1、1等差数列等差数列 2三年三年1919考考 高考指数高考指数:1.1.理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；2.2.掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n n项和公式；项和公式；3.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题知识解决相应的问题.31.1.等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n n项和公式是考查重点；项和公式是考查重点；2.2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想
2、、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；质解决等差数列问题是重点，也是难点；3.3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主题为主.41.1.等差数列的定义等差数列的定义(1)(1)条件：一个数列从条件：一个数列从_起，每一项与前一项的差是同一起，每一项与前一项的差是同一个常数个常数.(2)(2)公差：是指常数，通常用字母公差：是指常数，通常用字母d d表示表示.(3)(3)定义表达式：定义表达式：_(nN_(nN+).).第第2 2项项a an+1n+1-a-an n=d(=d(常数常数)5【即时应用即时应用】判断下列数
3、列是否为等差数列判断下列数列是否为等差数列.(.(请在括号中填写请在括号中填写“是是”或或“否否”)(1)(1)数列数列0 0，0 0，0 0，0 0，0 0，()()(2)(2)数列数列1 1，1 1，2 2，2 2，3 3，3 3，()()(3)(3)数列数列 ()()(4)(4)数列数列a,2a,3a,4aa,2a,3a,4a，()()2345，6【解析解析】(1)(4)(1)(4)中从第二项开始，每一项与前一项的差为同中从第二项开始，每一项与前一项的差为同一常数；而一常数；而(2)(3)(2)(3)中从第二项开始中从第二项开始,每一项与前一项的差并每一项与前一项的差并不是同一常数，故不
4、是同一常数，故(1)(4)(1)(4)为等差数列，为等差数列，(2)(3)(2)(3)不是不是.答案：答案：(1)(1)是是 (2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是72.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列若等差数列aan n 的首项是的首项是a a1 1，公差是，公差是d d，则其通项公式为，则其通项公式为a an n=_.=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d8【即时应用即时应用】(1)(1)思考：公差思考：公差d d与数列与数列aan n 的单调性有什么关系？的单调性有什么关系？提示：提示：当当d0d0时，时，aan n 为递增数列；当为递增数列；当d
5、0d0时，时，aan n 为递减数列；为递减数列；当当d=0d=0时，时，aan n 为常数列为常数列.9(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,则数列的通项公式为则数列的通项公式为_._.【解析解析】aa5 5=a=a1 1+4d,a+4d,a1212=a=a1 1+11d,+11d,aan n=a=a1 1+(n-1)d=-2+(n-1)+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.3=3n-5.答案：答案：a an n=3n-5=3n-5111a4d10a2,a11d31d3解得10(3)(3)等差数列等差数列1010，
6、7 7，4 4，的第的第2020项为项为_._.【解析解析】由由a a1 1=10,d=7-10=-3,n=20,=10,d=7-10=-3,n=20,得得a a2020=10+(20-1)=10+(20-1)(-3)=-47.(-3)=-47.答案：答案：-47-47113.3.等差中项等差中项如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数A A，使，使a,A,ba,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么_叫叫作作a a与与b b的等差中项的等差中项.A A12【即时应用即时应用】(1)(1)是是a a，A A，b b成等差数列的成等差数列的_条件条件.(2)(2)若等差数列若等差
7、数列aan n 的前三项依次为的前三项依次为a,2a+1,4a+2,a,2a+1,4a+2,则它的第则它的第五项为五项为_._.abA213【解析解析】(1)(1)若若 可知可知2A=a+b,2A=a+b,可推出可推出A-a=b-A,A-a=b-A,所以所以a,A,ba,A,b成等差数列；反之，若成等差数列；反之，若a,A,ba,A,b成等差数列，则成等差数列，则 故故 是是a a，A A，b b成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件.(2)(2)由题意知由题意知2a+12a+1是是a a与与4a+24a+2的等差中项，即的等差中项，即2a+1=2a+1=解得解得a=0,a=0,故数列故数列
8、aan n 的前三项依次为的前三项依次为0 0，1 1，2 2，则，则a a5 5=0+4=0+41=4.1=4.答案：答案：(1)(1)充要充要 (2)4(2)4 abA,2abA.2abA2a4a2,2144.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式(1)(1)已知等差数列已知等差数列aan n 的首项的首项a a1 1和第和第n n项项a an n,则其前则其前n n项和公式项和公式S Sn n=_.=_.(2)(2)已知等差数列已知等差数列aan n 的首项的首项a a1 1与公差与公差d d，则其前，则其前n n项和公式项和公式S Sn n=_.=_.1nn(aa)21n(
9、n 1)nad215【即时应用即时应用】(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=5,a=5,an n=95,n=10,=95,n=10,则则S Sn n=_.=_.(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a1 1=100,d=-2,n=50,=100,d=-2,n=50,则则S Sn n=_.=_.(3)(3)在等差数列在等差数列aan n 中，中，d=2,n=15,ad=2,n=15,an n=-10,=-10,则则S Sn n=_.=_.16【解析解析】(1)(1)(2)(2)=50=50(100-49)=2 550.(100-49)=2 550.
