1、第第5 5章章 频域分析法频域分析法频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性图示频率特性图示方方法法频频域域稳定性稳定性判据判据控制系统的控制系统的稳定裕稳定裕量量闭环频率特性闭环频率特性5-1 5-1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念1.什么叫频率特性什么叫频率特性tArsin幅值和相位的变化与频率及系统本身的特性有关幅值和相位的变化与频率及系统本身的特性有关)sin(tBcAB频率特性：频率特性：系统（或环节）对正系统（或环节）对正弦输入信弦输入信号的稳态响应。号的稳态响应。2.介绍几个名词：介绍几个名词：幅值比：幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅值同频率下输出信号与输入信号的
2、幅值之比。之比。B/A相位差：相位差：同频率下输出信号的相位与输入信号同频率下输出信号的相位与输入信号的相位之差。的相位之差。幅频特性：幅频特性：幅值比与频率之间的关系。幅值比与频率之间的关系。相频特性：相频特性：相位差与频率之间的关系。相位差与频率之间的关系。幅相特性：幅相特性：将幅频和相频画到一起。将幅频和相频画到一起。矢量端点的轨迹矢量端点的轨迹。系统系统r(t)c(t)线性定常系统线性定常系统其传递函数其传递函数)()()(sGsRsC假定输入信号假定输入信号tAtrsin)(其其拉氏变换拉氏变换)()(22jsjsAsAsR一般传递函数一般传递函数G(s)可写成下列形式可写成下列形式
3、:)()()()()(2121nmsssssszszszsksG3.频率特性和传递函数的关系频率特性和传递函数的关系输出输出c(t)的拉氏变换为的拉氏变换为)()()()()()(11jsjsAssssssksCnmzz展成部分分式：展成部分分式：nnssbssbjsajsasC11)(系统对正弦输入信号r(t)的响应为 tsntstjtjnebebeaaetc11)(tjtjsseaaetc)(如果系统是稳定的，其稳态输出为：jAeejGjAeejGtctjjtjjss2)(2)()(若若G(j)是一个复数，可写成是一个复数，可写成)()(jGjGABjjGjejGejGjG)()()()(
4、jeejGAtjtj2)()sin()sin()(tBtjGA其微分方程是 rccuudtduT例例 RCRC网络如下：网络如下：式中T=RC11)()(TssUsUrc网络的传函tAursin如 2211)(11)(sATssUTssUrc)sin(11)(22/22arctgTtTAeTATtuTtc随着t趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是)sin(1lim22arctgTtTAuct)11sin(11TjtTjA0 1/T 2/T 3/T0 1/T 2/T 3/TTj11）（T11j1.极坐标图极坐标图(Polar plotPolar plot)通过通过G(j)的模的模|G(j)|与相位与
5、相位G(j)在极坐标在极坐标中表示的图形中表示的图形。也称奈魁斯特图也称奈魁斯特图(Nyquist plot)2.2.对数坐标图对数坐标图(Logarithmic plotLogarithmic plot)通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形的图形。也也称伯德图称伯德图(Bode plot)3.3.对数幅相图对数幅相图（Log-magnitude-phase diagramLog-magnitude-phase diagram）将将Bode图中的幅频特性与相频特性绘制成一图中的幅频特性与相频特性绘制成一张图形。张图形。也称也称或尼柯尔斯图或尼柯
6、尔斯图(Nichols chart)一、频率特性的极坐标图（一）典型环节（一）典型环节1、比例环节、比例环节 G(s)=K2、惯性环节、惯性环节TsKsG1)(幅频特性：幅频特性：2)(1)(TKjG相频特性相频特性：Ttg1)(5-2 5-2 频率特性图示法频率特性图示法3、积分环节、积分环节TssG1)(幅频特性幅频特性：TjG1)(相频特性相频特性：2)(4、一阶微分环节、一阶微分环节 G(s)=1+Ts 频率特性：频率特性：TjjG1)(01|)(0jjGjjG1|)(5、延滞环节、延滞环节频率特性：频率特性：tjejG)(幅频特性：幅频特性：1)(jG相频特性：相频特性：（度）弧度）
