1、数字巴特沃斯滤波器数字巴特沃斯滤波器 Digital Butterworth FilterLesson 19复习提问l数字滤波器设计的三大步骤？数字滤波器设计的三大步骤？l冲激响应不变法的设计思想是？冲激响应不变法的设计思想是？l冲激响应不变法哪个频段失真较大，为什么？冲激响应不变法哪个频段失真较大，为什么？它适用于设计哪种滤波器？它适用于设计哪种滤波器？l冲激响应不变法适合哪种类型的系统函数？冲激响应不变法适合哪种类型的系统函数？l冲激响应不变法的稳定性如何？冲激响应不变法的稳定性如何？巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filterl巴特沃斯滤波器设计公式、步骤巴特沃斯滤
2、波器设计公式、步骤l冲激响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器冲激响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器l双线性变换法设计数字巴特沃斯滤波器双线性变换法设计数字巴特沃斯滤波器设计公式设计公式巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器都幅度响应滤波器都幅度响应在通带内具有在通带内具有最平坦的特性最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化单调变化的。模拟巴特沃斯滤波器的的。模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数幅度平方函数为为NcajH22/11幅度特性幅度特性707.0c如下图所示为如下图所示为Butterworth滤波器的滤波器的幅度特性幅度特性，其中，其中 为为角频率，
3、在角频率，在 处幅度响应的平方为处幅度响应的平方为 0.5，N为滤波器的阶为滤波器的阶数，当数，当 时，幅度响应为时，幅度响应为1。c0jHa幅度特性幅度特性从式子和图都可以看出，随着从式子和图都可以看出，随着N的增大的增大，幅度响应曲线在，幅度响应曲线在截止频率附近变得截止频率附近变得越来越陡峭越来越陡峭，即在通带内有更大部分的，即在通带内有更大部分的幅度接近于幅度接近于1，在阻带内以更快的速度下降至零。，在阻带内以更快的速度下降至零。Butterworth滤波器存在滤波器存在极点极点，而，而零点零点在在幅度特性幅度特性l现在来分析现在来分析Butterworth滤波器极点的分布特点。如果滤
4、波器极点的分布特点。如果用用 s 代替代替 ，即经解析延拓，得到，即经解析延拓，得到由此得到极点由此得到极点j NcaajssHsH2/1112,2,1,022NkesNkNjck，由此看出，巴特沃斯滤波器的由此看出，巴特沃斯滤波器的极点分布特点极点分布特点：在：在 s 平平面上共有面上共有2N个极点个极点等角距等角距地分布在半经为地分布在半经为 的圆周的圆周上上c极点分布极点分布这些极点这些极点对称于虚轴对称于虚轴，而，而虚轴上无极点虚轴上无极点；N为为奇数奇数时，实轴时，实轴上有两个极点；上有两个极点；N为偶数时，实轴上无极点；各个极点间的为偶数时，实轴上无极点；各个极点间的角度为角度为
5、。图示为。图示为 N=3时各极点的分布情况。时各极点的分布情况。N/3cc用极点构建系统函数用极点构建系统函数知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由 s 平面平面左半平面的极点左半平面的极点构成系统函数构成系统函数 ，根据极点分布，根据极点分布，可以得到可以得到上式中，上式中，l 是是 s 平面左半平面的极点，平面左半平面的极点，l是右半平面的极点，是右半平面的极点，lA 和和 B 都为常数都为常数。sHa NrrNkkNcaassBssAjssHsH112/11ksrs用极点构建系统函数用极点构建系统函数Butterworth滤波器有滤波器有 2N
