1、1.3.2 函数极值与导数函数极值与导数 知识回顾知识回顾:如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xf用用“导数法导数法”求单调区间的步骤求单调区间的步骤:注意：注意：函数函数定义域定义域求求()fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间求单调区间求单调区间aoht 0h a ht问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图象的图象 2()4.96.510h ttt单调递增单调递增单调递减单调递减0)(th0 )(
2、thaat at 归纳归纳:函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近,当当 时时,函数函数h(t)单调递增，单调递增，;当当 时时,函数函数h(t)单调递减单调递减,。()h tta0)(ah0)(th0)(thyxaob yf x （3 3）在点）在点 附近附近,的导数的符号有的导数的符号有 什么规律什么规律?,a b yf x （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系附近的函数值有什么关系?yf x,a b（2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少?yfx,a b(图一图一)问题：问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(
3、af0)(bfxy yf xohgfedc(图二图二)yxaob yf x(图一图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxy yf xohgfedc(图二图二)极大值极大值f(b)点点a a为函数为函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b b为函数为函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极小值极小值f(a)思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于
4、极小值吗？yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的图象的图象?yfx yf x yf x答：答：yfx1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函数数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。2、x2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x2是函数是函数y=f
5、(x)的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。下面分两种情况讨论下面分两种情况讨论:（1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时;（2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。例例4：求函数求函数 的极值的极值.31443fxxx 31443f xxx 2422fxxxx 0fx 0,fx 解解:0fx 当当x x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：,fxf x x fx f x,2 2,22,28343当当x=-2x=-2时时,f(x),f(x)的极大值为的极大值为 28(2)3f 423f 令令解得解得x=2,或或x=-2.0
6、022单调递增单调递增单调递减当当x=2时时,f(x)的极小值为的极小值为22n探索探索:x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf(x)x3 3v 若寻找可导函数极值点若寻找可导函数极值点,可否可否只由只由f(x)=0 0求得即可求得即可?f(x)=3=3x2 2 当当f(x)=0=0时，时，x=0=0，而而x=0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的
7、必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件（2）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那么那么 是极小值是极小值归纳：归纳：求函数求函数y=f(x)极值的方法是极值的方法是:（1）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 ，那么那么 是极大值；是极大值；解方程解方程 ，当当 时：时：0fx 0f x 0fx 0 x00fx0f x0 x 0fx 0fx 0fx 练习：练习：下列结论中正确的是（下列结论中正确的是（）。）。A、导数为零的点一定是极值点。、导数为零的点一定是极值点。B、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么 f(x
8、0)是极大值。是极大值。C、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么f(x0)是极大值。是极大值。、极大值一定大于极小值。、极大值一定大于极小值。B 3f xx0 xy(最好通过列表法最好通过列表法)巩固练习巩固练习：求函数求函数 的极值的极值 33f xxx x fx f x,1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时,有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf当当 时时,有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2.2.1x1x x解解:令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时
9、；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：33f xxx 0fx 23 3fxx 23 30fxx1x 1.x 0fx 11x 1x 1x ,fxf x思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得处取得极值。极值。（1）求函数）求函数 的解析式（的解析式（2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间 322f xaxbxx2,1xx f x f x f x f x解：解：（1）在在 取得极值取得极值,即即 解得解得 （2），由由 得得 的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 的单调减区间为的单调减区间为 2322fxaxbx f x2,1
10、xx 124203220abab11,32ab 3211232f xxxx 22fxxx 0fx 12xx 或 0fx 21x)1,2(,21,和0)1(,0)2(ff 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则a，b的值为（的值为（）A A、或或 B B、或或C C、D D、以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3,3 ba11,4 ba1,4 ba11,4 ba11,4 baC，解解:由题设条件得：由题设条件得：0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极
11、值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 课堂小结课堂小结:一、方法一、方法:(1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)求导数求导数f(x)(3)求方程求方程f(x)=0的全部解的全部解(4)检查检查f(x)在在f(x)=0的根左的根左.右两边值的符号右两边值的符号,如果左正如果左正右负右负(或左负右正或左负右正),那么那么f(x)在这个根取得极大值或极小值在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业：作业：P32 5
12、今天我们学习函数的极值今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值并利用导数求函数的极值 abxy)(xfyO abxy)(xfyO 函数函数 f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（）个极小值点。）个极小值点。A.1 B.2 C.3 D.4)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfAf(x)0f(x)=0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别32()f xaxbxcx2.2.已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）,求：求：（1）的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x()yfx0 x2,9,12abc.10 x)0(23(2/acbxaxxf）或或 23332acab5)1(cbaf0412)2(023)1(/cbafcbaf 略解：略解：(1)由图像可知：由图像可知：(2)注意：注意：数形结合以及函数与方程思想的应用数形结合以及函数与方程思想的应用
