1、24.1圆的有关性质24.1.1圆1阅读材料 引入新知古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概念的那么是什么人做出第一个圆的呢？18 000 年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个圆的孔到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子圆的木轮很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子 2 000 多年前，墨子给出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个
2、圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年1阅读材料 引入新知如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆rOA固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆O”圆的概念2合作交流，学习新知同心圆 等圆圆心相同，半径不同确定一个圆的两个要素:一是圆心，二是半径半径相同，圆心不同2合作交流，学习新知O问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？rOA2合作交流，学习新知动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一
3、个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合2合作交流，学习新知经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC3与圆有关的概念弦COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆COAB弧3与圆有关的概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”AB劣弧与优弧3与圆有关的概念小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧 AC大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧ABCCOAB在同圆或等圆
4、中，能重合的弧叫等弧等弧3与圆有关的概念1判断下列说法的正误：（1）弦是直径；（2）半圆是弧；（3）过圆心的线段是直径；（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（4）半圆是最长的弧；（6）半径相等的两个半圆是等弧4应用拓展，培养能力问题问题：你知道赵洲桥吗：你知道赵洲桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对的弦的长所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？能
5、求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵洲桥的半径是多少赵洲桥的半径是多少？实践探究实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴直径所在直线都是它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧
6、？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二 （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧：,ACBC ADBD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，分别与分别与 、重合重合ACADBCBDOABCDE我们还可以得到结论：我们还可以得到结论：我们就得到下面的定理：我们就得到下面的定理：AEBE，ACBCADBD即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分及及ABACB垂直于
7、弦的直径平分弦，并且平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这个定理也叫垂径定理，利用这这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？个定理，你能平分一条弧吗？解得：解得：R279（m）ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题？解决求赵州桥拱半径的问题？在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121AB
8、ADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中AB如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交于点相交于点C，根据前面，根据前面的结论，的结论，D是是 AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高ABAB垂径定理的应用垂径定理的应用垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1 1）直径）直径（2 2）垂直于弦）垂直于弦（3 3
9、）平分弦）平分弦（4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5 5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧MOACBN垂径定理垂径定理AM=MBAN=NBMOACBNAM=MBAN=NB垂径定理垂径定理推论推论1推论推论1.平分非直径的弦的直径垂直于弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的的长为长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离的距离为为3cm，则，则 O的半径是的半径是_随堂训练随堂训练OBEA2如图，在如图，在 O中，中，CD是直径，是直径，EA=EB,请些出三个正确的结论请些出三个正确的结论_OBCADE
10、双基训练双基训练 2.已知已知AB=10cm,以以AB为直径作圆为直径作圆,那么在此那么在此 圆上到圆上到AB的距离等于的距离等于5的点共有的点共有()A.无数个无数个 B.1个个 C.2个个 D.4个个C3.下列说法中正确的个数是（下列说法中正确的个数是（）.直径是弦直径是弦 .半圆是弧半圆是弧 .平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦.圆是轴对称图形，对称轴是直径圆是轴对称图形，对称轴是直径A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个B1.确定一个圆的条件是确定一个圆的条件是和和圆心圆心半径半径D4.4.下列命题中正确的是下列命题中正确的是()()A.A.弦的垂线平分弦所对的弧弦的垂线
11、平分弦所对的弧;B.B.平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦;C.C.过弦的中点的直线必过圆心过弦的中点的直线必过圆心;D.D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心且过圆心;双基训练双基训练 5.如图如图,将半径为将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕恰好经过圆心，则折痕AB的长为的长为()A.2cm B.cm C.cm D.cm33252C6.已知点已知点P是半径为是半径为5的的 O内内的一定点，且的一定点，且OP=4，则过，则过P点的所有弦中，弦长可能取点的所有弦中，弦长可能取的整数值为（的整数值为
