1、二元函数的极限二元函数的极限累次极限累次极限上一页上一页主页主页下一页下一页定义定义 1 设设 f 为定义在为定义在 D R2 上的二元函数，上的二元函数，P0 为为 D 的一个聚点，的一个聚点，A 是一个实数是一个实数.若若使得当使得当 时，都有时，都有,0,0|)(|APf则称则称 f 在在 D 上当上当 P P0 时，以时，以 A 为极限，为极限，记为记为DPUP );(00 APfDPPP )(lim0简记为简记为APfPP)(lim0也记为也记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00一一 二元函数的二元函数的极限极限上一页上一页主页主页下一页下一页设设 f(x,y)为为 D R
2、2 上的二元函数，上的二元函数，P0(x0,y0)为为 D 的一个聚点，的一个聚点，A 是一个实数是一个实数.若若使得当使得当时，都有时，都有,0,0|),(|Ayxf则称则称 f 在在 D 上当上当(x,y)(x0,y0)时，以时，以 A 为极为极限，限，记为记为Dyxyxyxyyxx ),(),(),(,|,|0000 也记为也记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00AyxfDyxyxyx ),(lim),(),(),(00极限的方邻域定义：极限的方邻域定义：上一页上一页主页主页下一页下一页设设 f(x,y)为为 D R2 上的二元函数，上的二元函数，P0(x0,y0)为为 D 的
3、一个聚点，的一个聚点，A 是一个实数是一个实数.若若使得当使得当时，都有时，都有,0,0|),(|Ayxf则称则称 f 在在 D 上当上当(x,y)(x0,y0)时，以时，以 A 为极为极限，限，记为记为Dyxyyxx ),(,)()(02020 也记为也记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00AyxfDyxyxyx ),(lim),(),(),(00极限的圆邻域定义：极限的圆邻域定义：上一页上一页主页主页下一页下一页注：从形式上看，二元函数极限的定义与一元注：从形式上看，二元函数极限的定义与一元函数极限的定义类似函数极限的定义类似.但二元函数极限远比一元但二元函数极限远比一元函数极限
4、要复杂得多，这主要体现在，平面上函数极限要复杂得多，这主要体现在，平面上 P P0 的方式，要比直线上的方式，要比直线上 x x0 的方式要复的方式要复杂得多杂得多.但不管以什么方式但不管以什么方式 P P0,f 都要都要以以 A 为极限为极限.上一页上一页主页主页下一页下一页例例 1 用用定义定义证明证明7)(lim22)1,2(),(yxyxyx|7x|22 yxy因为因为内讨论，内讨论，的方邻域的方邻域1|1-|1,|2-|),(1 yxyx|1)-(y2-xy4)-(x|22 证证|1)1)(y-(y1)-2(y2)y-(x2)2)(x-(x|3)1)(-(2)2)(-(|yyyxx|
5、3|1-|2|2-|yyyxx因为因为 ，不妨限制在点，不妨限制在点(2,1)的的 )12(),(，yx54|1|41|3|yyy75|1|2|2|yxyx于是有于是有上一页上一页主页主页下一页下一页|1|6|2|7|7|22 yxyxyx|)1-|2-7(|yx 所以所以，取，取14,1min0 时，时，当当(2,1),(,|1-|,|2-|yxyx 27|)1-|2-7(|22yxyxyx就有就有7)(lim22)1,2(),(yxyxyx所所以以上一页上一页主页主页下一页下一页例例 2 设设 )0,0(),(0)0,0(),(,),(2222yxyxyxyxxyyxf证明证明0),(li
6、m)0,0(),(yxfyx，都都有有等等价价于于对对任任何何这这时时0)0,0(),(ryx 证证，sin,cosryrx 作极坐标变换作极坐标变换|0-),(|2222yxyxxyyxf 由由于于22r 41|sin4|r41 上一页上一页主页主页下一页下一页，取，取 20 时，时，当当 220yxr都有都有取什么值取什么值不管不管,0),(lim)0,0(),(yxfyx即即,41 41|0),(|22 ryxf上一页上一页主页主页下一页下一页另解另解：|2|0-),(|222222xyyxxyyxyxxyyxf 2|22yx 因为因为，取，取所以所以 0时，时，当当)0,0(),(,|
