1、 1 1.上上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？请问勾股定理的内容是什么？2 2.如何如何验证勾股定理呢验证勾股定理呢？导入导入新知新知据不完全统计，验证的方法有据不完全统计，验证的方法有400400多种，你想得到自己的方多种，你想得到自己的方法吗？法吗？问题思考问题思考 分别以分别以直角三角形直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的你是如何做的?与与同伴进行交流同伴进行交流.知识点 1探究新知探究新知割割 小
2、小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？大正方形进行割补的？你你能将所有三角形和正方形的面积用能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的的关系式表示出来吗？关系式表示出来吗？探究新知探究新知ABCD补补a+b大正方形大正方形ABCD的面积可以表示为：的面积可以表示为：或者或者_ 可得等式可得等式 方法方法一一探究新知探究新知2142abc(a+b)22214()2abcab你能用右图验证勾股定理吗？你能用右图验证勾股定理吗？验证了勾验证了勾股定理股定理探究新知探究新知=c2S正方形正方形C所以所以a2+b2=c2.S正方形正方形C2
3、1)42abab（2222ababab22ab小小正方形正方形ABCD的面积可以表示为：的面积可以表示为：或或者者_ 可得等式可得等式 方法方法二二探究新知探究新知214()2abbac22214()2abbacABCD你能用右图验证勾股定理吗？你能用右图验证勾股定理吗？也验证了也验证了勾股定理勾股定理探究新知探究新知=c2S正方形正方形ABCD所以所以a2+b2=c2.=S正方形正方形ABCD214()2abba2222ababab22abABCD所以所以a2+b2=c2方法三方法三c2abca2b2探究新知探究新知 abc所以所以c2=b2+a2方法四方法四探究新知探究新知 毕达哥拉斯证法
4、毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.探究新知探究新知aaaabbbbcccc所以所以a2+b2+2ab=c2+2ab，证明证明：因为因为S大正方形大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形大正方形=4S直角三角形直角三角形+S小正方形小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，探究新知探究新知所以所以a2+b2=c2.aabbcc 美国第二十任总统伽菲尔德的美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法总统证法”.”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，如图，
5、图中的三个三角形都是直角三角形，求证：求证：a2+b2=c2.探究新知探究新知所以所以a2+b2=c2.证明：证明：因为因为1()()2Sab ab梯形2212121cababS梯形abcABCDEFO意大利文艺复意大利文艺复兴时代的著名兴时代的著名画家达画家达芬奇芬奇的证法的证法探究新知探究新知AaBCbDEFOABCDEF请请同学们同学们自己写一自己写一下证明过下证明过程，相信程，相信你能行的！你能行的！证明：证明：探究新知探究新知所以所以a2+b2=c2.22122ABCDEFSabab 多边形abcSFEDCBA2122，多边形 归纳总结归纳总结 勾股定理的验证主要是通过勾股定理的验证
6、主要是通过拼图法拼图法利用面积的关利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法面积法验验证的关键是要找到一些特殊图形证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方如直角三角形、正方形、梯形形、梯形)的的面积之和面积之和等于整个图形的面积，从而达到等于整个图形的面积，从而达到验证的目的验证的目的探究新知探究新知用用四个边长均为四个边长均为a，b，c的的直角三角板，拼成直角三角板，拼成如图如图所示的所示的图形，则下列结论中正确的是图形，则下列结论中
7、正确的是()Ac2a2b2 Bc2a22abb2 Cc2a22abb2 Dc2(ab)2A巩固练习巩固练习例例 我方侦察员小王在距离东西向公路我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察处侦察,发现一辆发现一辆敌方汽车在公路上疾驶敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与测得汽车与他相距他相距400m,10s后后,汽车与他相距汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌你能帮小王计算敌方汽车的速度吗方汽车的速度吗?分分析析：勾勾股定股定理的应用理的应用知识点 2探究新知探究新知点点A表示小表示小王的位置王的位置点C表示汽车开始位置点B表示10s后汽车距小王500m小王
8、距离公路小王距离公路400m，所以，所以C是直角是直角点点A、B、C构成直构成直角三角形角三角形AC公路公路400mB500m例 即它行驶的速度为即它行驶的速度为108 km/h.总结总结：在实际问题中，可以根在实际问题中，可以根据问据问题中的条件题中的条件构造直角三角构造直角三角形形，从而利用，从而利用勾股定勾股定理理来解答来解答.解：解：由勾股定理由勾股定理,可以得到可以得到AB2=BC2+AC2,也就是也就是5002=BC2+4002,所以所以BC=300.敌方汽车敌方汽车10s行驶了行驶了300m,那么它那么它1h行驶的距离为行驶的距离为300660=108000(m),探究新知探究新
9、知飞机飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方上方4km处，过了处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞，飞机每小时飞行多少千米？机每小时飞行多少千米？4km20秒后秒后5kmABC巩固练习巩固练习在在RtABC中中，BC2=AB2-AC2.解：解：因为因为AB=5，AC=4,所以所以BC2=52-42.所以所以BC2=9,所以所以BC=3，因为因为 ,h1801s20 所以所以 .km54018013答：答：飞机每小时飞行飞机每小时飞行540km.例例 等腰三角形等腰三角形底边上的高为底边上的高为8c
