1、1 20192020 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一） 数学 I 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知 i 为虚数单位，复数 1 1i z ，则z 2已知集合 A01xx，B13x ax ，若 AB 中有且只有一个元素，则 实数 a 的值为 3已知一组数据 1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 4在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 2 1 4 xy a (a0)的一条渐近线方程为 2 3 yx， 则 a 5甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，
2、则乙不输的概率 是 6右图是一个算法的流程图，则输出的 x 的值为 7 “直线 l1：10axy 与直线 l2：430xay平行”是“a2”的 条件（填 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要”或“既不充分又不必要” ） 8已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 9a ， 95 4 95 SS ，则 n a 9已知点 M 是曲线 y2lnxx23x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时， 该切线的方程为 10已知3cos24sin() 4 ，( 4 ，)，则sin2 11如图在矩形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，AB1，BC2分别以 A，D 为圆心，
3、1 为半经作圆弧 EB，EC，将两圆弧 EB，EC 及边 BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕 2 直线 AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 12在ABC 中，(ABAC)BC(1)，若角 A 的最大值为 6 ，则实数的值 是 13若函数( ) x f xa(a0 且 a1)在定义域m，n上的值域是m2，n2(1mn)，则 a 的 取值范围是 14如图，在ABC 中，AB4，D 是 AB 的中点，E 在边 AC 上，AE2EC，CD 与 BE 交于点 O，若 OB2OC，则ABC 面积的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说
4、明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且满足cosA3 sinB0ba （1）求 A； （2）已知 a2 3，B 3 ，求ABC 的面积 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BDDC，PCD 为正 三角形，平面 PCD平面 ABCD，E 为 PC 的中点 （1）证明：AP平面 EBD ； （2）证明：BEPC 17 （本小题满分 14 分） 某地为改善旅游环境进行景点改造如图，将两条平行观光道 l1和 l2通过一段抛物线 形状的栈道 AB 连通（道路不计
5、宽度） ，l1和 l2所在直线的距离为 0.5（百米） ，对岸堤岸线 l3平行于观光道且与 l2相距 1.5（百米） （其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，且交 l3于 M ） ，在堤岸线 l3上的 E，F 两处建造建筑物，其中 E，F 到 M 的距离为 1 （百 米） ，且 F 恰在 B 的正对岸（即 BFl3） 3 （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程； （2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角(EPF)最大？请在（1） 的坐标系中，写出观测点 P 的坐标 18 （本小题满分 16 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy
6、中， 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 且 经过点(1， 3 2 )，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若AEF 与BDF 的面积之比为 1：7，求直线 l 的方程 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 322 2 ( ) 3 f xxmxm x(mR)的导函数为( )fx （1）若函数( )( )( )g xf xfx存在极值，求 m 的取值范围； （2）设函数( )(e )(ln ) x h xffx（其中 e 为自然对数
7、的底数） ，对任意 mR，若 4 关于 x 的不等式 22 ( )h xmk在(0，)上恒成立，求正整数 k 的取值集合 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a， n b，数列 n c满足 n n n an c bn ， 为奇数 ， 为偶数 ，nN （1）若 n an，2n n b ，求数列 n c的前 2n 项和 2n T； （2）若数列 n a为等差数列，且对任意 nN， 1nn cc 恒成立当数列 n b为等 差数列时，求证：数列 n a， n b的公差相等；数列 n b能否为等比数列？若能，请写 出所有满足条件的数列 n b；若不能，请说明理由 第 II 卷（附加题，共 40
