的实部和虚部。 1、定义定义:形如形如a+bi（aR，bR）的数叫复数）的数叫复数, 其中其中i叫叫虚数单位虚数单位。 全体复数所组成的集合叫复数集，记作全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。 注意注意:复数通常用字母复数通常用字母z表示，即复数表示，即复数a+bi （aR，bR)可记作可记作:z =a+bi （aR，bR），）， 把这一表示形式叫做复数的代数形式把这一表示形式叫做复数的代数形式。 复数有关概念复数有关概念 实部实部 biaz ),(RbRa
4、虚部虚部 其中其中 称为虚数单位。称为虚数单位。 i 复数的分类？复数的分类？ 讨论讨论 观察复数的代数形式观察复数的代数形式 当当a= 0 且且b= 0 时，则时，则z=0 当当b= 0 时，则时，则z为实数为实数 当当b 0 时，则时，则z为虚数为虚数 当当a= 0 且且b 0时，则时，则z为纯虚数为纯虚数 2 2、复数、复数a+bia+bi 0) 00) 0) 00) b ab b ab 实数( 纯虚数(， 虚数( 非纯虚数(， 3.复数集，虚数集，实数复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关集，纯虚数集之间的关 系？系？ 思思 考？考？ 复数集复数集 虚数集虚数集 实数集实数集 纯虚
5、数集 CR 复数的分类复数的分类 1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些 是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 72618. 0 i 7 2 i 293 31i 2 i5 +8 0 0 2 2、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确： （1 1）若）若a、b为实数，则为实数，则z=a+bi为虚数为虚数 （2 2）若）若b为实数，则为实数，则z=bi必为纯虚数必为纯虚数 （3 3）若）若a为实数，则为实数，则z= a 一定不是虚数一定不是虚数 即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知 i 典例讲解，变式拓展典例
6、讲解，变式拓展 例例1:当当m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1）实数）实数 （2）虚数）虚数 （3）纯虚数）纯虚数 immmz) 1(2 22 变式1:复数 当实数m= 时 z为纯虚数；当实数m= 时z为零。 im m mm z) 1( 1 2 2 2 变式练习变式练习: 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是（是（1）实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？ 解解:（1）当当m-1 =0 ，即，即m=1 时，复数时，复数z 是实数是实数 （2）当当 m-10 ，即，即m1 时，复数时，复数z 是虚数是虚数 （3）当当 10
7、10 m m 即即 时，复数时，复数z 是是 纯虚数纯虚数 1m 复数相等的定义复数相等的定义 根据两个复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设设a, b, c, dR，两个复数两个复数 a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为a+bi = c+di ac bd 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就 说这两个复数相等说这两个复数相等. 两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相只能由定义判断它们相 等或不相等等或不相等。 例例2 已知已知 ，其中，其中 求求x与与y? iyyix)3()12( Ryx , 1 1、若、若x，y为
8、实数，且为实数，且 求求x，y iyixyx42 22 解题思考：解题思考： 复数相等复数相等 的问题的问题 转化转化 求方程组的解求方程组的解 的问题的问题 一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：转化思想转化思想 变式变式2、已知两个复数、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于大于 2x+3+(y2-1)i试求实数试求实数x,y的取值范围的取值范围 变式变式3、已知实数、已知实数x与纯虚数与纯虚数y满足满足2x-1 +2i=y,求求x,y。 1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入； 2.2.复数有关概念：复数有关概念： ),( RbRabiaz 复数的代数形式复数的代数形式: 复数的实部
9、复数的实部 、虚部、虚部 复数相等复数相等 复数的分类复数的分类 dicbia db ca 课堂小结课堂小结 你能否找到用来表示复数的你能否找到用来表示复数的几何模型几何模型呢？呢？ x o 1 实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。 一一对应一一对应 规定了规定了 正方向，正方向， 直线直线 数轴数轴 原点，原点， 单位长度单位长度 实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形) (数数) (几何模型几何模型) 复数复数z=a+bi 有序实数对有序实数对(a,b) 直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角 坐标系
10、来表示复数的坐标系来表示复数的 平面平面 x轴轴-实轴实轴 y轴轴-虚轴虚轴 （数）（数） （形）（形） -复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面) 一一对应一一对应 z=a+bi 概念辨析概念辨析 例题例题 平面向量平面向量 OZ 实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义: 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ X O A a | a | = | OA | 实数实数a在数轴上所在数轴上所 对应的点对应的点A到原点到原点O 的距离的距离。 x O z=a+bi y | z | = |OZ| 复数的绝对值复数的绝对值 ( (复数的模复数的模) ) Z (a,b)
11、 0)(a 0)(a a a 22 ba 复数复数 z=a+biz=a+bi在复在复 平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。到原点的距离。 例例3 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=- -5i (2)z2=- -3+4i (3)z3=5- -5i (3)(3)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？ 思考：思考： (2)(2)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？ (4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a- -3ai(a0) (1)(1)复数的模能否比较大小？复数的模能否比较大小？ 这些复
12、这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 图示图示 关于无理数的发现关于无理数的发现 古希腊的古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为认为, , 世间任何数都可以世间任何数都可以 用整数或分数表示用整数或分数表示, ,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条. .有一天有一天, ,这这 个学派中的一个成员个学派中的一个成员希伯斯希伯斯突然发现边长为突然发现边长为1 1的正方形的对的正方形的对 角线是个奇怪的数角线是个奇怪的数, ,于是努力研究于是努力研究, ,终于证明出它不能用整终于证明出它不能用整 数或分数表示数或分数表示. .但这打破了毕达哥
13、拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, ,于是毕于是毕 达哥拉斯命令他不许外传达哥拉斯命令他不许外传. .但希伯斯却将这一秘密透露了出但希伯斯却将这一秘密透露了出 去去. .毕达哥拉斯大怒毕达哥拉斯大怒, ,要将他处死要将他处死. .希伯斯连忙外逃希伯斯连忙外逃, ,然而还然而还 是被抓住了是被抓住了, ,被扔入了大海被扔入了大海, ,为科学的发展献出了宝贵的生为科学的发展献出了宝贵的生 命命. .希伯斯发现的这类数希伯斯发现的这类数, ,被称为被称为无理数无理数. .无理数的发现无理数的发现, ,导导 致了第一次数学危机致了第一次数学危机, ,为数学的发展做出了重大贡献为数学的发展做
14、出了重大贡献. . 数 系 的 扩 充 数 系 的 扩 充 创设情景，探究问题创设情景，探究问题 自然数自然数 整数整数 有理数有理数 实数实数 ？ 因计数的需要因计数的需要 因不够减的需要，引入负数因不够减的需要，引入负数 因测量、分配中的等分问题引入分数因测量、分配中的等分问题引入分数 (分数集分数集有理数集有理数集循环小数集循环小数集) 实数集实数集小数集小数集 不循环小数 循环小数 因度量的需要因度量的需要 提出问题：提出问题： 根据前面数系扩充的资料你能设想一种方法，使方根据前面数系扩充的资料你能设想一种方法，使方 程程x2 + 1 =0有解吗有解吗? 提示提示:每一次数的扩充都是在遇到了用原有的数系每一次数的扩充都是在遇到了用原有的数系 不能表示所要解决的问题时，引入新数来表示新的不能表示所要解决的问题时，引入新数来表示新的 问题的。问题的。 合情推理，类比合情推理，类比 扩充扩充