10、(3)(3)由由a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d得得,-10=a-10=a1 1+(15-1)+(15-1)2,2,解得解得a a1 1=-38,=-38,答案：答案：(1)500 (2)2 550 (3)-360(1)500 (2)2 550 (3)-360 1nnn(aa)10(5 95)S500.22n1n(n 1)50 49Snad50 100(2)22 1nnn(aa)S215(38 10)360.2 17 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【方法点睛方法点睛】1.1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项等差数列运算
11、问题的一般求法是设出首项a a1 1和公差和公差d d，然后由，然后由通项公式或前通项公式或前n n项和公式转化为方程项和公式转化为方程(组组)求解求解.182.2.等差数列前等差数列前n n项和公式的应用方法项和公式的应用方法等差数列前等差数列前n n项和公式有两个，如果已知项数项和公式有两个，如果已知项数n n、首项、首项a a1 1和第和第n n项项a an n，则利用，则利用 如果已知项数如果已知项数n n、首项、首项a a1 1和公差和公差d d，则利用则利用 在求解等差数列的基本运算问题时，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用有时会和通项公式结合使用.1nnn(
12、aa)S,2n1n(n 1)dSna.219【例例1 1】(1)(2011(1)(2011广东高考广东高考)等差数列等差数列aan n 前前9 9项的和等于前项的和等于前4 4项的和项的和.若若a a1 1=1,a=1,ak k+a+a4 4=0,=0,则则k=_.k=_.(2)(2011(2)(2011湖北高考湖北高考)九章算术九章算术“竹九节竹九节”问题：现有问题：现有一根一根9 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 4节节的容积共为的容积共为3 3升，下面升，下面3 3节的容积共节的容积共4 4升，则第升，则第5 5节的容积为节的容
13、积为_升升.(3)(2011(3)(2011福建高考福建高考)已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,a3 3=-3.=-3.求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；若数列若数列aan n 的前的前k k项和项和S Sk k=-35=-35，求，求k k的值的值.20【解题指南解题指南】(1)(1)根据根据S S9 9=S=S4 4求公差求公差d d，利用，利用a ak k+a+a4 4=0=0求求k.k.(2)(2)转化为关于转化为关于a a1 1,d,d的方程组，先求的方程组，先求a a1 1,d,d,再求再求a a5 5，或直接转，或直接转化为关于化
14、为关于a a5 5,d,d的方程组求解的方程组求解.(3)(3)求出公差求出公差d d后直接写出后直接写出a an n，求出，求出S Sn n，根据，根据S Sk k=-35=-35求求k k的值的值.21【规范解答规范解答】(1)S(1)S4 4=S=S9 9,答案：答案：1010k4k44 39 814 1d9 1d,d,226117a1(k 1)()k,66611a1 3(),62171aa0k0,k10.662 解得则由，得22(2)(2)方法一：设自上第一节竹子容量为方法一：设自上第一节竹子容量为a a1 1,依次类推，数列依次类推，数列aan n 为等差数列为等差数列.又又a a1
15、 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=4a=4a1 1+6d=3,+6d=3,a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=3a=3a1 1+21d=4,+21d=4,解得解得1137a,d,22665113767aa4d4.226666 23方法二：设自上第一节竹子容量为方法二：设自上第一节竹子容量为a a1 1，依次类推，依次类推,则第九节容则第九节容量为量为a a9 9,且数列且数列aan n 为等差数列为等差数列.a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=3,a=3,a7 7+a+a8 8+a+a9 9=4,=4,即即4a4a5 5-10d=3-10d=33a3a5
16、 5+9d=4+9d=4联立解得联立解得a a5 5=答案：答案：67.66676624(3)(3)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，由由a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3可得可得1+2d=-31+2d=-3，解得，解得d=-2.d=-2.从而从而a an n=1+(n-1)=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n.由知由知a an n=3-2n,=3-2n,由由S Sk k=-35=-35得得2k-k2k-k2 2=-35.=-35.即即k k2 2-2k-35=0-2k-35=0，解得，解得k=7k=7或或k=-5.k=-5.又又kNkN+,
