1、第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系5.三角函数的应用1.一物体沿坡度为一物体沿坡度为 的山坡向上移动的山坡向上移动 m,则物体则物体升高升高了了m 18652.在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为 ,沿水平方沿水平方向，再向塔底前进向，再向塔底前进a m，又测得塔尖的仰角为，又测得塔尖的仰角为 ，那么电，那么电视塔的高为视塔的高为 45 603.如如图所示，在高图所示，在高2 m，坡角为，坡角为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要至少需要 m 30 1332a 22 31m.温故知新，引入新课温故知新，引入新课船有
2、无触礁的危险船有无触礁的危险w如图如图,海中有一个小岛海中有一个小岛A,该岛四周该岛四周10海里内暗礁海里内暗礁.今有货轮四今有货轮四由西向东航行由西向东航行,开始在开始在A岛南偏西岛南偏西55的的B处处,往东行驶往东行驶20海里海里后到达该岛的南偏西后到达该岛的南偏西25的的C处处.之后之后,货轮继续向东航行货轮继续向东航行.w请与同伴交流你是怎么想的请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做怎么去做?w你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?A导学知识，合作探究导学知识，合作探究1.思路思路点拔点拔（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图）请同学们根
3、据题意在练习本上画出示意图,然后说明你然后说明你是怎样画出来的是怎样画出来的.ABCD北北东东（1）我们注意到题中有很多方位）我们注意到题中有很多方位,在平面图形中在平面图形中,方位是如何方位是如何规定的规定的?应该是应该是“上北下南上北下南,左西右东左西右东”.首先我们可将小岛首先我们可将小岛A确定确定,货轮货轮B在小岛在小岛A的南偏西的南偏西55的的B处处,C在在B的正东的正东方方,且在且在A南偏东南偏东25处处.示意图如右示意图如右.（3）货轮要向正东方向继续行驶）货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险有没有触礁的危险,由谁由谁来决定来决定?根据题意根据题意,小岛四周小岛四周10海里
4、内有暗礁海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的那么货轮继续向东航行的方向如果到方向如果到A的最短距离大于的最短距离大于10海里海里,则无触礁的危险则无触礁的危险,如果小如果小于于10海里则有触礁的危险海里则有触礁的危险.A到到BC所在直线的最短距离为过所在直线的最短距离为过A作作ADBC,D为垂足为垂足,即即AD的长度的长度.我们需根据题意我们需根据题意,计算出计算出AD的的长度长度,然后与然后与10海里比较海里比较.ABCD北北东东（4）下面我们就来看）下面我们就来看AD如何求如何求.根据题意根据题意,有哪些已知条件呢有哪些已知条件呢?已知已知BC20海里海里,BAD55,CAD25.（5）在
5、示意图中）在示意图中,有两个直角三有两个直角三角形角形RtABD和和RtACD.你能在你能在哪一个三角形中求出哪一个三角形中求出AD呢呢?ABCD北北东东 在在RtACD中中,只只知道知道CAD=25,不能不能求求AD.在在RtABD中中,知道知道BAD=55,虽然虽然知道知道BC20海里海里,但它不是但它不是RtABD的边的边,也不能求出也不能求出AD.这两个三角形有联系这两个三角形有联系,AD是它们的公共直角边是它们的公共直角边.而而且且BC是这两个直角三角是这两个直角三角形形BD与与CD的差的差,即即BCBD-CD.BD，CD的对角的对角是已知的是已知的,BD，CD和边和边AD都有联系都
6、有联系.（6）那该怎么做呢）那该怎么做呢?是不是可以将它们结合起来是不是可以将它们结合起来,站在一个站在一个更高的角度考虑更高的角度考虑?ABCD北北东东在在RtABD中中,在在RtACD中中,利用利用BCBD-CD就可以列出关于就可以列出关于AD的一元一次方程的一元一次方程,即即ADtan 55-ADtan 2520.tan55BDAD =tan55.BDAD=tan25，CDAD=tan25.CDAD=（7）有何联系呢）有何联系呢?ABCD北北东东w解解:过点过点A作作ADBC交交BC延长线于点延长线于点D,根据题意可根据题意可知知,BAD=55,CAD=25,BC=20海里海里.设设AD
