1、4 4 旋转曲面的面积旋转曲面的面积定积分的所有应用问题，一般总可按定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似分割，近似求和，取极限求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式三个步骤导出所求量的积分形式.但为简但为简便实用起见，也常采用下面介绍的便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法微元法”.本节将采本节将采用此法来处理用此法来处理.首页首页一、微元法一、微元法 为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义 时引入的例子时引入的例子求曲边梯形的面积问题求曲边梯形的面积问题.设设 f 为闭区间为闭区间 a，b 上的连续函数，且上的连续函数，且 f
2、（x）0.0.由曲线由曲线 y=f(x),),直线直线x=a,x=b称为称为曲边梯形曲边梯形.首页首页以及以及 x 轴所围成的平面图形轴所围成的平面图形,xOyaby=f(x)下面讨论曲边梯形的面积下面讨论曲边梯形的面积.作法：作法：（）（）分割分割这些点把这些点把 a,b 分割成分割成n个小区间个小区间 x,xi,i=1,2,n.再再用直线用直线x=xi,i=1,2,=1,2,，n-1-1把曲边梯形分割成把曲边梯形分割成n个小曲边梯形个小曲边梯形.依次为依次为 a=x0 x1x2xnxn=b,在区间在区间 a,b 内任取内任取n-1-1个分点，它们个分点，它们xOyaby=f(x)x1xi-
3、1xixn首页首页（iiii）近似求和近似求和当分割当分割 a,b 的点分点较多的点分点较多,又分割又分割首页首页得较细密时得较细密时,由于由于f为连续函数为连续函数,它在每个小它在每个小区间上的值变化不大区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似从而可用这些小矩形的面积近似 替代相应小曲边梯形的面积替代相应小曲边梯形的面积.和就可作为该曲边梯形面积和就可作为该曲边梯形面积S S的近似值的近似值,即即1()niiiSfxiii 1(xxx).i,在每个小区间在每个小区间 xi-1-1,xi 上任取一点上任取一点作以作以f()()为高，为高，xi-1,xi 为底的小矩形为底的小矩形.i x
4、Oyaby=f(x)x1xi-1xixn于是于是,n 个小矩形面积之个小矩形面积之i注意到注意到(1)(1)式右边的和式既依赖于对区间式右边的和式既依赖于对区间 a,b 有关有关.可以想象可以想象,当分点无限增多当分点无限增多,且对且对 a,b 无限细无限细分时分时,如果此和式与某一常数无限接近如果此和式与某一常数无限接近,且与分点且与分点xi,形的面积形的面积S.的分割的分割,又与所有中间点又与所有中间点 (i=1,2,，n）的取法）的取法 i 中间中间 点的选取无关点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯则就把此常数定义作为曲边梯i 首页首页（iiiiii）取极限取极限nbiiaT0 i1
5、Sf()xf(x)dx.lim 引入问题：引入问题：上述过程显然是比较上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？实际问题如何直接利用定积分表示呢？我们看出，在引出我们看出，在引出的积分表达式的步骤中，关键是的积分表达式的步骤中，关键是第二步第二步.这一步是确定的近似值这一步是确定的近似值.完成了这一步，再求和完成了这一步，再求和取极限取极限，从而求得，从而求得的精确值的精确值.在实际应用中在实际应用中,为简便起见为简便起见省略下标省略下标i，用，用表示表示 a，b 上任一小区间上任一小区间 x，x+x 上的上的窄曲边梯形的面积窄曲边梯形的面积:
6、=首页首页取任一小区间取任一小区间 x，x+x 上的左端点为上的左端点为，这样，这样 的近似值为以点的近似值为以点x处的函数值处的函数值 f(x)为高为高,x为底的矩形面为底的矩形面 f(x)x=f(x)dx.积，即积，即由于当由于当x趋于零时趋于零时,-f(x)x=o(=o(x),),根据微分根据微分定义知，定义知，dA=f(x)dx.于是于是,取极限取极限,得：得：baT0f(x)dxf(x)dx.lim =f（x）dx首页首页一般地，我们归纳出所求量一般地，我们归纳出所求量的积分表达式的步骤的积分表达式的步骤.(1)(1)选取积分变量及变化区间；选取积分变量及变化区间；(2)(2)设想把