12、（）A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8COBA7.7.已知已知:O:O中弦中弦ABCDABCD且且AB=9cm,CD=12cm,AB=9cm,CD=12cm,OO的直径为的直径为15cm,15cm,则弦则弦AB,CDAB,CD间的距离为间的距离为()()A.1.5cm B.10.5cm;A.1.5cm B.10.5cm;C.1.5cm C.1.5cm或或10.5cm D.10.5cm D.都不对都不对;CABCDO3cm8.已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，则过，则过P点的最长点的最长的弦等于
13、的弦等于.最短的弦等于最短的弦等于_。o o随堂训练随堂训练OAPBNM9.P9.P为为O O内一点内一点,且且OP=2cm,OP=2cm,若若O O的半径为的半径为3cm,3cm,则过则过P P点的最短弦长等于点的最短弦长等于()()A.1cm B.2cm C.cm D.A.1cm B.2cm C.cm D.5cm52DOBCADEOAPB10.10.同心圆中同心圆中,大圆的弦大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C,D,C,D,已知已知AB=4,CD=2,ABAB=4,CD=2,AB的弦心距为的弦心距为1,1,则两个同心圆的则两个同心圆的半径之比为半径之比为()()A.3:2 B.:C.:2 D
14、.5:4 A.3:2 B.:C.:2 D.5:4525B11.11.已知已知:和和 是是O O的两条弧的两条弧,且且 =2 ,=2 ,则则()()A.AB=2CD B.AB2CD A.AB=2CD B.AB2CD C.AB2CD D.C.AB2CD D.都不对都不对ABABCDCDABABCDCDC12.12.已知直径已知直径ABAB被弦被弦CDCD分成分成AE=4,AE=4,EB=8,CDEB=8,CD和和ABAB成成30300 0角角,则弦则弦CDCD的弦心距的弦心距OF=_;CD=_.OF=_;CD=_.1352EOABCDF在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任中，已知其中任意
15、两个量意两个量,可以求出其它可以求出其它两个量两个量.EOABDCd+h=rd+h=r222)2(adr13.已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E.若半径若半径R=2，AB=,求求OE、DE 的长的长.若半径若半径R=2，OE=1，求，求AB、DE 的长的长.由由、两题的启发，你还能编出什么其、两题的启发，你还能编出什么其他问题？他问题？32课前训练课前训练 1.到点到点A的距离为的距离为4cm的所有点组成的图形是的所有点组成的图形是_。以点以点A为圆心，为圆心，4cm为半径的圆为半径的圆2.（07广东模拟广东模拟）如图，）如图，AB是是 O的弦，半的弦，半径径OC、OD
16、分别交分别交AB于点于点E、F，AE=BF，请，请找出线段找出线段OE与与OF的数的数量关系，并给予证明。量关系，并给予证明。DCOFEBA3 3、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=OA=10m10m，拱高为，拱高为4m4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度ABAB的长。的长。ACBDO4.某机械传动装置在静止状态时，连杆某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点与点A运动所形成的运动所形成的 O交于交于B点，现测得点，现测得PB=8cm，AB=10cm，O 的半径的半径R=9cm，求此时，求此时P到圆到圆心心O的距离。的距离。POBA5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为如图，水
17、平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽，其中有油部分油面宽AB=24cm，则，则截截面上有油部分油面高面上有油部分油面高CD=双基训练双基训练 半径、弦长、弓形的高、半径、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离圆心到弦的距离知二求二知二求二8cmO OD DC CB BA A6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm。若水管截面半径为若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为，则污水的最大深度为_ dm。若水深若水深1dm，则水管截面半径为，则水管截面半径
18、为_dm.OBA28.5弓形问题中：弓形问题中：半径、弦长、弦心距、弓形高半径、弦长、弦心距、弓形高“知二求二知二求二”随堂训练随堂训练变式：变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面管内水面宽程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截，截面半径为面半径为5dm。则水深。则水深_dm.2或或8思维拓展思维拓展7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面下图是水平放置的破裂管道
19、有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽）若这个输水管道有水部分的水面宽AB16cm，水面最深地方的高度为，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截，求这个圆形截面的半径面的半径BA链接中考链接中考 7.如图，点如图，点A、B是是 O上两点，上两点，AB=10，点，点P是是 O上的动点，（上的动点，（P与与A，B不重合），连接不重合），连接AP、PB，过点，过点O分别分别OEAP于于E，OFPB于于F，则，则EF=。5O OF FE EP PB BA A8 8、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB为为O O的
20、弦，的弦，C C、D D是直线是直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBD BD 求证：求证：OCDOCD为等腰三角形。为等腰三角形。EABCDO9.9.已知已知:AB:AB和和CDCD是是O O的两条等弦的两条等弦,点点E,FE,F分别在分别在ABAB和和CDCD的延长线上且的延长线上且BE=DF.BE=DF.求证求证:EF:EF的垂直平分线经过圆心的垂直平分线经过圆心O.O.OFDCEABKL10.10.在在O O中中,过圆周上一点过圆周上一点A A作弦作弦ABAB和和AC,AC,且且AB=ACAB=AC，M M和和N N分别为分别为ABAB及及ACAC弦的中点弦的中点.连连M M和和N
21、 N并反向延长交圆于并反向延长交圆于P P和和Q Q两点两点.求证求证:PM=NQ.:PM=NQ.OCABPQHMNl例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即即图中弧图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222
22、OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为随堂训练随堂训练8如图，公路如图，公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交汇，且处交汇，且QPN=30，点，点A处有一所中学，处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路影响，那么拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那，那么学校受影响的时间为多少秒？么学校受影响的时间为多少秒？QAPNM30 2.2.已知已知:AB:AB是是O O的直径的直径,CD,CD是弦是弦,AECD,AECD于于E,E,BFCD BFCD于于F.F.求证求证:EC=DF.:EC=DF.AOGBFCDEOACDEFBG垂径定理垂径定理的应用的应用G.AOBECDFOABCDGEF
