1、定理定理（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单调调的的且且有有连连续续导导数数)(t ；（3 3）当）当t在区间在区间,(或或,)上变化时，上变化时，)(tx 的值在的值在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法dtttfdxxfba )()()(则有则有证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt 令令dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()(dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.有有a)(、b)(,)()()()(F
2、F ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()(.)()(dtttf 注意注意 当当 时，换元公式仍成立时，换元公式仍成立.(1)(1)用用 x=(t)把变量把变量 x 换成新变量换成新变量 t 时，积分上时，积分上 下限也相应的改变为新变量的上、下限，且下限也相应的改变为新变量的上、下限，且 新变量与旧变量的上、下限要分别对应新变量与旧变量的上、下限要分别对应.(2)(2)求出求出 f t t 的一个原函数的一个原函数 t 后，不必后，不必 象计算不定积分那样再要把象计算不定积分那样再要把 t 变换成原变变换成原变 量量 x的函数，而只要把新变量的函数，而只要把新变量 t
3、的上、下限分的上、下限分 别代入别代入t 然后相减就行了然后相减就行了.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:例例1 1 求求解解).0(022 adxxaa令令taxsin tdtadxcos 20222cos1 dtta 2022cos tdta2022sin212 tta0 x,0 tax ,2 t adxxa022222 a42a 练习：练习：计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt
4、20cossinln21221 tt.4 0 x,0 t例例2 2 求求32211(0).1dxaxx例例3.计算计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(2131231 1(3)2 3tt13322;1t且 练习：练习：求求解解.111143 dxx令令tx 1,12tx 02112dttt1 x,0 t43 x,21 t 143111dxx,2tdtdx 0211112dtt0211ln 2 tt132ln22 23ln21 例例3 3 计算计算.)1(2ln0 dxeexx解解令令,xet ,
5、dxedtx 0 x,1 t2ln x,2 t 2ln0)1(dxeexx 21)1(dtt21221tt 234 .25 上例说明上例说明:定积分的换元公式可以反过来使用定积分的换元公式可以反过来使用.即有即有:dttfdxxxfba )()()(即可以用即可以用 来引入新变量来引入新变量 t,)(xt ,)(a 而而.)(b 例例4 4 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,sin xdxdt 练习：练习：计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln
6、)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex.6 例例5 5 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adt
7、tf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0)(xf为为偶偶函函数数，aadxxf)(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，aadxxf)(.0 奇函数奇函数例例 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面
8、积单位圆的面积证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x,0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x,t x,0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sin)3(dxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2
9、0)(sindxxxf 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导:,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .1
10、2312 则则例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 计算计算解解.sin420 dxx240sinxdx xt 20sin2 tdtt 20)cos(2 tdt 2200cos2cos 2 tdttt20sin2 t 2 例例 4 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln(xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx
11、 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx .3ln2ln35 例例6 6 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 10
12、22sin21dxx 102cos21x).11(cos21 ,0sin)1(11 dtttf设设)(xf 在在 1,0上连续，且上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求，求 10)2(dxxfx.例例7 7 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 1010d)2(21)2(21xxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 例例8 8 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xd
13、xdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ),2,1(m,2200 dxI,1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212
14、 mmmmIm于是于是例例 ndxxx0|sin|几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式1、定积分的换元法、定积分的换元法dxxfba)(dtttf )()(三、小结2、定积分的分部积分公式、定积分的分部积分公式 .bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332:t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考题解
15、答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec,43,32 t,0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 一、一、填空题：填空题：1 1、3)3sin(dxx_；2 2、03)sin1(d_；3 3、2022dxx_ _；4 4、2121221)(arcsindxxx_；5、55242312sindxxxxx_.练练 习习 题题二、二、计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、203cossin d；2 2、31221xxdx；3 3、14311xdx；4 4、2
16、23coscosdxxx；5 5、02cos1dxx；6 6、224cos4 dx；7 7、112322)11(dxxxxx；8 8、203,maxdxxx；9 9、20dxxx （为参数为参数）.三、三、设设 时，时，当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf.四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续，证明证明 babadxxbafdxxf)()(.五、五、证明：证明：1010)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：六、证明：aaadxxfxfdxxf0)()()(,并求并求 44sin1xdx.七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续，证
17、明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0；2 2、34 ；3 3、2；4 4、323；5 5、0 0.二、二、1 1、41；2 2、3322 ；3 3、2ln21；4 4、34；5 5、22；6 6、23；7 7、4；8 8、8；9 9、417；10 10、时时当当0 ,238；当当20 时时,32383 ；当当2 时时,238 .三、三、)1ln(11 e.六、六、2 2.一、一、填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos x
18、dxn=_；3 3、dxxex10_；4 4、exdxx1ln_；5、10arctan xdxx_.二、二、计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、edxx1)sin(ln；2 2、eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）为自然数）4 4、01)1cos(sinxdxnxn.三三、已已知知xxf2tan)(,求求 40)()(dxxfxf.四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0(ff证证明明：3sin)()(0 xdxxfxf.一、一、1 1、!)!1(nn；2 2、2!)!1(nn；3 3、e21；4 4、)1(412 e；5 5、23ln21)9341(.二、二、1 1、211cos1sin ee；2 2、)11(2e；练习题答案练习题答案 3 3、为奇数为奇数为偶数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；4 4、为正偶数时为正偶数时当当为正奇数时为正奇数时当当nnnn,!)!1(2,0；5 5、0.0.三、三、8.8.
