1、第二章 数 列 2.5 等比数列的前n项和(一) 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 (1)公式：Sn a11qn 1q a 1anq 1q q1， q1. 知识梳理 自主学习 知识点一 等比数列前n项和公式及其推导 1.等比数列前n项和公式 答案 na1 (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况. 2.等比数列前n项和公式的推导 推导1 求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列an， 若q1，Sna1a1qa1q2a
2、1qn1a1q(a1a1qa1qn1 a1qn1)a1q(Sna1qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？ 答案 答案 由 Sna1q(Sna1qn 1)，得(1q)Sn a1a1qn.所以 Sn a11qn 1q . 答案 推导 2 在等比数列an中， 若 q1， n2 时， 则有a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 q.由等比性质，得 a2a3an a1a2an1q，至此你能用 a1 和 q 表示出 Sn吗？ 答案 由 a2a3an a1a2an1 q(n2)，得 Sna1 Snan q，于是 Sn a1anq 1q a11qn 1q (n2).当 n1 时， S1a1a
3、11q 1 1q ， 也满足上式.于是 Sna 1anq 1q a 11q n 1q (nN*). 思考 设f(n)2242723n1 (nN*)，则f(n)等于( ) 答案 A.2 7(8 n1) B.2 7(8 n11) C.2 7(8 n21) D.2 7(8 n31) 解析 f(n)2242723n1218 n1 18 2 7(8 n11). B 注意 参与求和的项共有多少项. 知识点二 错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列 与一个等比数列对应项积的前n项和. 返回 错位相减 答案 题型探究 重点突破 题型一 等比数列基本量的计算 例1 在等比数列an
4、中， (1)S230，S3155，求Sn； 解析答案 解 由题意知 a11q30， a11qq2155， 解得 a15， q5， 或 a1180， q5 6. 从而 Sn1 45 n15 4或 Sn 1 08015 6 n 11 . (2)a1a310，a4a65 4，求S5； 解析答案 解 方法一 由题意知 a1a1q210， a1q3a1q55 4， 解得 a18， q1 2， 从而 S5a 11q 5 1q 31 2 . 方法二 由(a1a3)q3a4a6， 得 q31 8，从而 q 1 2. 又a1a3a1(1q2)10， 所以 a18，从而 S5a 11q5 1q 31 2 . (3
5、)a1an66，a2an1128，Sn126，求q. 反思与感悟 解 因为a2an1a1an128， 所以a1，an是方程x266x1280的两根. 从而 a12， an64 或 an2， a164. 又 Sna 1anq 1q 126，所以 q 为 2 或1 2. 跟踪训练1 在等比数列an中， (1)若 a1 2，an16 2，Sn11 2，求 n 和 q； 解 由 Sna 1anq 1q 得 11 2 216 2q 1q ， 解析答案 q2， 又由 ana1qn1得 16 2 2(2)n1， n5. (2)已知S41，S817，求an. 解析答案 解 若q1，则S82S4，不合题意，q1
6、， S4a 11q 4 1q 1，S8a 11q 8 1q 17， 两式相除得1q 8 1q4171q 4， q2或q2， a1 1 15或 a1 1 5， an 1 15 2 n1 或1 5 (2) n1. 题型二 错位相减法求和 例2 设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b1 1，a3b521，a5b313. (1)求an，bn的通项公式； 解析答案 解 设an的公差为d，bn的公比为q. 由题意有 q0 且 12dq421， 14dq213， 解得 d2， q2. an1(n1)22n1，bn2n1. 解析答案 (2)求数列an bn的前 n 项和 Sn. 反思与感悟
7、解析答案 跟踪训练2 求数列nxn的前n项和. 题型三 等差、等比数列的综合问题 例3 已知等比数列an中，a21 4，a5 1 32. (1)试求an的通项公式； 解析答案 解 根据等比数列的通项公式ana1qn1，nN*并结合已知条件得 a21 4 a5 1 32 a1q1 4 a1q4 1 32 a11 2 q1 2 ， 所以 an1 2 1 2 n1 1 2 n，nN*； (2)若数列bn满足：bn n an(nN *)，试求bn的前n项和公式Tn. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 在等比数列an中，a23，a581. (1)求an及其前n项和Sn； 解 设an的公比为q，
8、依题意得 a1q3 a1q481 ，解得 a11 q3 ， 因此，an3n1，Sn1 13n 13 3 n1 2 . 解析答案 (2)设 bn1log3an，求数列 1 bn bn1 的前 10 项和 T10. 解 由(1)知bn1log3an1(n1)n， 则 1 bnbn1 1 nn1 1 n 1 n1， 所以 T10 1 12 1 23 1 1011 11 2 1 2 1 3 1 10 1 11 1 1 11 10 11. 解析答案 应用等比数列前n项和公式时忽视分类讨论致误 易错点 例4 等比数列1,2a,4a2,8a3，的前n项和Sn_. 误区警示 返回 当堂检测 1 2 3 4 5
9、 1.已知等比数列an的首项a13，公比q2，则S5等于( ) A.93 B.93 C.45 D.45 A 解析答案 解析 S5a 11q 5 1q 312 5 12 93. A.11 8 B.19 16 C. 9 8 D. 3 4 1 2 3 4 5 2.在等比数列an中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4 a5a6a7等于( ) 解析答案 解析 由题意得 S4a 113 4 13 40a1，又 a23a1， 1 2 3 4 5 解析答案 3.设等比数列an的公比 q3，前 n 项和为 Sn，则S4 a2等于_. S4 a2 40 3 . 40 3 1 2 3 4 5 解析答案
10、4.等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和是_. 解析 a5a2 q3，q3243 9 27. 公比q3，从而a13， S4a 11q 4 1q 313 4 13 120. 120 1 2 3 4 5 解析答案 5.数列an的通项公式为 an2n1 2n ，则它的前 n 项和 Sn_. 课堂小结 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n， q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q 1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况. 3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求 数列an bn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和. 返回
