1、2 2 圆的对称性圆的对称性第1课时 1.1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明行有关的计算和证明.点在圆外点在圆外,这个点到圆心的距离大于半径这个点到圆心的距离大于半径 点在圆上点在圆上,点在圆内点在圆内,这个点到圆心的距离等于半径这个点到圆心的距离等于半径 这个点到圆心的距离小于半径这个点到圆心的距离小于半径 ABCO点与圆的位置
2、关系点与圆的位置关系 圆是轴对称图形吗圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴你能找到多少条对称轴?讨论：你是用什么方法解决上述问题的讨论：你是用什么方法解决上述问题的?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线驶向胜利的彼岸（一）想一想（一）想一想（二）认识弧、弦、直径（二）认识弧、弦、直径 2 2弦：弦：3 3直径：直径：1 1圆弧：圆弧：如图如图,AB,AB（劣弧）、（劣弧）、ACD ACD（优弧）（优弧）如图如图,弦弦ABAB，弦，弦CDCD如图如图,直径直径CDCD圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆上任意两点间的部分叫做
3、圆弧，简称弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫直径。经过圆心的弦叫直径。圆的相关概念圆的相关概念大于半圆的弧叫做优弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧 直径是弦，但弦不一定是直径；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧半圆既不是劣弧，也不是优弧 注意：注意：ABODC圆的相关概念圆的相关概念（三）探索垂径定理 1 1在一张纸上任意画一个在一张纸上任意画一个O O，沿圆周将圆剪下，把这个圆，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合对折，使圆的两半
4、部分重合2 2得到一条折痕得到一条折痕CDCD3 3在在O O上任取一点上任取一点A A，过点，过点A A作作CDCD折痕折痕 的垂线，得到新的折的垂线，得到新的折痕，其中，点痕，其中，点M M是两条折痕的交点，即垂足是两条折痕的交点，即垂足4 4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B B，如图，如图.问题：问题：（1）右图是轴对称图形吗？）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。说一说你的理由。驶向胜利的彼岸做一做：按下面的步骤做一做做一做：按下面的步骤做一
5、做 推理格式：如图所示 CD为 O的直径,CDAB AM=BM，AD=BD，AC=BC.总结得出垂径定理：总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。平分弦所对的弧。驶向胜利的彼岸 （四）探索垂径定理的逆定理1.想一想：如下图示，想一想：如下图示，AB是是 O的弦的弦(不是直径不是直径)，作一条，作一条平分平分AB的直径的直径CD，交，交AB于点于点M（1）此图是轴对称图形吗）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。驶向胜利
6、的彼岸2.总结得出垂径定理的逆定理：总结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。并且平分弦所对的弧。推理格式：如图所示推理格式：如图所示 CD为为 O的直径的直径,AM=BM CDAB，AD=BD，AC=BC.ODCBAM弦弦（不是直径）（不是直径）并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧 平分平分的直径的直径垂直于弦，垂直于弦，ODCBA?!CEFDO例例1.1.如图如图,一条公路的拐弯处是一段弧一条公路的拐弯处是一段弧(即图中即图中 CD,CD,点点O O是是 CD CD 的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=
7、600m,E是是 CD CD 上一点上一点,且且OECD,OECD,垂足为垂足为F,EF=90m,F,EF=90m,求这段弯路的半径求这段弯路的半径解解:.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为1.1.在在O O中，中，OCOC垂直于弦垂直于弦ABAB，AB=8AB=8，OA=5OA=5，则，则AC=AC=，OC=.OC=.ABCOABCO584 43 32.2.在在O O中，中，OCOC平分弦平分弦ABAB，AB=16AB=16，OA=