8、 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值 及属于各特征值的一个特征向量。 B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为 ，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐 标系，曲线C的极坐标方程为4sin。 5 （1）求曲线C的普通方程； （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。 C选修 45：不等式选讲 已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数） ，且 22 2 49 xy z 的最小
9、值为 8 7 ，求实 数t的值。 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满 200 元，有一次抽奖机会（即满 200 元可 以抽奖一次，满 400 元可以抽奖两次，依次类推） 。抽奖的规则如下：在一个不透明口 袋中装有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一 个小球， 共摸三次， 每次摸出的小球均不放回口袋， 若摸得的小球编号一次比一次大 （如 1，2，5） ，则获得一等奖，奖金 40 元；若摸得的小球编号一次比一
10、次小（如 5，3，1） ， 则获得二等奖，奖金 20 元；其余情况获得三等奖，奖金 10 元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望; （2）赵四购物恰好满 600 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好 为 60 元的概率. 23 （本小题满分 10 分） 已知抛物线C:x24py（p为大于 2 的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0) 的直线交C 于 A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B 处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S. （1）求点G的轨迹方程； （2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件
11、的S 的值；若不是，请说明理由. 6 答案答案+解析解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知 i 为虚数单位，复数 1 1i z ，则z 答案： 2 2 7 考点：复数 解析： 1112 i 1 i222 zz 2已知集合 A01xx，B13x ax ，若 AB 中有且只有一个元素，则 实数 a 的值为 答案：2 考点：集合交集运算 解析：由题意知 a11，得 a2 3已知一组数据 1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 答案：0.08 考点：方差 解析：首先求得2x ， 222222 1(1.6 2)
12、(1.82)(22)(2.22)(2.42) 0.08 5 S 4在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 2 1 4 xy a (a0)的一条渐近线方程为 2 3 yx， 则 a 答案：3 考点：双曲线的渐近线 解析：由题意知： 22 3a ，a3 5甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则乙不输的概率 是 答案： 5 6 考点：概率 解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故 P 1 3 1 2 5 6 6右图是一个算法的流程图，则输出的 x 的值为 8 答案：6 考点：算法与流程图 解析：第一次：x4，y16， 第二次：x5，y32， 第三次：x6，y64，
13、此时 641063，输出 x，故输出 x 的值为 6 7 “直线 l1：10axy 与直线 l2：430xay平行”是“a2”的 条件（填 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要”或“既不充分又不必要” ） 答案：必要不充分 考点：两直线平行，充要性 解析： “直线 l1：10axy 与直线 l2：430xay平行”等价于 a2， 故“直线 l1：10axy 与直线 l2：430xay平行”是“a2”的必要不充 分条件 8已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 9a ， 95 4 95 SS ，则 n a 答案：211n 考点：等差数列及其性质 解析： 2 9(1)(
14、1)10211 n nn S nSnnan n 9已知点 M 是曲线 y2lnxx23x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时， 该切线的方程为 答案：3yx 考点：导数与切线，基本不等式 解析： 2 23 M M kx x ， M x1 时有最小值 1，此时 M(1，2)， 故切线方程为：21yx，即3yx 9 10已知3cos24sin() 4 ，( 4 ，)，则sin2 答案： 1 9 考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式 解析：3cos24sin() 4 ， 3(cossin)(cossin)22(cossin)， 则 2 2 sincos 3
15、， 1 sin2 9 11如图在矩形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，AB1，BC2分别以 A，D 为圆心，1 为半经作圆弧 EB，EC，将两圆弧 EB，EC 及边 BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕 直线 AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 答案： 2 3 考点：圆柱与球的体积 解析： 23 42 1 31 33 V 12在ABC 中，(ABAC)BC(1)，若角 A 的最大值为 6 ，则实数的值 是 答案：3 考点：平面向量数量积 解析： 22 (ABAC) ( ABAC)(1)cosA0cbbc 123 c o s A() 112 bc cb ，解得3 13若函数( ) x