7、,|yxyx 0),(lim)0,0(),(yxfyx即即,222|0),(|2222 yxyxf上一页上一页主页主页下一页下一页 oxy1z=x2+y2+1y=kx在平面上的在平面上的(0,0)点处点处)1(lim2200 yxyx.)00()(,x,y以以任任何何方方式式例如：例如：)00()(,x,ykxy 沿沿z(和的极限等于极限的和和的极限等于极限的和)二元函数重极限的演示二元函数重极限的演示都有都有 z 1有有 z 1有有故：在故：在xoy平面上平面上点点.1 上一页上一页主页主页下一页下一页定理定理 16.5 的充要条件是：的充要条件是：对对 D 的任一子集的任一子集 E，只要，
8、只要 P0 是是 E 的聚点，的聚点，就有就有APfDPPP )(lim0APfEPPP )(lim0上一页上一页主页主页下一页下一页.)(lim)(lim)(lim,2020102121021不存在不存在，则，则但但，若存在极限若存在极限是它们的聚点，是它们的聚点，设设推论推论PfAAAPfAPfPDEEDPEPEPPPPPPP .)(lim)(lim 1010101也不存在也不存在则则不存在不存在若若的聚点，的聚点，是是，设设推论推论Pf，PfEPDEDPEPPPPP 上一页上一页主页主页下一页下一页.)(,lim)(lim 3000都收敛都收敛它所对应的函数列它所对应的函数列的点列的点列
9、且且，的任一满足条件的任一满足条件对于对于的充要条件是：的充要条件是：极限极限推论推论nnnnnDPPPPfPPPPPDAPf 上一页上一页主页主页下一页下一页.)0,0(),(),(322时是否存在极限时是否存在极限当当讨论讨论例例 yxyxxyyxf,)0,0(),(时时定点定点而趋于而趋于沿着直线沿着直线当动点当动点解解mxyyx 21),(),(mmmxxfyxf 20)0,0(),(1),(lim),(limmmmxxfyxfxmxyyx 因而有因而有.,在在因因此此所所讨讨论论的的极极限限不不存存应应的的极极限限值值也也不不同同的的直直线线趋趋于于原原点点时时对对这这说说明明动动点
10、点沿沿不不同同斜斜率率m上一页上一页主页主页下一页下一页0 f0 f1 f1 fxy例例 4 二元函数二元函数 其余部分其余部分0,01),(2xxyyxf当当(x,y)沿直线趋于原沿直线趋于原点时，相应的点时，相应的 f(x,y)都趋于零都趋于零.当当(x,y)沿抛物线沿抛物线 y=k x2 (0 k 1)趋于原点时，相应的趋于原点时，相应的 f(x,y)却趋于却趋于 1.不存在不存在故故),(lim)0,0(),(yxfyx上一页上一页主页主页下一页下一页 )(lim)(lim,)();(),(,00),(2000),(),(0000002PfPfPPDfMPfDPUyxPMDyxPRDf
11、PPyxyx或或记作记作存在非正常极限存在非正常极限时，时，上当上当在在则称则称都有都有时，时，使得当使得当，若若的一个聚点，的一个聚点，为为函数，函数，上的二元上的二元为定义在为定义在设设定义定义 上一页上一页主页主页下一页下一页 ),(lim,321),(5)0,0(),(22yxfyxyxfyx证明证明设设例例Mxx )y(413y212222因为由因为由证明证明,41y22Mx 于是有于是有,M21,0 取取M,41)y(413y2122222Mxx 就有就有时时当当 22y0 x),(lim,)0,0(),(yxfyx所以所以,21y22Mx 上一页上一页主页主页下一页下一页二二 累
12、次极限累次极限.,),(lim00),(),(00重重极极限限这这种种极极限限也也称称为为同同时时以以任任何何方方式式趋趋于于两两个个自自变变量量中中在在极极限限，yxyx，yxfyxyx.,00这这种种极极限限称称为为累累次次极极限限的的极极限限时时与与趋趋于于依依一一定定的的先先后后顺顺序序相相继继与与下下面面考考察察fyxyx上一页上一页主页主页下一页下一页,300的聚点的聚点是是的聚点的聚点是是设设定义定义yxyxEyExREE,上有定义上有定义在集合在集合二元函数二元函数yxEEDf ),(lim,00yxfyyEyxExxxy 存在极限存在极限若对每一个若对每一个),(lim)(0