8、10OA=10，则，则OCA=OCA=，OC=.OC=.161090906 6【规律方法规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题问题.1.1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.2.2.垂径定理及推论垂径定理及推论.及圆的对称性及圆的对称性.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
9、对的弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.通过本课时的学习，需要我们掌握：ODCBAM例例1.1.如图，在如图，在O O中，中，CDCD是直径，是直径，ABAB是弦，且是弦，且CDABCDAB，已知，已知CD=20CD=20，CM=4CM=4，求，求AB.AB.ODCBAM解：连接解：连接OAOA在在O O中，直径中，直径CDCD弦弦ABAB AB=2AM AB=2AMOMAOMA是直角三角形是直角三角形 CD=20 CD=20 AO=CO=10 AO=CO=10 OM=OC CM=10 4=6 OM=OC CM=10 4=6在在
10、Rt Rt OMAOMA中，中，AO=10AO=10，OM=6OM=6根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：222AMOMAO86102222OMAOAM AB=2AM=2 AB=2AM=2 8=16 8=16ABCDO例例2.2.如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CDCD与大圆的与大圆的弦弦ABAB在同一条直线上在同一条直线上.你认为你认为ACAC与与BDBD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？G提示提示:作作OGABOGABAG=BG,CG=DGAG=BG,CG=DGAC=BDAC=BDOM2.2.如图如图,M,M为为O O内的一点内的
11、一点,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.解析：连接解析：连接OM,OM,过过M M作作ABOMABOM，交交O O于于A A、B B两点两点.A AB B1.1.（20112011上海中考）如图，上海中考）如图，ABAB、ACAC都是圆都是圆O O的弦，的弦，OMABOMAB，ONACONAC，垂足分别为，垂足分别为M M、N N，如果，如果MNMN3 3，那么，那么BCBC_._.【解析解析】由垂径定理得由垂径定理得AN=CNAN=CN，AM=BMAM=BM，所以，所以BC=2MN=6BC=2MN=6，答案：答案：6 62
12、.2.（20102010芜湖中考）如图所示，在芜湖中考）如图所示，在O O内有折线内有折线OABCOABC，其中其中OAOA8 8，ABAB1212，A AB B6060，则则BCBC的长为（的长为（）A A19 B19 B16 C16 C18 D18 D2020答案答案:D:D3 3（20102010烟台中考）如图，烟台中考）如图，ABCABC内接于内接于O O，D D为线段为线段ABAB的中点，延长的中点，延长ODOD交交O O于点于点E E，连接，连接AEAE，BEBE，则下列五个结，则下列五个结论论ABDE,ABDE,AE=BE,AE=BE,OD=DE,OD=DE,AEO=C,AEO=
13、C,正确结论的个数是（正确结论的个数是（）A.2A.2个个 B.3B.3个个 C.4C.4个个 D.5D.5个个答案答案:B:B1AEAEB24.4.（20102010湖州中考）如图，已知湖州中考）如图，已知O O的直径的直径ABAB弦弦CDCD于于点点E E，下列结论中一定正确的是（，下列结论中一定正确的是（）A AAEAEOE BOE BCECEDEDEC COEOE CE DCE DAOCAOC606012答案答案:B:B5.5.（20102010潍坊中考）如图，潍坊中考）如图，ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OCABOCAB于于D D点，且点，且ABAB6cm6cm，ODOD4c
14、m4cm，则，则DCDC的长为（的长为（）A A5cm B5cm B2 25cm C5cm C2cm D2cm D1cm1cm答案答案:D:D 6.6.（20102010襄樊中考）已知襄樊中考）已知O O的半径为的半径为13cm13cm，弦，弦ABCDABCD，AB=24cmAB=24cm，CD=10cmCD=10cm，则，则ABAB、CDCD之间的距离为（之间的距离为（）A A17cm B17cm B7 cm7 cmC C12 cm D12 cm D17 cm17 cm或或7 cm7 cm?M?O?B?O?B?A?D?C?A?D?C?N?N?M图图(1)(1)图图(2)(2)答案：答案：D D1.1.判断：判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）(4)(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）对对错错错错对对 善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两种品德。斯蒂文生