10、m，周长为周长为32cm，求这个三角形的求这个三角形的面积面积.8x16-xDABC解：解：设这个三角形为设这个三角形为ABC，高为，高为AD，设设BD为为xcm，则则AB为（为（16-x）cm，由勾股定理得：由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即即x2+64=256-32x+x2所以所以x=6利用勾股定理解答面积问题利用勾股定理解答面积问题探究新知探究新知方法点拨：方法点拨：利用勾股定理利用勾股定理解答几何问题，经常用到解答几何问题，经常用到设未知数设未知数列方程列方程的思想的思想答：答：这个这个三角形的三角形的面积为面积为48cm2.112 6 84822BCAD SABC=（cm2）
11、下列下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积面积.15厘米厘米17厘米厘米解：解：设正方形的边长为设正方形的边长为x厘米厘米 ,则则 x2=172-152 =64答：答：正方形的面积是正方形的面积是64平方厘米平方厘米.巩固练习巩固练习 议一议议一议 判断判断图中图中三角形的三边是否满足三角形的三边是否满足a2+b2=c2.锐角三角形锐角三角形：a2+b2 c2钝角三角形钝角三角形：a2+b2 c2直角三角形直角三角形：a2+b2=c2提示：提示：用用数格子的方法数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.探究新
12、知探究新知（2019咸宁）勾股定理是咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之人类最伟大的十个科学发现之一一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽赵爽弦图弦图”.”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是下列图案中是“赵爽弦图赵爽弦图”的是（）的是（）A B C D连接中考连接中考B1如图，一个长为如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙
13、，则梯子顶端距离墙脚处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚()A0.2 m B0.4 m C2 m D4 mC课堂课堂检测检测2如图，在边长为如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网个单位长度的小正方形组成的网格中，点格中，点A，B都是格点，则线段都是格点，则线段AB的长度为的长度为()A5 B6 C7 D25A课堂课堂检测检测3如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若若a，c的的 面积分别为面积分别为3和和4，则，则b的面积为的面积为()A16 B12 C9 D7D课堂课堂检测检测4两棵树之间的距离为两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是，两棵树的高度分别是8
14、m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？少要飞多少米？思路：思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定三角形，再利用勾股定理解答理解答课堂课堂检测检测解：解：根据题意画出示意图，如图所示根据题意画出示意图，如图所示，两两棵树的高度分别为棵树的高度分别为AB8 m，CD2 m，两两棵树之间的距离棵树之间的距离BD8 m，过过点点C作作CEAB，垂足为垂足为E，连接连接AC.则则BECD2 m，ECBD8 m，AEABBE826(m)在在
15、RtACE中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AC2AE2EC2，即即AC26282100，所以，所以AC10 m.答：答：这只小鸟至少要飞这只小鸟至少要飞10 m课堂课堂检测检测知识点知识点 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积半圆的面积S1 ，S2 2，试求出，试求出S3的面积的面积.258课堂课堂检测检测解：解：如图，由圆的面积公式得如图，由圆的面积公式得 所以所以c225，a216.根据勾股定理，得根据勾股定理，得b2c2a29.所以所以21125,228cS2212,22aS223119=.2288bSb课堂检
16、测课堂检测 一一艘快艇以每小时艘快艇以每小时12海里的速度离开海里的速度离开A地，向西北方向地，向西北方向航行，另一小船以每小时航行，另一小船以每小时5海里的速度离开海里的速度离开A地，同时出发向地，同时出发向西南方向航行，求西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离小时后快艇与小船之间的距离.思路提示：思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题题.或者说：画出图形，运用勾股定理或者说：画出图形，运用勾股定理.课堂检测课堂检测解：解：根据题意，如图，根
17、据题意，如图，1小时后快艇在小时后快艇在B处，小船在处，小船在C处处.且有且有AB=12海里，海里，AC=5海里，海里，BAC=900 ACB由勾股定理，可以得到由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2即即122+52=BC2所以所以BC=13（海里）（海里）答：答：1小时后快艇与小船之间的距离小时后快艇与小船之间的距离为为13海里海里.课堂检测课堂检测验证验证勾勾股股定理定理及应及应用用拼 图拼 图验 证验 证首先通过首先通过拼图拼图找出面积之间的相等关系，找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出代数变形即可推导出勾股定理勾股定理应 用应 用拼出拼出图形图形写出图形面积的写出图形面积的表达式表达式找出找出相等相等关系关系课堂小结课堂小结步 骤步 骤恒等恒等变形变形导出导出勾股定理勾股定理 思 路思 路
