1、 在表达与描述三维实体时，怎样对几何实体进行定义，保证其准确、完整和唯一，怎样选择数据结构描述有关数据，使其存取方便自如等，这就构成了CAD的数学模型。处理这种问题的技术称为几何建几何建模（模（Geometric Modeing）。在表达与描述三维实体时，怎样对几何实体进行定义q几何模型几何模型就是把三维实体的几何形状及其属性用合适的数据结构进行描述和存储，供计算机进行信息转换和处理的数据模型。q几何建模几何建模就是以计算机能够理解的方式，对实体进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内部构造一个实体的模型。q几何建模系统几何建模系统能
2、够定义、描述、生成几何模型，并能交互地进行编辑的系统。几何建模技术的发展几何建模的概念几何建模的概念几何模型就是把三维实体的几何形状及其属性用合适的数据结构描述三维实体的信息描述三维实体的信息 三维实体的处理需要考虑到构成这一实体的几何信息和拓扑信息以及非几何信息。几何信息几何信息是指一个物体在三维欧氏空间中的位置、大小、尺寸和形状信息。对于一条空间直线，可以用它的两个端点的位置矢量来表示，也可以用其端点在三维直角坐标系中的坐标分量来定义。拓扑信息拓扑信息是指该物体的拓扑元素(顶点、边和表面)的个数、类型以及它们相互之间的关系，根据这些信息可以确定物体表面的邻接关系。非几何信息非几何信息指描述
3、实体几何、拓扑信息以外的信息。如零件的质量、公差、加工粗糙度、物理属性、工艺属性等。描述三维实体的信息 三维实体的处理需要考虑到 几何信息是指一个物体在三维欧氏空间中的位置、大小、尺寸和形状信息。对于一条空间直线，可以用它的两个端点的位置矢量来表示，也可以用其端点在三维直角坐标系中的坐标分量来定义。例如几种常见的几何元素的定义：顶点：V=(x,y,z)直线：(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C平面：ax+bx+cx+d=0 二次曲面：ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0自由曲面：可用Coons曲面、Bezier曲面、B样条曲面、NURBS曲面
4、的参数方程表示 几何信息几何信息 几何信息是指一个物体在三维欧氏空间中的位置、大小、尺 拓扑信息拓扑信息是指该物体的拓扑元素拓扑元素(顶点Vertex、边Edge和表面Face)的个数、类型以及它们相互之间的连接关系，根据这些信息可以确定物体表面的邻接关系。各种几何元素相互间的关系构成了形体的拓扑信息。任一形体是由点、边、环、面、体等各种不同的几何元素构成，这些几何元素间的连接关系是指一个形体由哪些面组成，每个面上有几个环，每个环有哪些边组成，每个边又由哪些顶点定义等。描述形体拓扑信息的根本目的是便于直接对构成形体的各面、边及顶点的参数和属性进行存取和查询，便于实现以面、边、点为基础的各种几何
5、运算和操作。拓扑信息拓扑信息 拓扑信息是指该物体的拓扑元素(顶点V e r t e x、边 如果拓扑信息不同，即使几何信息相同，构造的实体可能完全不同。如果拓扑信息不同，即使几何信息相同，构造的实体可能完 非几何信息非几何信息是指产品除描述实体几何、拓扑信息以外的信息，包括零件的物理属性和工艺属性等，如零件的质量、性能参数、公差、加工粗糙度和技术要求等信息。为了满足CAD/CAM/CAPP集成的要求，非几何信息的描述和表示显得越来越重要，是目前特征建模中特征分类的基础。非几何信息非几何信息 非几何信息是指产品除描述实体几何、拓扑信息以外的信息形体的定义形体的定义 形体在计算机内常采用六层拓扑结
6、构来定义，如果包括外壳在内则为六层。分别是：体体、壳壳、面面、环环、边边、点点。形体的定义 形体在计算机内常采用六层拓扑结构来定体体 体是由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个面的集合，而外壳是形体的最大边界，是实体拓扑结构中的最高层。正则形体正则形体 具有良好边界的形体定义为正则形体。正则形体没有悬边、悬面、或一条边有二个以上的邻面。壳壳 壳由一组连续的面围成，实体的边界称为外壳，如果壳所包围的空间是个空集则为内壳。面面 面是形体表面的一部分，且具有方向性，它由一个外环和苦干个内环界定其有效范围。面的方向用垂直于面的法矢表示，法矢向外为正向面。体 体是由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限