6、个极点，且个极点，且对称于虚轴对称于虚轴，所以可，所以可将左半平面的极点分配给将左半平面的极点分配给 ，以便得到一个，以便得到一个稳定的稳定的系统，系统，把右半平面的极点分配给把右半平面的极点分配给 ，不是所需要的，不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯滤波器系统函数：可以不管它，于是有巴特沃斯滤波器系统函数：sHasHasHa 1aNkkAHsss用极点构建系统函数用极点构建系统函数l值的确定值的确定N为偶数，为偶数，A由滤波器在由滤波器在 处的处的单位冲激响应单位冲激响应来确来确定，即定，即于是得到于是得到 N为奇数可得到一样的结果。为奇数可得到一样的结果。0 102/11NkkkNkk
7、assAssAHNcNkcNkkkssA2/122/1用极点构建系统函数用极点构建系统函数l为偶数为偶数时，模拟时，模拟Butterworth滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为式中，式中，为左半平面的极点，为左半平面的极点，为为 的的共轭极点共轭极点lN为奇数为奇数时，模拟时，模拟Butterworth滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为 为负实轴上的极点。为负实轴上的极点。2/1NkkkNcasssssH 2/11NkkkpNcasssssssHksksksps设计步骤设计步骤总结设计数字总结设计数字Butterworth滤波器的步骤如下滤波器的步骤如下根据实际需要规定滤波器的根据实际需要
8、规定滤波器的数字截止频率数字截止频率 处处的的衰减衰减，单位为，单位为 dB 由数字截止频率由数字截止频率 处的处的衰减衰减计算模拟巴特沃计算模拟巴特沃斯滤波器的斯滤波器的阶数阶数N和和频率频率Sp，Sp，c设计步骤设计步骤求模拟巴特沃斯滤波器的求模拟巴特沃斯滤波器的极点极点，并由，并由 s 平面左半平面平面左半平面 的极点的极点构成系统函数构成系统函数左半平面的极点：左半平面的极点：系统函数：系统函数：使用冲激不变法或双线性变换法将使用冲激不变法或双线性变换法将 转换转换成数成数字滤波器的系统函数字滤波器的系统函数 sHa zH sHa1,2,1,022NkesNkNjck，2/1NkkkN
9、casssssH 2/11NkkkpNcasssssssH举例举例冲激响应不变法冲激响应不变法例例 4.2 设计一个数字巴特沃斯滤波器，在设计一个数字巴特沃斯滤波器，在通带通带截止频率截止频率 处处衰减衰减不大于不大于 1dB，在，在阻带阻带截止频率截止频率 处处衰减衰减不小于不小于 15dB。解解 (1)根据滤波器的指标得根据滤波器的指标得2.0p3.0S15lg201lg203.02.0jjeHeH举例举例冲激响应不变法冲激响应不变法(2)设设 T=1，将数字域指标，将数字域指标转换成模拟域指标转换成模拟域指标得得代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得解这两个
10、方程得解这两个方程得按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超过给定值。过给定值。20lg0.2120lg0.315aaHjHj 220.11.50.20.3110110NNcc 7032.068858.5cNN，取举例举例冲激响应不变法冲激响应不变法(3)把把 代入式子代入式子得到得到 s 平面左半平面的平面左半平面的3对极点对极点分别为：分别为：由这由这3对极点构成的滤波器的系统函数为对极点构成的滤波器的系统函数为7032.06cN，12,2,1,022NkesNkNjck，0.18200.67920.49720.49720.67920
11、.1820jjj 4945.03585.14945.09945.04945.03640.012093.02222/1sssssssssssHNkkkNca举例举例冲激响应不变法冲激响应不变法(4)将上述模拟系统函数将上述模拟系统函数部分分式展开部分分式展开，再按照冲激响应不，再按照冲激响应不变法求得数字滤波器的系统函数为变法求得数字滤波器的系统函数为可以代入可以代入 来来验证验证滤波器的各项性能指标是否满滤波器的各项性能指标是否满足要求。可见，设计的滤波器完全满足规定的技术指标。足要求。可见，设计的滤波器完全满足规定的技术指标。-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-60.00063 z0.