7、区间设想把区间 a,b 分成分成n个小区间个小区间,取其中任一小取其中任一小区间并记作区间并记作 x,x+x，求出相应于此小区间的，求出相应于此小区间的部分量部分量的近似值的近似值f（x）dx；首页首页(3)(3)以以f（x）dx作为被积表达式，得到所求量作为被积表达式，得到所求量的积分表达式的积分表达式:baf(x)dx.用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法微元法（或（或元素法元素法）,其中其中f(x)dx为所求量的元素为所求量的元素.在实际问题中，若所求量为面积，则称在实际问题中，若所求量为面积，则称f(x)dx为面积元素为面积元素,所求量
8、为功，则称所求量为功，则称f（x）dx为功元素为功元素.显然，微元法要比按显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限分割，近似求和，取极限”三三个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？首页首页（1 1）所求量所求量关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间 a,b 分成许多部分区间，则所求量分成许多部分区间，则所求量也相应地分成许多也相应地分成许多可以用微元法的条件：可以用微元法的条件：部分量，且所求量等于部分量之和部分量
9、，且所求量等于部分量之和=；（2 2）能把能把的微小增量的微小增量 近似地表示为近似地表示为x的线性形式的线性形式 f(x)x，且当且当x 趋于零时趋于零时,f(x)x=o(x).从而从而f(x)dx.首页首页首页首页对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为:A x，并有，并有dA=dx；yyA（x）x，并有，并有dV=A（x）dx；s x，并有，并有ds=dx.21y 21y 二、旋转曲面的面积二、旋转曲面的面积这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的
10、面积公式这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式.（不妨设（不妨设 f(x)0)0）这段曲线绕）这段曲线绕x x轴旋转一周得到旋转曲面轴旋转一周得到旋转曲面.首页首页设平面光滑曲线设平面光滑曲线C的方程为的方程为(),yf x xa b下面用微元法导出它的面积公式下面用微元法导出它的面积公式.（1 1）积分变量积分变量x,变化区间变化区间 a,b;（2 2）任取任取 a,b 上小区间上小区间 x,x+x,通过通过x轴上点轴上点x与与x+x 分别作垂直于分别作垂直于x轴的平面轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭它们在旋转曲面上截下一条狭带带.当当x很小时很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧
11、面积，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，其中，其中，y=f(x+x)-)-f(x).).s 22f xf xxxy 2y2 f(x)y1xx =首页首页即，即，所以得到，所以得到，222()121().yf xyxf xfx xoxx 221.dSf xfx dx 首页首页由于由于2200lim0,lim11()xxyyfxx 以及以及 连续，可以保证：连续，可以保证：()f x（3 3）以以 为被积表达式，为被积表达式，221,dSfxfx dx 得旋转曲面的面积公式得旋转曲面的面积公式 (3)(3)S=221.bafxfx dx 事实上，由（）知，事实上，由（）知，b2aS2fx1fx d
12、x =b2ady2fx1()dxdx =b22a2fxdxdy =2y(t)ds =22dxdy2y(t)()()dtdtdt =222y(t)x(t)y(t)dt.首页首页如果光滑曲线由参数方程如果光滑曲线由参数方程 x=x(t),),y=y(t),),t,且且 y(t)0，那么由弧微分知识推知曲线，那么由弧微分知识推知曲线C绕绕 x 轴旋转所得轴旋转所得旋转曲面的面积为旋转曲面的面积为 222()()().Sy txtyt dt (4)弧段绕弧段绕 x 轴旋转所得球带的面积轴旋转所得球带的面积.得到得到特别当特别当x1=-R,x2=R 时，得球的表面积时，得球的表面积 S球球=4R.解解
13、对曲线对曲线 y=在区间在区间 x1,x2 上应用公式上应用公式(3)(3)，22Rx 212x2222xxS2Rx1d xRx 21x21x2 Rdx 2 R xx.=首页首页例例1 1 计算圆计算圆 在在 上的上的222xyR 12,x xR R 所得旋转曲面的面积所得旋转曲面的面积.解解 由曲线关于由曲线关于y y轴的对称性及公式轴的对称性及公式(4)(4)，得，得例例2 2 计算由内摆线计算由内摆线 绕绕 x 轴旋转轴旋转33x=asin t x=acos t，S=4=4 2232220a sin t3acos t sint3a sin t costdt =12=122422012asin t cos tdta.5 首页首页