16、f xa(a0 且 a1)在定义域m，n上的值域是m2，n2(1mn)，则 a 的 取值范围是 答案：(1， 2 e e) 考点：函数与导数综合 10 解析：由题意知：( ) x f xa与 2 yx的图像在(1，)上恰有两个交点 考查临界情形： 0 x ya与 2 yx切于 0 x， 0 0 2 22 00 0 00 (1,) ln2 x ee x ax aeae aax 14如图，在ABC 中，AB4，D 是 AB 的中点，E 在边 AC 上，AE2EC，CD 与 BE 交于点 O，若 OB2OC，则ABC 面积的最大值为 答案：8 2 考点：向量与解三角形、圆的综合 解析：设 3 222
17、2 COCDCACBCECB B，O，E 共线，则 3 1 22 ，解得 1 2 ，从而 O 为 CD 中点，故2OBOD， 在BOD 中，BD2，2OBOD，易知 O 的轨迹为阿圆，其半径2 2r ， 故428 2 ABCBOD SSBD r 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且满足cosA3 sinB0ba （1）求 A； （2）已知 a2 3，B 3 ，求ABC 的面积 解： （1）由正弦定理： sinsin
18、ab AB ，得：sincos3sinsin0BAAB B 为ABC 内角，故 sinB0，所以cos3sinAA， 若cos0A，则sin0A，与 22 sincos1AA矛盾，故cos0A， 11 因此 3 tan 3 A ，又 A 为ABC 内角，所以 6 A ； （2）由正弦定理得： sin 6 sin aB b A ， 2 CAB 故 1 6 3 2 Sab 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BDDC，PCD 为正 三角形，平面 PCD平面 ABCD，E 为 PC 的中点 （1）证明：AP平面 EBD ； （2）证明：BE
19、PC 证明： （1）连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OE 因为四边形 ABCD 为平行四边形 O 为 AC 中点， 又 E 为 PC 中点， 故 APOE， 又 AP平面 EBD，OE平面 EBD 所以 AP平面 EBD ； （2）PCD 为正三角形，E 为 PC 中点 所以 PCDE 因为平面 PCD平面 ABCD， 平面 PCD平面 ABCDCD， 又 BD平面 ABCD，BDCD BD平面 PCD 又 PC平面 PCD，故 PCBD 又 BDDED，BD平面 BDE，DE平面 BDE 故 PC平面 BDE 又 BE平面 BDE， 所以 BEPC 17 （本小题满分 14 分） 某地
20、为改善旅游环境进行景点改造如图，将两条平行观光道 l1和 l2通过一段抛物线 形状的栈道 AB 连通（道路不计宽度） ，l1和 l2所在直线的距离为 0.5（百米） ，对岸堤岸线 l3平行于观光道且与 l2相距 1.5（百米） （其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，且交 l3于 M ） ，在堤岸线 l3上的 E，F 两处建造建筑物，其中 E，F 到 M 的距离为 1 （百 12 米） ，且 F 恰在 B 的正对岸（即 BFl3） （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程； （2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角(EPF)最大？请
21、在（1） 的坐标系中，写出观测点 P 的坐标 解： （1）以 A 为原点，l1为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建系 由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为 2 2xpy 代入点 B 得：p1，故方程为 2 2xy，x0，1； （2）设 P(2t， 2 t)，t0， 2 2 ，作 PQl3于 Q，记EPQ，FPQ 21EQt， 2 2PQt，12FQt 2 22 242 22 2112 tantan2(2) 22 tantan() 1 21tantan23 1 (2) tt t tt EPF ttt t 令 2 3 22 2 tx， 2 2tx，则： 22 22231 tan 3 (2)
22、21232 2 xx EPF xxxx x x 当且仅当 3 x x 即3x ，即 2 23t ，即 63 2 t 时取等 故 P(31，23)时视角EPF 最大， 答：P(31，23)时，视角EPF 最大 18 （本小题满分 16 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 且 13 经过点(1， 3 2 )，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若AEF 与BDF 的面积之比为 1：7，求直线
23、l 的方程 解： （1）设焦距为 2c，由题意知： 2 22 22 2222 19 1 4 4 3: 1 43 11 2 a ab xy bacbC cc a ； （2）由（1）知：F(1，0)，设 l：1xmy，D( 1 x， 1 y)，E( 2 x， 2 y)， 2 y0 1 y 1 1 12 2 2 1 () 37 2 =7 1 3 ()() 2 BDF AEF ac y Sy yy Sy acy ， 22 22 1 (34)690 3412 xmy mymy xy ， 2 144(1)m， 212 2 1 2 2 12 2 6 361 34 934 34 m yy mm m y m y
