1、第二章 数 列 2.4 等比数列 (二) 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断是否成等比数列的方法. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 推广的等比数列的通项公式 an是等比数列，首项为a1，公比为q，则an ，an (m、 nN*). 思考1 如何推导anamqnm? 答案 a1qn1 答案 根据等比数列的通项公式， ana1qn1， ama1qm1， an amq nm，anam qnm. am qnm 思考2 若已知等比数列an中，q3，a33，则a7_. 解析
2、答案 解析 a7a3 q43 3435243. 243 知识点二 等比数列的性质 1.如果mnkl，则有 . 2.如果mn2k，则有am an . 3.若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列. 4.在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列， 所得的新数列仍为 数列. 答案 am anak al a2 k 等比 6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离” 的两项之积等于首末两项的积，即a1 an . 答案 a2 an1 5.如果an， bn均为等比数列， 且公比分别为 q1， q2， 那么数列 1 an ， an bn， bn an ，|
3、an|仍是等比数列，且公比分别为 1 q1，q1q2， q2 q1，|q1|. ak ank1 思考 等比数列an中，a3 a9 a5 _，a5 a11_. 解析 由等比数列的性质得 a5 a11a2 8. 返回 答案 a3 a9a5 a7，a3 a9 a5 a7. a7 a2 8 题型探究 重点突破 题型一 等比数列的性质及应用 例1 (1)在等比数列an中，若a3a69，a2a4a527，则a2的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.9 解析答案 解析 因为an为等比数列，所以a3a6a4a59， 又因为a2a4a527，所以a23. B (2)已知公比为q的等比数列an中，a5a91
4、2q，则a6(a22a6a10)的 值为_. 解析答案 反思与感悟 解析 a5a91 2q，a4a8 1 2， a6(a22a6a10)a6a22a2 6a6a10 a2 42a4a8a 2 8 a4a8 21 4. 1 4 跟踪训练 1 (1)在等比数列an中， a7 a116，a4a145，则a20 a10等于( ) A.2 3 B. 3 2 C.2 3或 3 2 D. 2 3或 3 2 解析答案 (2)已知数列an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3 a5_. 解析答案 解析 由a2a42a3a5a4a625， 即 a2 32a3a5a 2 5(a3a5) 22
5、5， an0，a3a50，a3a55. 5 题型二 灵活设项求解等比数列 例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为3 2， 则此4个数为_. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8， 后三个数依次成等差数列，它们的积为80，求出这四个数. 解 由题意设此四个数为b q，b，bq，a， 则有 b38 2bqab ab2q80 ， 解得 a10 b2 q2 或 a8 b2 q5 2 . 所以这四个数为 1，2,4,10 或4 5，2，5，8. 解析答案 题型三 等比数列的实际应用 例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，
6、到2014年 底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象： 原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同 时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能 使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 20.3，最后结果精确 到整数). 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和 25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上 年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？ 解 由题意可得 16a(125%)n125a(120%)n1， 解得n2
7、， 故到2017年两林场木材的总存量相等. 解析答案 (2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？ 解 令 n5，则 a516a 5 4 425a 4 5 42(16a25a)， 故到2019年不能翻一番. 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.在正项等比数列an中，an1an，a2 a86，a4a65，则a5 a7等于( ) A.5 6 B. 6 5 C.2 3 D. 3 2 2.等比数列an中，a24，a7 1 16，则 a3a6a4a5 的值是( ) A.1 B.2 C.1 2 D. 1 4 1 2 3 4 5 C 解析答案 解析 a3a6a4a5a2a74 1 16 1
8、 4， a3a6a4a51 2. a 2 016a2 017 a2 014a2 015 a2 016 1q a2 014 1q a2 016 a2 014q 29. 3.在正项等比数列an中， 3a1， 1 2a3,2a2 成等差数列， 则a 2 016a2 017 a2 014a2 015等于( ) A.3或1 B.9或1 C.1 D.9 1 2 3 4 5 D 解析答案 解析 由3a1，1 2a3,2a2成等差数列可得a33a12a2， 即a1q23a12a1q， a10，q22q30. 解得q3或q1(舍). 1 2 3 4 5 解析答案 4.已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差
9、数列，后三个数成等比数 列，则b等于( ) A.20 B.18 C.16 D.14 解析 由题意可得2a41216a8，又1228bb18. B 1 2 3 4 5 解析答案 解析 设插入的 3 个数依次为 a，b，c，即1 2，a，b，c,8 成等比数列， 由等比数列的性质可得 b2ac1 284， 因为 a 21 2b0， b2(舍负). 所以这 3 个数的积为 abc428. 5.在1 2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这 3个数的积为_. 8 课堂小结 1.等比数列的性质及其应用 巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要. 2.灵活设项解决等比数列的问题. 返回
