1、数学 八年级上册 BS版总复习期末复习课总复习期末复习课期末复习课（一）（第一章勾股定理）期末复习课（一）（第一章勾股定理）数学 八年级上册 BS版知识梳理知识梳理典例讲练典例讲练目录目录CONTENTS数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 1.勾股定理.（1）文字语言：直角三角形两直角边的 等于 的平方.如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么 ；平方和斜边a2 b2 c2数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）几何语言：在Rt ABC 中（如图所示），ACB 90，.BC2 AC2 AB2注意：勾股定理成立的前提是已知三角形是直角三角形.数学 八年级上册
2、 BS版返回目录返回目录2.勾股定理的逆定理.（1）文字语言：如果一个三角形的三边长为 a,b,c 且满足 ，那么这个三角形是直角三角形；（2）几何语言：在 ABC 中（如图所示），且 ACB 90.3.勾股数.（1）满足 a2 b2 c2的三个 ，称为勾股数.a2 b2 c2BC2 AC2 AB2 ABC 是直角三角形正整数数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）常见的勾股数：勾 a 股 b 弦 c 34551213724258151794041数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录4.勾股定理的应用.（1）求边长（或线段长）.解决此类问题时，若没有直角三角形，则需要构造直角三角形，
3、常见方法是作垂线段.（2）运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状或求角度.（3）解决最短距离问题.常见思路：两点之间线段最短；点到直线上任一点的连线中，垂线段最短.此类问题都是在平面图形中解决，因此常将几何体展开转化成平面图形来解决问题.（4）解决实际生活中的问题.数学 八年级上册 BS版0 2典例讲练典例讲练数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 类型一利用勾股定理求边长或面积 （1）如图，将等腰直角三角形 ABC（其中 B 90）沿 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边的中点 A1处.若 BC 8，则线段 AE 的长为 .5【解析】由折叠的性质，得 A1 E AE.ABC 为等腰直角三角形
4、，BC 8，AB 8.点 A1为 BC 的中点，A1 B 4.设 AE A1 E x，则 BE 8 x.在Rt A1 BE 中，由勾股定理，得42（8 x）2 x2，解得 x 5.故答案为5.【点拨】利用勾股定理在折叠问题中求线段长的关键点：（1）折叠后，对应点、对应线段之间的位置、大小关系的变与不变；（2）抓住折叠问题中的相关点、线，寻找或构造直角三角形；（3）利用勾股定理列方程求解.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）已知点 A，B，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 C 到线段 AB 所在直线的距离为 .【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三
5、角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方是解答此题的关键.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为 b，较短的直角边长为 a.若 ab 8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 .3数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录2.在等腰三角形 ABC 中，已知 AB 5，BC 6，求 ABC 底边上的高.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型二勾股定理的逆定理的应用 如图，在四边形 ABCD 中，已知 B 9
6、0，AB 16 cm，BC 12 cm，AD 21 cm，CD 29 cm.（1）求证：DAC 90；（2）求四边形 ABCD 的面积.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）求四边形 ABCD 的面积.【点拨】判断一个三角形是否为直角三角形的两种方法：（1）利用定义，即若已知条件与角度有关，则可借助三角形的内角和判断；（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 1.在下列各组数据中，其中能构成直角三角形的三边长的是（D）A.2，3，4B.1，1，2C.1.5，
7、2，2.8D2.如图，已知方格纸中每个小正方形的边长均为1，且 ABC 的顶点均在格点上.试判断 ABC 的形状，并说明理由.解：ABC 是直角三角形，理由如下：由题意，得 AC2224220，BC222125，AB2324225.20525，AC2 BC2 AB2.ABC 是直角三角形，且 ACB 90.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型三几何问题中的最短路程问题 （1）如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点 A 出发，经过3个面爬到点 B.若蚂蚁运动的路线是最短的，则最短路程为 .【点拨】此题考查了平面展开最短路程问题和勾股定理，熟练求出 AB 的长是解本题的关键.数学 八年