24、 y m ， 由得： 2 2 9 2(34) m y m ， 1 2 21 00 2(34) m ym m ， 代入得： 2 2 222 189916 4(34)349 m m mm ，又0m，故 4 3 m ， 因此，直线 l 的方程为 33 44 yx 19 （本小题满分 16 分） 14 已知函数 322 2 ( ) 3 f xxmxm x(mR)的导函数为( )fx （1）若函数( )( )( )g xf xfx存在极值，求 m 的取值范围； （2）设函数( )(e )(ln ) x h xffx（其中 e 为自然对数的底数） ，对任意 mR，若 关于 x 的不等式 22 ( )h x
25、mk在(0，)上恒成立，求正整数 k 的取值集合 解： （1）因为 322 2 ( ) 3 f xxmxm x，所以 22 ( )22fxxmxm， 所以 3222 2 ( )( )( )(2)(2 ) 3 g xf xfxxmxmm xm， 则 22 ( )22(2)2g xxmxmm， 由题意可知 22 4(2)8(2 )0mmm ，解得( 2,2)m ； （2）由（1）可知， 22 ( )22fxxmxm， 所以 222 ( )222(ln )2ln2 xx h xemexmxm 因为 22222 ( )222(ln )2ln2 xx h xemexmxmmk 整理得 2222 2(ln
26、 )22(ln )0 xx mex mexk， 设( )ln x H xex，则 1 ( )0 x H xe x ，所以( )H x单调递增， 又因为 1 1 ()1 m me H eemm ，且m 1m e em ， 所以存在，使得( )ln x H xexm， 设 2222 ( )2(ln )22(ln ) xx F mmex mexk， 则 22 min ( )(ln )(ln ) xx F mF exexk， 设( )ln x G xex，则 1 ( ) x G xe x ， 2 1 ( ) x Gxe x ， 所以( )G x单调递增，因为 1 ( )20 2 Ge，(1)10Ge
27、所以存在 0 1 ( ,1) 2 x ，使得 0 ()0G x，即 0 0 1 x e x ， 且当 0 (0,)xx时，( )0G x，当 0 (,)xx时，( )0G x， 所以( )G x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (,)x 上单调递增， 15 所以 0 min000 0 1 ( )()ln x G xG xexx x ， 因为 0 1 ( ,1) 2 x ，所以 00 0 15 ()(2, ) 2 G xx x ， 又由题意可知 22 ( ( )0G xk，所以 2222 min0 ( ( )( ()0G xkG xk， 解得 0 ()kG x，所以正整数 k 的取值集合为1
28、，2 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a， n b，数列 n c满足 n n n an c bn ， 为奇数 ， 为偶数 ，nN （1）若 n an，2n n b ，求数列 n c的前 2n 项和 2n T； （2）若数列 n a为等差数列，且对任意 nN， 1nn cc 恒成立当数列 n b为等 差数列时，求证：数列 n a， n b的公差相等；数列 n b能否为等比数列？若能，请写 出所有满足条件的数列 n b；若不能，请说明理由 解： （1）因为 n an，2n n b ，所以 2 2 n aa ， 2 4 n n b b 且 11 1ca， 22 4cb 由题意可知，数列
29、 21n c 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 数列 2n c是首项和公比均为 4 的等比数列， 所以 1 2 2 (1)4(1 4 )44 2 21 433 nn n n n Tnn ； （2）设数列 n a的公差为d，数列 n b的公差为 1 d， 当 n 为奇数时， 1 (1) nn caand， 1111nn cbbnd 若 1 dd，则当 11 1 adb n dd 时， 111 ()0 nn ccdd nda ， 即 1nn cc ，与题意不符，所以 1 dd， 当 n 为偶数时， 11 (1) nn cbbnd， 111nn caand ， 16 若 1 dd，则当 11
30、1 1 bda n dd 时， 11111 ()0 nn ccdd nadb ， 即 1nn cc ，与题意不符，所以 1 dd， 综上， 1 dd，原命题得证； 假设 n b可以为等比数列，设公比为 q， 因为 1nn cc ，所以 21nnn ccc ，所以 2 20 nn aad ， 2 2 1 n n b q b ， 因为当 2 1 4 1 log (1) q d n bq 时， 1 22 21 (1)(1)4 n nnn bbbqbqqd ， 所以当 n 为偶数，且 11nnn aba 时， 213 (,) nnn baa ， 即当 n 为偶数，且 11nnn ccc 时， 123n
31、nn ccc 不成立，与题意矛盾， 所以数列 n b不能为等比数列 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值 及属于各特征值的一个特征向量。 解：设矩阵 M a b c d ，则 AM 1 3 3 32 3 2 1 2 21 1 a bac bd c dacbd ， 所以 32 33 21 21 ac bd ac bd ，解得1,0,1,1abcd ，所以 M 1 0 1 1 ， 则矩