7、3.57()(sesG)(6、振荡环节、振荡环节2222)(nnnsssG0)(1)(,0jGjG频率特性频率特性：nnnjjG2)()(222221222222224)(nnnnntg)(0)(,jGjG（二）不稳定环节（二）不稳定环节)arctan180(11)(221TTKTjKjGTTKTjKjGarctan11)(2221)(1TsKsG1.TsKsG1)(22.（三）系统的开环频率特性（三）系统的开环频率特性 通常是通常是若干典型环节频率特性的乘积若干典型环节频率特性的乘积 niinjGjGjGjGjG121)()()()()(极坐标形式：极坐标形式：nijijniiejGejGj
8、G11)()()(求系统的开环幅相特性：求系统的开环幅相特性：首先计算首先计算=0和和=时开环频率特性的幅值时开环频率特性的幅值及相角及相角,然后分析或计算中间过程，绘制极坐标图然后分析或计算中间过程，绘制极坐标图。例例1 系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。试绘制其极坐标图。)12.0)(12)(110(20sssImRe020ImRe0当当 时时0)0()0(HG幅值：幅值：相角：相角：90例例2 系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=,试绘制极坐标图。试绘制极坐标图。)1(TssKKTTtgTKjGH12901)()(频特：当当 时时0
9、)()(HG幅值：幅值：相角：相角：18090900)1(1)()(02222TKjTKTjHjG 时的渐近线：KTTKTjHjG22001lim)()(RelimTtgTKTjjKjHjG12901)()1()()(频特：例例3 系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。试绘制其极坐标图。)1(2TssKImRe0当当 时时0)0()0(HG幅值：幅值：相角：相角：180TtgTKTjjKjHjG12221801()1()()()(）频特：当当 时时0)()(HG幅值：幅值：相角：相角：2703900TtgTKjHjG1221801()()(）频特：例例4：思考
10、题：思考题：)1)(1()1)(1()1(21221sTsTsKsTsTsKTssK的幅相图。画出)1)(1)(1(1)(3212sTsTsTssGImRe先绘制惯性环节先绘制惯性环节G1(j)的极坐标图的极坐标图 在每一个频率上幅值保持不变,相角再增加,即得该系统的奈氏图 1)()(TsKesHsGs例例5 系统开环传函系统开环传函 ,试绘制其极坐标图。试绘制其极坐标图。幅值和相角分别为幅值和相角分别为:TarctgTKjG1)()(2幅相图幅相图小结：小结：nmsTssKsGvnjjvmii,)1()1()(11一般情况一般情况vnjjvmiiTjjjKjG11)1()()1()(频率特性
11、(1)0(1)0型系统：无积分环节的系统，型系统：无积分环节的系统，v=0=00|)(0KjG90)(0|)(mnjG(2)1(2)1型系统：有型系统：有1 1个积分环节，个积分环节，v=1=190|)(0jG90)(0|)(mnjG(3)2(3)2型系统：有型系统：有2 2个积分环节，个积分环节，v=2=2180|)(0jG90)(0|)(mnjG注意注意：若开环传递函数中含有在右半平面的极点或零点，幅相曲线的起点和终点不具有以上规律！(4)0(4)0时的渐近线时的渐近线)(Im)(Re)(jGjGjG)(Imlim)(Relim010jGVjG平行于虚轴的渐近线平行于虚轴的渐近线200)(