7、个面的集合点点 点是边的端点，点不允许出现在边的内部，也不能孤立地存在于物体内、物体外或面内造型中最基本的元素，它可以是形体的顶点，也可以是曲线曲面的控制点、型值点、插值点。顶点则是面中两条不共线线段的交点。环环 环是由有序、有向的边组成的封闭边界，环中各条边不能 自交，相邻两边共享一个端点。环有内环、外环之分，确定面中内孔或凸台边界的环为内环，确定面的最大外边界的环为外环，外环最大且只有一个。环具有方向性，外环通常按逆时针方向，而内环通常按顺时针方向。边边 边是形体中两个相邻面的交界，一条边只能有两个相邻的面，一条边有两个端点定界该边的起点和终点，它可以是空间直线或曲线。点 点是边的端点，点
8、不允许出现在边的内部，也不能孤立地存 集合运算是几何造型的基本方法，任何复杂形体那可以通过简单形体的集合运算生成，集合运算包括并、交、差，相应的集合算子及其作用如下：并 AB 取A和B的并集 交 A8 取A和B的交集差 AB 从A中减去A和B的交集集合运算集合运算 集合运算是几何造型的基本方法，任何复杂形体那可以通过正则集合运算正则集合运算 由正则形体通过集合运算而生成的形体不一定仍然是正则的，而早期的造型理论特别强调几何形体的正则性，为此引入了正则集合运算的概念。能够产生正则形体的集合运算称为正则集合运算正则集合运算。正则集合运算 由正则形体通过集合运算而生成的形体不一定 数学上正则集定义为
9、：S=KiS 该公式的含义为：如果一集合S的内部闭包与原来的集合相等，则称此集合为正则集。空间点的正则集就是正则几何形体，也就是有效几何形体。能够产生正则集的集合运算称为正则集合运算。相应的正则集合算子有：正则并正则并 U U*正则交正则交 *正则差正则差 *正则集合运算正则集合运算 数学上正则集定义为：S=K i S 正则集合运算 一个形体的表面是由一系列基本几何元素(面、边、点)组合而成，而这些几何元素之间的拓扑关系应满足一定的约束条件。通常用欧拉公式来检验这种拓扑关系是否满足条件，从而检查形体是否有效。欧拉公式对于简单多面体和一般多面体有所不同。简单多面体欧拉公式 一般多面体欧拉公式欧拉
10、公式欧拉公式 一个形体的表面是由一系列基本几何元素(面、边、点)组简单多面体欧拉公式 简单多面体是指与球具有拓扑等价的多面体：也就是指无孔、无槽的多面体，如长方体、三棱锥以及球体、锥体等简单曲面体等。简单多面体的欧拉公式为：V V E+F=2 E+F=2 其中：V顶点数、E边数、F面数 如图立方体，V8 E12 F6 V-E+F=8-12+62简单多面体欧拉公式 简单多面体是指与球具有拓扑等价的多一般多面体欧拉公式 一般多面体是指含有孔、槽的多面体。一般多面体的欧拉公式为 V V E+F E+F L=2 L=2（B-GB-G）式中：L多面体表面上的内环数；B互不相连的多面体数量；G多面体上的通
11、孔数。如图a所示的长方体上带有一个通孔，则V=16，E=24，F=10，L=2，B=1，G=1，公式左侧为V-E+F-L=0，右侧为2(B-G)=0，欧拉公式成立。图b所示的长方体上带有一个槽，则V=16，E=24，F=11，L=1，B=1，G=0，公式左侧为V-E+F-L=2，右侧为2(B-G)2，欧拉公式仍然成立。a)(b)一般多面体欧拉公式 一般多面体是指含有孔、槽的多面体。几何建模技术的发展几何建模技术的发展20世纪60年代：几何建模技术发展的初始阶段线框模型，仅含有顶点和棱边的信息。20世纪70年代：表面模型。在线框模型的基础上增加面的信息，使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。后来又出现曲面模型，用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示。20世纪70年代末：实体造型。通过简单体素的几何变换和交、并、差集合运算生成各种复杂形体的建模技术，实体模型能够包含较完整的形体几何信息和拓扑信息。线框模型、表面模型、实体模型统称为几何模型。实体模型是目前CAD/CAM建模的主流技术。20世纪80年代：特征建模技术。不仅表达产品的几何形状信息，而且表达与制造有关的非几何信息。如：精度、公差、粗糙度等 几何建模技术的发展2 0 世纪6 0 年代：几何建模技术发展