32、阵 M 的特征方程为 2 ( )(1)0f，解得1，即特征值为 1， 设特征值1的特征向量为 x y ，则M， 17 即 xx xyy ，解得 x0，所以属于特征值的1的一个特征向量为 0 1 B选修 44：坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 曲 线l的 参 数 方 程 为 ，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐 标系，曲线C的极坐标方程为4sin。 （1）求曲线C的普通方程； （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标 解： （1）曲线 C 的极坐标方程为4sin， 2 4 sin，则 22 4xyy 即： 22 (2)4xy （2） 22 22 2cos2cos
33、1 2 32 3cos3(2cos1) 22 x y ， 3yx，1x 22 34 3xxx 0x（舍）或3x ， 公共点(3，3)，极坐标(23， 3 ) C选修 45：不等式选讲 已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数） ，且 22 2 49 xy z 的最小值为 8 7 ，求实 数t的值。 解：因为 2222 222222 1991 49449919619614 xyxy zttztt 2 11 () 714 t xyzt 18 即 22 2 49 xy z 2 1 14 t，当且仅当 2 7 xt， 9 14 yt， 1 14 zt时，上述等号成立， 所以 2 18 147 t ，即
34、 2 16t ，又x，y，z0，xyzt4 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满 200 元，有一次抽奖机会（即满 200 元可 以抽奖一次，满 400 元可以抽奖两次，依次类推） 。抽奖的规则如下：在一个不透明口 袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出 一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大 （如1，2，5） ，则获得一等奖，奖金 40 元；若摸得的小球编号一次比一次
35、小（如5， 3，1） ，则获得二等奖，奖金 20 元；其余情况获得三等奖，奖金 10 元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望; （2）赵四购物恰好满 600 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好 为 60 元的概率. 解：由题意知，随机变量 X 的可能取值为 10，20，40 且 3 5 3 5 1 (40) 6 C P X A ， 3 5 3 5 1 (20) 6 C P X A ， 所以 2 (10)1(40)(20) 3 P XP XP X ， 即随机变量 X 的概率分布为 X 10 20 40 P 2 3 1 6 1 6 所以随机变量 X 的数学期望
36、21150 ()102040 3663 E X ； （2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得 60 元为事件 A， 因为 60203401010， 所以 312 3 12149 ( )( )( ) 636216 P AC 23 （本小题满分 10 分） 已知抛物线C:x24py（p为大于 2 的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0) 的直线交C 于 A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B 处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S. 19 （1）求点G的轨迹方程； （2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请
37、说明理由. 解： （1）设，则， 抛物线 C 的方程可化为 2 1 4 yx p ，则 1 2 yx p ， 所以曲线 C 在点 A 处的切线方程为 11111 11 () 22 yx xxyx xy pp ， 在点 B 处的切线方程为， 因为两切线均过点 G，所以 0101 1 2 yx xy p ， 0202 1 2 yx xy p 所以 A， B 两点均在直线上 00 1 2 yx xy p ， 所以直线 AB 的方程为 00 1 2 yx xy p ， 又因为直线 AB 过点 F(0，p)，所以 0 yp ，即 G 点轨迹方程为yp ； （2）设点 G( 0 x，p)，由（1）可知，直
38、线 AB 的方程为 0 1 2 px xy p ， 即 0 1 2 yx xp p ， 将直线 AB 的方程与抛物线联立， 0 2 1 2 4 yx xp p xpy ，整理得 22 0 240xx xp， 20 所以 120 2xxx， 2 12 4x xp ，解得 22 120 24xxxp， 因为直线 AB 的斜率 0 1 0 2 kx p ，所以 0 0x ， 且 22 2 0 12 4 1 xp ABkxx p ， 线段 AB 的中点为 M 2 00 1 (,) 2 xxp p ，所以直线 EM 的方程为： 2 00 0 21 () 2 p yxxxp xp ， 所以 E 点坐标为(
39、0， 2 0 1 2 xp p )， 直线 AB 的方程整理得 2 0 220x xpyp， 则 G 到 AB 的距离 22 0 22 10 22 0 4 4 4 xp dxp xp ， 则 E 到 AB 的距离 22 0 22 20 22 0 4 4 4 xp dxp xp ， 所以 2222 00 12 (4)41 () 2 xpxp SAB dd p ， 设 0 xmp，因为 p 是质数，且 0 x为整数，所以 1 m p 或(0)mZ m， 当时 1 m p ， 0 1x ， 2222 00 (4)4xpxp S p 是无理数，不符题意， 当(0)mZ m时， 222 (4)4Smpm， 因为当2m 时， 22 4(1)mm ，即 2 4m 是无理数，所以2m 不符题意， 当1m时， 2 45m 是无理数，不符题意， 综上，当 G 点横坐标为整数时，S 不是整数