12、Imlim)(RelimVjGjG平行于实轴的渐近线平行于实轴的渐近线(5)(5)极坐标曲线与实、虚轴的交点极坐标曲线与实、虚轴的交点)(Im)(Re)(jGjGjG求与实轴的交点，令虚部为求与实轴的交点，令虚部为0 0。得实轴坐标值得实轴坐标值 )(RejGy0)(ImjG令y求与虚轴的交点，令实部为求与虚轴的交点，令实部为0 0。得虚轴上坐标值得虚轴上坐标值0)(RejG令x)(ImxjG二、对数坐标图二、对数坐标图(一一)对数坐标对数坐标0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 o90o0o45o45o90)(一个单位（十倍频程）一
13、个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 40200-20-40dB )(lg20G纵轴纵轴:20lg|G(j)|横轴横轴:,对数分度对数分度；单位：弧度秒。单位：弧度秒。G(s)=K)(0)(LdB40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.0190 9020lgK对数幅频特性对数幅频特性L()=20lgK相频特性相频特性 ()=0（二）基本环节的（二）基本环节的BODEBODE图图1、比例环节、比例环节K1时时20lgKK=1时时20lgKK
14、P P,N N 为正值，包围方向为顺时针为正值，包围方向为顺时针;若若 11）。）。解解:开环频特开环频特 系统的奈氏曲线如图：因为P=1，N=-1，计算Z=P+N=0，所以该闭环系统稳定。1)(TsKsG)arctan180(11)(22TTKTjKjG开环传函中有开环传函中有s=0s=0的极点的极点)1(2TssKGH例：)22(jrres0lim小半圆222)1()()(jjjjerKTrereKreGHP=0，N=2Z=P+N=2，系统不稳定。系统不稳定。当开环传函有个s=0的极点时，起终点为=0、0的半径无穷小半圆，映射到GH平面的频特是从=0起，以无穷大半径顺时针绕原点转过180后
15、终止于=0点。mI 000R01veR)(aGH 时的奈氏曲线1v 0 010R0GH2veR)(bmI 时的奈氏曲线2v映射的一般规律：jres 例5-10 系统的开环传递函数为)1()1()()(2TsssKsHsG试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。TTT、解解:开环频率特性)1()1()()(2jTjKjHjG2222211)()(TKjHjGarctgarctgTjHjG180)()(幅频特性和相频特性：arctgarctgT(a)当 时：T00mIeRGHT10(a)180)()(jHjG因为P=0,N=0，所以Z=0，系统闭环稳定。10mIeRT)(bGH00(b)当 时：T01
16、80)()(jHjGarctgarctgT系统临界稳定)(c 0 010GHmIeRT(c)当 时：TarctgarctgT180)()(jHjG因为P=0,N=2，所以Z=P+N=2，该系统闭环是不稳定的。三、三、奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用奈魁斯特判据在对数坐标图上的应用 正穿越：记为正穿越：记为N+=1。负穿越：记为负穿越：记为N-=1。PNZ2NNN在极坐标图与对数坐标图中的对应关系：在极坐标图与对数坐标图中的对应关系：|G(j)H(j)|=1 0dB 1 0dB 线线 ；负实轴负实轴 =(2(2k k+1)+1)线，（其中线，（其中k k=0=0，1 1，2 2，）。）。对数坐标
17、图上奈魁斯特稳定判据：对数坐标图上奈魁斯特稳定判据：闭环控制系统稳定的充分必要条件是在对数幅闭环控制系统稳定的充分必要条件是在对数幅频特性频特性L()0dB)0dB的频段内，相频特性曲线对的频段内，相频特性曲线对(2(2k k+1)+1)线的负穿越与正穿越次数之差满足线的负穿越与正穿越次数之差满足 0)(2PNNZ例例5-11 5-11 系统开环传函系统开环传函)1()()(2ssKsHsG试用试用奈氏判据奈氏判据判断闭环系统的稳定性。判断闭环系统的稳定性。N+=0，N-=1，Z=2(N-N+)+P=2 5-4 5-4 控制系统的稳定裕度控制系统的稳定裕度1、稳定裕度稳定裕度系统开环传递函数系