7、=x,则则答答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.DABCD北北东东tan55,tan25,QBDCDxx=tan55,tan25.BDxCDx =5525tan55tan2520.xx-=-=202020.67tan55tan251.42810.4663x =（海里（海里）.因为因为AD10海里海里,所以无触礁的危险所以无触礁的危险.古塔究竟有多高古塔究竟有多高w如图如图,小明想测量塔小明想测量塔CD的高度的高度.他在他在A处仰望塔顶处仰望塔顶,测得仰角为测得仰角为30,再往塔的方向前进再往塔的方向前进50 m至至B处处,测得仰角为测得仰角为60,那么该塔
8、那么该塔有多高有多高?(小明的身高忽略不计小明的身高忽略不计,结果精确到结果精确到1 m).w要解决这问题要解决这问题,我们仍需将其数我们仍需将其数学化学化.w请与同伴交流你是怎么想的请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做准备怎么去做?w现在你能完成这个任务吗现在你能完成这个任务吗?2.合作合作探究，理解新知探究，理解新知这个图形与前面的图形相同这个图形与前面的图形相同,因此解答如下因此解答如下:DABC50 m3060tan,tan,ACBCADCBDCxxQtan60,tan30.ACxBCx tan60tan3050.xx 505025 343 m.tan60tan30333x 答答:该
9、塔约有该塔约有43 m高高.解解:如图如图,根据题意可知根据题意可知,A=30,DBC=60，AB=50 m.设设CD=x,则则ADC=60,BDC=30,楼梯加长了多少楼梯加长了多少w某商场准备改善原有楼梯的安全性能某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾把倾角由原来的角由原来的40减至减至35，已知原楼梯的长，已知原楼梯的长度为度为4 m，调整后的楼梯会加长多少，调整后的楼梯会加长多少?楼梯多楼梯多占多长一段地面占多长一段地面?(结果精确到结果精确到0.01 m).w现在你能完成这个任务吗现在你能完成这个任务吗?w请与同伴交流你是怎么想的请与同伴交流你是怎么想的?准备怎准备怎么去做么去做?A
10、BCD课堂练习，巩固新知课堂练习，巩固新知w解解:如图如图,根据题意可知，根据题意可知，A=35,BDC=40，DB=4 m.求求(1)AB-BD的长，的长，(2)AD的长的长.ABCD4 m35 40sin40,BCBD Q=sin40.BCBD=sin35,BCAB Q=答答:调整后的楼梯会加长约调整后的楼梯会加长约0.48 m.sin454 0.64284.48 m.sin35sin350.5736BCBDAB=4.4840.48 m.ABBD-=-=w解解:如图如图,根据题意可知根据题意可知,A=35BDC=40,DB=4m.求求(2)AD的长的长.ABCD4 m35 40tan40,
11、QBCDC =.tan40BCDC=tan35,BCAC =Q答答:楼梯多占约楼梯多占约0.61 m一段地面一段地面.tan35BCAC=ADACDC=11tan35tan40BC =-11sin40tan35tan40BD =-0.61 m.1.钢缆长几何钢缆长几何w如图，一灯柱如图，一灯柱AB被一钢缆被一钢缆CD固定固定.CD与地面成与地面成40夹角，夹角，且且DB=5 m.现再在现再在CD上方上方2 m处加固另一根钢缆处加固另一根钢缆ED，那么，那么，钢缆钢缆ED的长度为多少的长度为多少?(结果精确到结果精确到0.01 m).EBCD2 m405 m课堂练习，检测新知课堂练习，检测新知w
12、解解:如图如图,根据题意可知根据题意可知,CDB=40，EC=2 m，DB=5 m.求求DE的长的长.EBCD2 m405 mtan40,BCBD =Qcos51.12,QDBDE=w答答:钢缆钢缆ED的长度约为的长度约为7.97m.tan40.BCBD=2tan4026.1955 m.BEBCBD=+=+=+=+()()5tan402tan1.24.5BEBDEBD +=Q 57.97 m.cos51.120.6277DBDE=51.12BDE .2.大坝中的数学计算大坝中的数学计算w如如图图,水库大坝的截面是梯形水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶坝顶AD=6 m,坡长坡长CD=8 m.坡底