8、级上册 BS版返回目录返回目录（2）如图，已知圆柱形玻璃杯高14 cm，底面圆周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯口3 cm与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁从外壁点 A 处爬到内壁点 B 处的最短路程为 cm（杯壁厚度不计）.20【点拨】涉及从杯壁外面与里面的最短路程问题时，一般要将侧面展开，同时找到起始点的对称点，连接对称点和终点，从而找到最短路程，最后利用勾股定理进行求解即可.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录2.如图，已知四边形 ABCD 是长方形地面，AB 10 m，AD 5 m，中间竖
9、有一堵砖墙，高 MN 1 m.一只蚂蚁从点 A 爬到点 C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m.13数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型四利用勾股定理解决实际问题 某初中数学兴趣小组开展实践活动.如图，在校园里测量一块四边形场地 ABCD 的周长，其中边 CD 上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度.经测量，得知 AB AD BD 60 m，BC 80 m，ABC 150.如果你是数学兴趣小组的成员，请想办法求出四边形 ABCD 的周长.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，具有极强的破坏力.据气
10、象观测，距沿海某城市所在位置点 A 的东南某方向240 km的点 B 处有一台风中心（如图所示），其中心风力为12级，该台风中心现在以20 km/h的速度向正西方向往点 F 移动，ABF 30，且台风中心的风力不变.若每远离台风中心25 km，则风力就会减弱一级，当城市所受风力达到或超过4级时，城市会受台风影响.（1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.答图数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录答图（2）若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响持续的时间有多长？数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型五利用勾股定理解决动点问题 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB CD，AB 12
11、cm，CD 6 cm，DA 3 cm，D A 90，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以2 cm/s的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以1 cm/s的速度移动.如果点 P，Q 同时出发，用 t（单位：s）表示移动的时间，且0 t 3.（1）是否存在这样的 t，使得 PCQ 90？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.（2）PBC 能否构成直角三角形？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录解：（1）不存在 t 值满足要求.理由如下：如图1，过点 C 作 CE AB，垂足为 E.AB CD，CD 6 cm，DA
12、 3 cm，AE 6 cm，CE 3 cm.CQ2 CD2 DQ236 t2，CP2 CE2（AE AP）29（62 t）2，PQ2（AD DQ）2 AP2（3 t）2（2 t）2.要使 PCQ 90，则 CQ2 CP2 PQ2，即36 t29（62 t）2（3 t）2（2 t）2，解得 t 4.0 t 3，不存在使 PCQ 90的 t 值.图1（1）是否存在这样的 t，使得 PCQ 90？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.（2）PBC 能否构成直角三角形？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录图2【点拨】解与时间 t 有关的几何动点
13、问题的基本方法：通过公式“速度时间路程（线段的长度）”，用时间 t 表示出所需要的线段的长度.当涉及能否构成直角三角形时，就是看该三角形的三边长度的数量关系是否符合勾股定理，并能求出符合要求的 t 值，如果可以求出符合要求的 t 值，就能判断能形成直角三角形，否则不能形成直角三角形，从而解决问题.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 解：由题意可知，P（t，2 t），B（6，2），Q（5 t，0）.根据勾股定理，得 PB2（6 t）2（22 t）2，QB2（65 t）222，PQ2（5 t t）24 t220 t2.当 PQ2 QB2 PB2时，PQB 为直角三角形，则20 t2（65 t）222（6 t）2（22 t）2.整理，得 t 需满足方程 t2 t 0；数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录当 QB2 PB2 PQ2时，PQB 为直角三角形，则（65 t）222（6 t）2（22 t）220 t2.整理，得 t 需满足方程 t28 t 80；当 PQ2 PB2 QB2时，PQB 为直角三角形，则20 t2（6 t）2（22 t）2（65 t）222.整理，得 t 需满足方程 t 0，不符合题意，舍去.综上所述，当 t 满足方程 t2 t 0或 t28 t 80时，PQB 为直角三角形.数学 八年级上册 BS版演示完毕 谢谢观看