18、统开环传递函数G(s)H(s)=)1)(1(21sTsTsK其频率特性为其频率特性为:)1)(1()()(21TjTjjKjHjGImRe123KKK3K2K1K2 2、稳定裕度在幅相图上的表示法、稳定裕度在幅相图上的表示法幅值裕度幅值裕度R：相位为相位为-180时频率特性幅值的倒数时频率特性幅值的倒数。180)()()()(1ggggjHjGjHjGR相穿频率g相位裕度相位裕度：频率特性幅值为频率特性幅值为1时时的相位与的相位与-180的差值的差值。)()(1801)()(ccccjHjGjHjG幅穿频率c3、稳定裕度在对数坐标图上的表示法、稳定裕度在对数坐标图上的表示法180)j(H)j(
19、G)j(H)j(Glg20)j(H)j(G1lg20)dB(Rgggggg幅值裕度幅值裕度R(dB):相位裕度相位裕度：)()(1801)()(ccccjHjGjHjG稳定裕度在极坐标图和对数坐标图上的表示：稳定裕度在极坐标图和对数坐标图上的表示：)5)(1(sssKR(s)C(s)例：系统如图。当例：系统如图。当K K=10=10和和K K=100=100时，试求系统的相位时，试求系统的相位裕度和幅值裕度。裕度和幅值裕度。o270o180o900)()()(lg20dBHG 10203040o0 c go21dB80.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20o270o180o90
20、0)()()(lg20dBHG 10203040o00.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20o25dB122、K100由图得系统的相位裕度由图得系统的相位裕度和幅值裕度分别为和幅值裕度分别为 =25 R=12dB1、K10由图得系统的相位裕度由图得系统的相位裕度和幅值裕度分别为和幅值裕度分别为 =21 R=8dB20lg2=6dB20lg20=26dB4、稳定裕度与系统过渡过程之间的关系、稳定裕度与系统过渡过程之间的关系)2(2nnss其频率特性为其频率特性为:)2()(2nnjjjG单位反馈二阶系统开环传函单位反馈二阶系统开环传函幅频幅频22)2(121)(nnjG相频相频n
21、tg2901求解求解1)2(121)(22ncnccjGncnctgtg2902901801101)(4)(224ncnc24214ncnccntgtg2211结论：结论：与与一一对应；一一对应；R。由由bode图求传函图求传函条件：系统为最小相位系统条件：系统为最小相位系统求：求：开环传函；开环传函；幅值裕度和相位裕度幅值裕度和相位裕度判定系统稳定性判定系统稳定性例：最小相位系例：最小相位系统开环幅频特性统开环幅频特性如图示。如图示。(1)设传函)15)(1()(1sssKsG求1：，40lg5lg64615.01求K：20lglg461KK=100，)12.0)(12(100)15)(15
22、.0(100)(sssssssG11)2.0(1)2(10022ccc3.6c47)(180cjG（2 2）求幅值裕度和相位裕度）求幅值裕度和相位裕度1802.0290)(11gggtgtg由58.1g得4.17)(gjGR=-20lg17.4=-25dB系统不稳定系统不稳定（一）闭环频率特性与开环频率特性关系（一）闭环频率特性与开环频率特性关系 )(1)()()(jGjGjRjCImReOAP-1,j01当当 1时时,开环幅相特性开环幅相特性 jeOAOAjG)(1jePAPAjG)(11闭环频率特性闭环频率特性)(111)(1)()(jePAOAjGjGjM5-5 5-5 闭环频率特性闭环
23、频率特性（二）（二）闭环频率特性及绘制方法及绘制方法)()()(jVUjG设1.幅值M平方：0)1(2)1(222222VMMUMUM圆心和半径分别为 10;12020MMRVMMU)1()1()()(1)()()(1)()(112222UVtgUVtgVUVUjVUjVUjGjGj闭环频特闭环频特2222)1(VUVUM配方后得：2222222)1()1(MMVMMU43122112021ReIm0.80.6M0.4M1.21.61.43.01.32.0M5.0M=1时，时，U=-0.5,V任意任意M1时，为圆的方程时，为圆的方程具有确定具有确定M值的值的圆，称为等圆，称为等M圆圆2.相频相