12、0101 z0.01614 z0.0041z0.0001z1 3.3635 z5.0685 z4.2759 z2.1067z0.57066 z0.0661zH zjez 举例举例冲激响应不变法冲激响应不变法(5)实现上述设计的实现上述设计的MATLAB程序程序如下如下a=10.1.5-1;b=10.0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(3/2),pause;n=ceil(n);wc=0.2*pi/b.(1/2/n),pause;z,p,k=butter(6,0.7032,s),pause;sosa,ga=zp2sos(z,p,k),pause;b,a=sos2t
13、f(sosa,ga);bz,az=impinvar(b,a,1)sos,g=tf2sos(bz,az)举例举例双线性变换法双线性变换法例例 4.3 用双线性变换法设计一个数字巴特沃斯滤波器，设用双线性变换法设计一个数字巴特沃斯滤波器，设取样频率为取样频率为 ，在通带，在通带截止频率截止频率 处处衰减衰减不大于不大于 1dB，在阻带截止频率，在阻带截止频率 处衰减不小于处衰减不小于 15dB。解解 (1)将模拟截止频率转换成将模拟截止频率转换成数字截止频率数字截止频率3.02.013000220002TTfTffTTppsTTpp，所以，因为kHzfs10kHzfp1kHzfT5.1举例举例双线
14、性变换法双线性变换法(2)计算计算将模拟截止频率进行将模拟截止频率进行预畸变预畸变，即，即于是得到于是得到 即即cN和2tan2ppT2tan2TTT15lg201lg20TapajHjH1523.0tan2lg20122.0tan2lg20TjHTjHaa举例举例双线性变换法双线性变换法l现在可以认为模拟频率是归一化的频率，即令现在可以认为模拟频率是归一化的频率，即令 T=1，得，得0.20.320lg2tan120lg2tan1522aaHjHj 220.11.510.210.312tan1012tan1022NNcc 6466.3.5NN，取76622.0cc即：即：解得：解得：再代入左
15、边下面阻带指标式子求得：再代入左边下面阻带指标式子求得：可以验算这个可以验算这个 值对应的阻带指标刚好满足要求，值对应的阻带指标刚好满足要求，而通带指标已经超过要求。而通带指标已经超过要求。举例举例双线性变换法双线性变换法(3)把把 代入式子代入式子得到得到 s 平面左半平面的平面左半平面的3对极点对极点分别为：分别为：由这由这3对极点构成的滤波器的系统函数为对极点构成的滤波器的系统函数为76622.06cN，12,2,1,022NkesNkNjck，0.198310.740120.541810.541810.740120.19831jjj 5871.04802.15871.00836.158
16、71.03966.020237.02222/1sssssssssssHNkkkNca举例举例双线性变换法双线性变换法(4)将上述模拟将上述模拟Butterworth滤波器的系统函数按照滤波器的系统函数按照双线双线性变换法性变换法求得数字滤波器的系统函数为求得数字滤波器的系统函数为 2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-11120.70513zz1.2686510.08717zz0.1775009036.00.35827zz1.0105810.09036zz18068.009036.00.21552zz0.9043710.09367zz18399.009036.011zzTsasHzH举例
17、举例双线性变换法双线性变换法(4)这个滤波器由这个滤波器由3个个二阶节级联二阶节级联构成，如果每个二阶节都采构成，如果每个二阶节都采用用直接直接II型型结构，则这个滤波器的流程图如下图所示。结构，则这个滤波器的流程图如下图所示。为了检验所设计的数字滤波器性能指标，将为了检验所设计的数字滤波器性能指标，将 代入验证代入验证 nx09036.09044.0 ny1z1840.01z1z1z1z1z09367.00106.11807.009036.009036.02155.03583.009036.02687.17051.01775.008717.0jez举例举例双线性变换法双线性变换法(5)求解该题的求解该题的MATLAB程序程序如下：如下：a=10.1.5-1;b=10.0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(tan(0.15*pi)/tan(0.1*pi),pause;n=ceil(n)wc=2*tan(0.15*pi)/a.(1/2/n),pause;z,p,k=butter(n,wc,s),pause;sosa,ga=zp2sos(z,p,k),pause;b,a=zp2tf(z,p,k);pause;bz,az=bilinear(b,a,1)sos,g=tf2sos(bz,az)