17、故故k=7.k=7.2nn 1(3 2n)S2nn.225【互动探究互动探究】本例本例(3)(3)中，若将中，若将“a a1 1=1,a=1,a3 3=-3”=-3”改为改为“a a1 1=31,=31,S S1010=S=S2222”，试求，试求S Sn n;这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.26【解析解析】SS1010=a=a1 1+a+a2 2+a+a1010,S S2222=a=a1 1+a+a2 2+a+a2222，又，又S S1010=S=S2222，a a1111+a+a1212+a+a2222=0=0，即即a a1111+
18、a+a2222=2a=2a1 1+31d=0,+31d=0,又又a a1 1=31,d=-2,=31,d=-2,112212(aa)0,22n1n(n 1)Snad31nn(n 1)32nn.227方法一：由知方法一：由知S Sn n=32n-n=32n-n2 2,当当n=16n=16时，时，S Sn n有最大值，有最大值，S Sn n的最大值是的最大值是256.256.方法二：由方法二：由S Sn n=32n-n=32n-n2 2=n(32-n),=n(32-n),欲使欲使S Sn n有最大值，应有有最大值，应有1n32,1n6),=324(n6),求数列求数列aan n 的项数及的项数及a
19、 a9 9+a+a1010.44【解题指南解题指南】(1)(1)根据根据S S2 2=S=S6 6，先求，先求a a4 4+a+a5 5的值，再求的值，再求a a5 5.(2)(2)根据性质知根据性质知a a1 1+a+a1717=a=a7 7+a+a1111=a=a5 5+a+a1313=2a=2a9 9求解求解.(3)(3)根据前根据前6 6项与最后项与最后6 6项的和求出项的和求出a a1 1+a+an n,再求再求n n及及a a9 9+a+a1010.45【规范解答规范解答】(1)S(1)S2 2=S=S6 6，S S6 6-S-S2 2=a=a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a
20、+a6 6=0=0，2(a2(a4 4+a+a5 5)=0,)=0,即即a a4 4+a+a5 5=0=0，a a5 5=-a=-a4 4=-1.=-1.答案：答案：-1-146(2)(2)数列数列aan n 为等差数列，且为等差数列，且S S1717=51=51，=51,=51,即即a a1 1+a+a1717=6=6，a a5 5-a-a7 7+a+a9 9-a-a1111+a+a1313=(a=(a5 5+a+a1313)-(a)-(a7 7+a+a1111)+a)+a9 9=6-6+3=3.=6-6+3=3.答案：答案：3 311717(aa)247(3)(3)由题意知由题意知a a1
21、 1+a+a2 2+a+a6 6=36 =36 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+an-5n-5=180 =180 +得得(a(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+)+(a+(a6 6+a+an-5n-5)=6(a)=6(a1 1+a+an n)=216)=216，a a1 1+a+an n=36,=36,又又18n=324,n=18.18n=324,n=18.aa1 1+a+a1818=36,=36,aa9 9+a+a1010=a=a1 1+a+a1818=36.=36.1nnn(aa)S324,248【互动探究互动探究】若本例若本例(
22、1)(1)条件不变，改为求此等差数列的前条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值多少项的和最大，并求出最大值.【解析解析】在本例在本例(1)(1)中已求解出中已求解出a a5 5=-1,=-1,又又a a4 4=1,=1,得公差得公差d=-2,d=-2,前前4 4项的和最大项的和最大,且且S S4 4=1+3+5+7=16.=1+3+5+7=16.49【反思反思感悟感悟】1.1.在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k是常用的性质，本例是常用的性质，本例
23、(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)题都用到题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯规律，不要犯a a2 2+a+a5 5=a=a7 7的错误的错误.2.2.本例本例(2)(2)也可先求也可先求a a1 1与与d d的关系，然后求解的关系，然后求解,但不如用性质简但不如用性质简单单.50【变式备选变式备选】等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知a am-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2=0,S=0,S2m-12m-1=38,=38,求求m m的值的值.