24、频等等N圆圆相角为UVarctgUVarctg1211UVarctgUVarctg设tgN 令UVUVUVUVtgtgtgtgtgtgN1111)(212121则配方整理得 222)21(41)21()21(NNVU200)21(4121;21NRNVU圆心和半径分别为)1()1()(112222UVtgUVtgVUVUj闭环频特闭环频特整理后得 22VUUVN312211201ReIm 2030406080100120 2030406080100 120 因为（因为（0 0，0 0）和（）和（-1-1，0 0）两点）两点总满足上述方程，总满足上述方程，所以，等所以，等N N圆总通过（圆总通过
25、（0 0，0 0）和）和（-1-1，0 0）两点。）两点。（三）（三）等等M圆和等圆和等N圆的作用圆的作用等等M圆可以求闭环幅频特性圆可以求闭环幅频特性43122112021ReIm0.80.6M0.4M1.21.61.43.01.32.0M5.0等等N圆可以求闭环相频特性圆可以求闭环相频特性312211201ReIm 20304060801001202030 406080100120ReM=1.143122112021Im0.8M=0.6M1.2M=1.4M=1.1M=2.034)(jG12345由等由等M M圆画闭环系统幅频特性曲线举例：圆画闭环系统幅频特性曲线举例：312211201Re
26、Im 2060 2040)(jG12345由等由等N N圆画闭环系统相频特性曲线举例：圆画闭环系统相频特性曲线举例：201.510.5|1|GGM12345GGa1090180270将闭环系统幅频和相频曲线画到一起将闭环系统幅频和相频曲线画到一起（四）（四）尼柯尔斯图尼柯尔斯图 将等M圆和等N圆转换到对数坐标图上。由两组曲线组成：对应于闭环频率特性的幅值20lgM为定值时的轨迹;对应于闭环频率特性的相角为定值的轨迹。尼柯尔斯图的横坐标是开环频率特性的相角,纵坐标是开环对数频率特性的幅值20lgG(j)。5-6 5-6 频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系（一
27、）二阶系统的频域性能指标（一）二阶系统的频域性能指标 与阻尼比的关系与阻尼比的关系 二阶系统闭环传递函数的标准形式是二阶系统闭环传递函数的标准形式是 式中式中 阻尼比阻尼比;n无阻尼自然频率。无阻尼自然频率。2222)()(nnnsssRsC二阶系统的闭环频率特性二阶系统的闭环频率特性 nnjjRjC2)1(1)()(22)()(jeM1.谐振频率谐振频率 r 当当0 0.707时时,若若M()在某一频率在某一频率 处有处有极大值。极大值。r221nr2.谐振峰值谐振峰值Mr 2121rM二阶系统超调量的计算公式是二阶系统超调量的计算公式是%100%21e22221()12nnM1020d)(
28、dM当时，令 截止频率截止频率 b 是闭环频率特性的幅值降为是闭环频率特性的幅值降为0.707时的频率值，又称为时的频率值，又称为带宽频率带宽频率。带宽带宽频率间接反映系统响应的快慢频率间接反映系统响应的快慢3.带宽频率带宽频率 b21211)(2222nbnbbjG由由42244221nb得得相角裕度相角裕度 ：开环频率特性幅值为开环频率特性幅值为1时的相时的相角与角与180之和之和。二阶系统的相角裕度为二阶系统的相角裕度为 24cnc2412arctg2arctg)(当当 0.7的范围内的范围内,它们的关系可以近似地它们的关系可以近似地表示为表示为 =0.01 4.相角裕度相角裕度 0 0
29、.4 0.8 1.2 1.6 2.0o30o60o90 与与 的关系曲线的关系曲线 0M/dB典型闭环幅频特性（二）高阶系统的频域性能指标及近似处理（二）高阶系统的频域性能指标及近似处理 (3)截止频率或带宽频率b当闭环幅频特性的幅值M()降到零频率幅值的0.707(或零频率幅值以下3dB)时,对应的频率。(2)谐振频率r谐振峰值出现时的频率称为谐振频率,它在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。r0dBrMb-3dB（1）谐振峰值Mr：闭环幅频特性M()的最大值。通常希望系统的谐振峰值在1.1至1.4之间,相当于0.4 0.7。(4)剪切率 在剪切频率c附近开环对数幅频特性的斜率称为剪切率。0至b的频率范围称为系统的带宽。