13、yxfyxExxx 记作记作).,(limlim),(limlim,),(lim00000yxfLyxfLyxfyLxxyyExxxEyyyEyyyxyy 或简记作或简记作并记作并记作的累次极限的累次极限后对后对先对先对二元函数二元函数则称此极限为则称此极限为若存在极限若存在极限 上一页上一页主页主页下一页下一页).,(lim(lim),(limlim 0000yxfyxfKxyyyxxyyxx 的的累累次次极极限限后后对对类类似似地地可可以以定定义义先先对对上一页上一页主页主页下一页下一页.,)0,0(),(,),(622下面考察累次极限下面考察累次极限的重极限不存在的重极限不存在时时当当设
14、设例例fyxyxxyyxf 00limlimlim),(limlim0220000 yxyxyyxxyyxf00limlimlim),(limlim0220000 xyxyxyxxyyxf上一页上一页主页主页下一页下一页1limlimlim:202200 yyyyxyxyxyxy两两个个累累次次极极限限分分别别为为解解.,),(722极极限限点点的的两两个个累累次次极极限限与与重重讨讨论论它它关关于于原原设设例例yxyxyxyxf 1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx两个累次极限都存在，下面考察其重极限：两个累次极限都存在，下面考察其重极限：上一页上一页主页主页下一页下一
15、页1)1(limlimlim020)0,0(),(220)0,0(),(xxxxyxyxyxxyyxyyx,)0,0(),(,0:时时轴轴当当沿沿 yxyx考察沿不同路径趋于原点：考察沿不同路径趋于原点：1)1(limlimlim020)0,0(),(220)0,0(),(yyyyyxyxyxyxyxxyx,)0,0(),(,0:时时轴轴当当沿沿 yxxy.lim22)0,0(),(不不存存在在所所以以yxyxyxyx 上一页上一页主页主页下一页下一页xyyxyxf1sin1sin),(8 设设例例所以所以 f 的重极限存在，且的重极限存在，且|1sin1sin|yxxyyx 因为因为0),(
16、lim)0,0(),(yxfyx f 的两个累次极限都不存在。的两个累次极限都不存在。上一页上一页主页主页下一页下一页).,(limlim),(lim,),(limlim),(lim 16.600000000),(),(),(),(yxfyxfyxfyxfyyxxyxyxyyxxyxyx 则则都都存存在在累累次次极极限限与与若若重重极极限限定定理理.),(limlim:,),(lim:0000),(),(AyxfAyxfyyxxyxyx 要证要证设设证明证明)(),(lim 0 xyxfyy 设设.)(lim:0Axxx 则只需证明则只需证明上一页上一页主页主页下一页下一页可可得得让让在在上上
17、述述不不等等式式中中时时于于是是当当,|0 00yyxx ，|),(|:,);(),(,0,000AyxfPUyxP有有时时使得当使得当则则,),(lim),(),(00Ayxfyxyx 由由.)(lim0Axxx 所以所以|)(|Ax上一页上一页主页主页下一页下一页.,),(lim ),(limlim),(limlim 1),(),(000000则则三三者者相相等等都都存存在在和和重重极极限限与与若若累累次次极极限限推推论论yxfyxfyxfyxyxxxyyyyxx.),(lim),(limlim),(limlim 2),(),(000000必必不不存存在在限限存存在在但但不不相相等等，则则
18、重重极极与与若若累累次次极极限限推推论论yxfyxfyxfyxyxxxyyyyxx作业：作业：P.99 1，2.上一页上一页主页主页下一页下一页设设 f 为定义在区间为定义在区间 I 上的函数，上的函数，x0 为为 I 上一点，上一点，A 是一个实数是一个实数.若若使得当使得当 即即 时，都有时，都有,0,0|)(|Axf则称则称 f 在当在当 x x0 时，以时，以 A 为极限，为极限，记为记为一元函数的极限一元函数的极限);(00 xUxAxfxx)(lim0|00 xx上一页上一页主页主页下一页下一页.)(,lim)(lim :000都收敛都收敛它所对应的函数列它所对应的函数列的点列的点列，且，且任一满足条件任一满足条件于于存在的充要条件是：对存在的充要条件是：对归结原则归结原则nnnnnxxxfxxxxxxf