24、【解析解析】aam-1m-1+a+am+1m+1=2a=2am m,aam-1m-1+a+am+1m+1-a-am m2 2=2a=2am m-a-am m2 2=0=0，解得解得a am m=0=0或或a am m=2.=2.又又a a1 1+a+a2m-12m-1=2a=2am m,aam m0,a0,am m=2,=2,2m-1=19,2m-1=19,解得解得m=10.m=10.12m 12m 1maaS(2m 1)(2m 1)a38,251【满分指导满分指导】等差数列主观题的规范解答等差数列主观题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012广州模拟广州模拟)已知等差数
25、列已知等差数列aan n 满足：满足：a a3 3=7=7，a a5 5+a+a7 7=26=26，aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n.(1)(1)求求a an n及及S Sn n；(2)(2)令令 (nN(nN+)，求数列，求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n.n2n1ba152【解题指南解题指南】分析题意知，对本题分析题意知，对本题(1)(1)可列方程组求解；可列方程组求解；(2)(2)将将a an n代入代入b bn n后，表示出后，表示出b bn n是解题关键是解题关键.53【规范解答规范解答】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为
26、d d，因为因为a a3 3=7=7，a a5 5+a+a7 7=26=26，所以有，所以有解得解得a a1 1=3,d=2=3,d=2，3 3分分所以所以a an n=3+2(n-1)=2n+1,=3+2(n-1)=2n+1,6 6分分11a2d72a10d26，2nn(n 1)S3n2n2n.254(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=2n+1=2n+1，所以所以 9 9分分所以所以 1111分分即数列即数列bbn n 的前的前n n项和项和 1212分分n22n1111ba1(2n 1)14n(n 1)111()4nn 1，n111111T(1)4223nn 111n(1),4n
27、 14(n 1)nnT.4(n 1)55【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：下失分警示和备考建议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项能准确求出首项a a1 1和公差和公差d d；(2)(2)在求解数列在求解数列bbn n 的前的前n n项和时，不能熟练准确地利用裂项和时，不能熟练准确地利用裂项公式项公式.56备备考考建建议议 解决等差数列问题时，
28、还有以下几点容易造成失分，在备解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注考时要高度关注:(1)(1)对通项公式与前对通项公式与前n n项和公式记忆错误；项和公式记忆错误；(2)(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项.另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题解决一些数列求和问题.571.(20111.(2011江西高考江西高考)设设aan n 为等差
29、数列，公差为等差数列，公差d=-2,Sd=-2,Sn n为其前为其前n n项和项和.若若S S1010=S=S1111，则，则a a1 1=()=()(A)18 (B)20 (C)22 (D)24(A)18 (B)20 (C)22 (D)24【解析解析】选选B.B.因为因为S S1010=S=S1111，所以，所以a a1111=0,=0,而而a a1111=a=a1 1+10d=a+10d=a1 1+10+10(-2)=0,(-2)=0,所以所以a a1 1=20.=20.582.(20112.(2011天津高考天津高考)已知已知aan n 为等差数列，为等差数列，S Sn n为其前为其前n
30、 n项和，项和，nNnN+,若若a a3 3=16,S=16,S2020=20,=20,则则S S1010的值为的值为_._.【解析解析】由题意知由题意知答案：答案：11011011110a2d16a20,20a190d20d210 9S10 20(2)110.2 解得593.(20113.(2011重庆高考重庆高考)在等差数列在等差数列aan n 中，中，a a3 3+a+a7 7=37,=37,则则a a2 2+a+a4 4+a a6 6+a+a8 8=_.=_.【解析解析】aa2 2+a+a8 8=a=a4 4+a+a6 6=a=a3 3+a+a7 7=37=37，a a2 2+a+a4
31、 4+a+a6 6+a+a8 8=37=372=74.2=74.答案：答案：7474604.(20124.(2012郑州模拟郑州模拟)f(x)f(x)对任意对任意xRxR都有都有f(x)+f(1-x)=f(x)+f(1-x)=(1)(1)求求f()f()和和f()+f()(nNf()+f()(nN+)的值的值;(2)(2)数列数列aan n 满足：满足：a an n=f(0)+f()+f()+f()+f(1)=f(0)+f()+f()+f()+f(1)，数列数列aan n 是等差数列吗？请给予证明是等差数列吗？请给予证明;(3)(3)令令 试比较试比较T Tn n与与S Sn n的大小的大小.
32、1.2121nn 1n1n2nn 1n2222nn123nnn416b,Tbbbb,S32.4a1n61【解析解析】(1)(1)因为因为1111111f()f(1)f()f(),f().2222224所以1111x,f()f(1),nnn21n 11f()f().nn2令得即62两式相加得两式相加得2a2an n=f(0)+f(1)f(0)+f(1)+f()+f()f()+f()+f(1)+f(0)f(1)+f(0)=所以所以又又故数列故数列aan n 是等差数列是等差数列.nn1n 1(2)af(0)f()f()f(1),nnn 11af(1)f()f()f(0),nn又1nn 1nn 1.2nn 1a,4n 1nn 1 1n 11aa,444 63(3)(3)所以所以T Tn nSSn n.nn44b,4a1n222n12n222n111Tbbb16(1)23n11116 11 22 3n(n 1)1111116 1(1)()()223n 1n11616(2)32S.nn6465
