1、第六单元 立体几何第 45 讲利用空间向量证明探索性与存在性问题第六单元 立体几何知识聚焦1.存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立.2.解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.知识聚焦 图6-45-1 图6-45-1 对点演练题组一常识题1.教材改编 已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则+的值是.对点演练1.教材改编 已知a=(+1,0,2),b=(2.教材改编 已知平面
2、内有一点M(1,-1,2),平面的一个法向量为n=(6,-3,6),若存在点P(x,y,z)在平面内,则x,y,z应满足的关系是.2x-y+2z-7=02.教材改编 已知平面 内有一点M(1,-1,2),平面3.教材改编 已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),若存在x满足ab,则此时|b|=.3.教材改编 已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x4.教材改编 已知O(0,0,0),A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x,-8,8),若存在实数x,使得OCAB,则x=;若存在实数x,使得O,A,B,C四点共面,则x=.168 4.教材改编 已知O(0,0,0),A(-2,2,
3、-2)题组二常错题索引:判断平行与存在的关系出错.5.教材改编 在空间直角坐标系中,点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3),若存在实数x,使得ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.2题组二常错题 2 6.教材改编 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,且PA=AD=1.在如图6-45-2所示的空间直角坐标系中,则MN=.图6-45-2 图6-4 5-2平行图6-45-3 平行图6-4 5-3 图6-45-4 图6-4 5-4 总结反思 利用向量解决与空间角有关的探索性问题,其步骤是:(1)假设存在(或结论成立);(2)建立空间
4、直角坐标系,设出空间点的坐标;(3)构建有关向量;(4)结合空间向量,利用线面角或二面角的计算公式求解;(5)作出判断.总结反思 利用向量解决与空间角有关的探索性问题,其步骤解:(1)证明:SA平面ABCD,BD平面ABCD,SABD.四边形ABCD是菱形,ACBD.ACAS=A,BD平面SAC.BD平面EBD,平面EBD平面SAC.图6-45-5 解:(1)证明:S A 平面A B C D,B D 平面A B C D 思路点拨(1)建立空间直角坐标系得到直线的方向向量和平面的法向量,再由向量的夹角公式得到结果;(2)通过向量的坐标运算得到两个平面的法向量,再由法向量互相垂直得到结果.探究点二
5、垂直有关的探索性问题例2 2019汉中重点中学联考 如图6-45-6,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ACBD=O,E是线段D1O上的一点.(1)若E为D1O的中点,求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值.(2)是否存在点E,使得平面CDE平面CD1O?若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.图6-45-6 思路点拨 (1)建立空间直角坐标系得到直线的方向向量和平 总结反思 探索在某平面内是否存在某点满足垂直关系,通常先假设存在,然后引入参数,用向量方法处理,由条件与结论列出等式,再解出参数,思路简单,解法固定,操作方便.注意在将点的坐标设为(x,y,z)时,要结合图
6、形的几何特征尽量减少x,y,z中未知数的个数.总结反思 探索在某平面内是否存在某点满足垂直关系,通常图6-45-7 图6-4 5-7解:(1)证明:设PA的中点为G,连接EG,DG,因为PABE,且PA=4,BE=2,所以BEAG且BE=AG,所以四边形BEGA为平行四边形,所以EGAB,且EG=AB.又CDAB,CD=AB,所以EGCD,且EG=CD,所以四边形CDGE为平行四边形,所以CEDG.因为DG平面PAD,CE 平面PAD,所以CE平面PAD.解:(1)证明:设P A 的中点为G,连接E G,D G,图6-45-8 图6-4 5-8 解:(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以
7、AFAD.又平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,所以AF平面ABCD,所以AFBD.图6-45-9 解:(1)证明:因为四边形A D E F 为正方形,所以A F A 例4 2019衡水二模 如图6-45-10,在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为(0).(1)证明:BF平面AED;(2)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的正弦值.图6-45-10例4 2 0 1 9 衡水二模 如图6-4 5-1 0,在正思路点拨(1)由已知可得EBFD且
8、EB=FD,则四边形EBFD为平行四边形,得到BFED.再由线面平行的判定证明BF平面AED.(2)过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD.证明G在CD的垂直平分线上,可知点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,连接AG,以G点为坐标原点,以GA所在直线为z轴,GF所在直线为y轴,过G点作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设原正方形ABCD的边长为2a,分别求出平面DEC与平面ADE的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得角的正弦值.思路点拨 (1)由已知可得E B F D 且E B=F D,则四边解:(1)证明:E,F分别是正方形ABCD的边AB,CD的中点,EBFD
9、且EB=FD,则四边形EBFD为平行四边形,BFED.又ED平面AED,而BF平面AED,BF平面AED.(2)点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.证明:过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD(如图).ACD为正三角形,AC=AD,则GC=GD,G在棱CD的垂直平分线上,又EF是棱CD的垂直平分线,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.以G点为坐标原点,以GA所在直线为z轴,GF所在直线为y轴,过G点且平行于DC的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系.解:(1)证明:E,F 分别是正方形A B C D 的边A B,C D 总结反思 空间向量解答题中涉及翻折问题主要是确定
10、翻折前后变与不变的关系.总结反思 空间向量解答题中涉及翻折问题主要是确定翻折前变式题 如图6-45-11,在等腰直角三角形ABC中,ABC=90,点D在边AB上,DE垂直于AB交AC于E.将ADE沿DE折起,使A到达P的位置,且使平面PDE平面DBCE,连接PC,PB,BE,CD,如图.(1)若F为PB的中点,DB=DP,求证:DFPC;(2)若BC=4,当三棱锥P-DBC的体积最大时,求二面角B-PE-C的余弦值.图6-45-11变式题 如图6-4 5-1 1,在等腰直角三角形A B C 中,【备选理由】例1考查利用空间向量求解与空间角有关的探索性问题;例2考查利用向量法求解与垂直有关的探索
11、性问题;例3考查利用向量法求解与平行有关的探索性问题;例4考查利用向量法求解最值问题.【备选理由】例1 考查利用空间向量求解与空间角有关的探索性问题解:(1)证明:平面ADE平面ABCD,平面ADE平面ABCD=AD,CDAD,CD平面ADE.解:(1)证明:平面A D E 平面A B C D,平面A D E 例4配合例4使用 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB底面ABCD,E为棱PC上的点,且BE平面APC.(1)求证:平面PAD平面PBC;(2)当三棱锥P-ABC的体积最大时,求二面角B-AC-P的余弦值.解:(1)证明:四边形ABCD为正方形,BCAB,侧面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,BC平面ABCD,BC平面PAB,又AP平面PAB,APBC.BE平面APC,AP平面APC,APBE.BCBE=B,BC,BE平面PBC,AP平面PBC,AP平面PAD,平面PAD平面PBC.例4 配合例4 使用 如图,在四棱锥P-A B C D 中,底面A