13、坡底BC=30 m,ADC=135.w(1)求坡角求坡角ABC的大小的大小;w(2)如果坝长如果坝长100 m,那么修建这个大坝共需多少土石方那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到结果精确到0.01 m3).解答问题需要有条有理解答问题需要有条有理w解解:如图如图,(1)求坡角求坡角ABC的大小的大小;过过点点D作作DEBC于点于点E,过点过点A作作AFBC于点于点F.tan454 2,ECDEDC=答答:坡角坡角ABC约为约为13.4 2,304 2.AFDEBF=-=-4 2tan0.2324.304 2AFABCBF =Q13.ABC计算需要空间想象力计算需要空间想象力w解解:如图如
14、图,(2)如果坝长如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土那么修建这个大坝共需多少土石方石方(结果精确到结果精确到0.01 m3).,2ADBC AFS+=答答:修建这个大坝共需土石方约修建这个大坝共需土石方约10 182.34 m3.364 272 2.2S=310010072 210182.34 m.VS=如图，如图，20海里时的速度将一批重要物资由海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西处运往正西方向的方向的B处，经处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时此时.接到气象部门通知，一台风中心正以接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速
15、海里时的速度由度由A向北偏西向北偏西60方向移动，距台风中方向移动，距台风中200海里的圆形区海里的圆形区域域(包括边界包括边界)均受到影响均受到影响.(1)问：问：B处是否会受到台风的影响处是否会受到台风的影响?请说明理由请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物多少小时内卸完货物?(供选用数据：供选用数据：)21.4,31.7拓展延伸，升华拓展延伸，升华知识知识解：解：(1)过点过点B作作BDAC.垂足为垂足为D.依依题意，得题意，得BAC30，在，在RtABD中，中，B处会受到台风影响处会受到台风影响.(2)以点以点B为圆心，为圆心，
16、200海里为半径画圆交海里为半径画圆交AC于于E，F，由勾股，由勾股定理可求得定理可求得DE=120，(小时小时).因此因此，该船应在，该船应在3.8小时小时内卸内卸完货物完货物.112016160200,22BDAB=160 3.AD=160 3 120.AEAD DE=-=-160 3 1203.840-利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际解决实际问题问题的的一般步骤一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等适当选用锐角
17、三角函数等 去解直角三角形去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.(有有“弦弦”用用“弦弦”;无无“弦弦”用用“切切”)课堂小结课堂小结1.1.本本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题关的实际问题,提高了我们分析和解决实际问题的能提高了我们分析和解决实际问题的能力力.2.2.其实其实,我们这一章所学的内容属于我们这一章所学的内容属于“三角学三角学”的范的范畴畴.请同学们阅读请同学们阅读“读一读读一读”,了解了解“三角学三角学”的发的发展展,相信你会对相信你会对“三角学三角学”更感
18、兴趣更感兴趣.课后反思课后反思作业布置作业布置教材教材P21 习题习题1.6 1,2,3题题;4.如图所示，A，B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：）414.12,732.13154530FEPBAPPP BBBAAACCC50 km50 km50 kmCABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形三角形.解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造通过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解.温馨提示温馨提示D5.思考：怎样思考：怎样解决一般三角形中的问题呢？解决一般三角形中的问题呢？
