1、走进数学文化西南大学数学与统计学院 肖 红1、数学文化题解普通高中数学课程标准（实验）把数学探究、数学建模、数学文化作为整个高中数学课程的重要内容。但究竟什么是“数学文化”？课标并没有明确地给出一种说明。这提供了一个“仁者见仁，智者见智”的解读空间。1-1、对数学文化的两种理解之一，外延式理解：把数学看作是人类文化的重要组成部分。着重探讨数学与其他文化、与人类整个文明的关系。数学文化外延式理解的代表著作是：【美】M克莱因 著西方文化中的数学对数学文化的两种理解之二，内涵式理解：把数学本身看作一种文化。着重探讨数学发生、发展的规律，数学学科结构所反映的观念性的东西。数学文化内涵式理解的代表著作：
2、【美】R柯朗 H罗宾 著 什么是数学1-2、两种数学文化理解“殊途同归”都是针对人们对数学存在着形式片面的认识误区，提倡一种有机而全面的数学观。进而指出在数学教育中，应当改善数学教学，激发学生学习数学的兴趣，真诚地热爱数学，使他们感受到数学的魅力。由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到
3、数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。摘自：M克莱因西方文化中的数学导论 两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中。而且遗憾的是，数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。摘自：R柯朗 什么是数学第一版序言做为一名数学教育工作者，不仅要具有对数学文化的外延式理解，
4、更要具有对数学文化的内涵式理解。如果把前者称为“末”，则后者就是“本”，所谓“君子固本”。问题是如何去“固本”？如何真正走进数学文化？1-3、我们应当如何理解数学文化？一个历史典故的启示：孔 子 学 琴 孔子学鼓琴师襄子，十日不进。师襄子曰：“可以益矣。”孔子曰：“丘已习其曲矣，未得其数也。”有间，曰：“已习其数，可以益也。”孔子曰：“丘未得其志也。”有间，曰：“已习其志，可以益矣。”孔子曰：“丘未得其为人也。”有间，有所穆然深思焉，有所怡然高望而远志焉。曰：“丘得其为人，黯然而黑，几然而长，眼若望羊，如王四国，非文王其谁能为此也！”师襄子辟席再拜，曰：“师盖云文王操也。”摘自史记 孔子世家2
5、、走进数学文化的三条途径 数学精神 数学知识 数学思想(方法)数学文化2-1、数学知识与数学文化数学知识不等于数学文化，但是数学文化离不开数学知识，因为知识是文化的载体。如果我们能够发现数学知识的内在统一性，那么就容易体会数学文化的味道。美国哲学家、教育家杜威（Dewey）曾说过：如果知识是有价值的，应当把它们组织起来成为有条理的思想。有一种古老的说法：每件真正的艺术品必定有“变化中的统一”的标志。数学知识统一性的两种体现：发现数学知识的统一性，能使我们加深对数学知识的理解，更能让我们感受到数学的统一美。对数学知识的统一性也可做两种理解：之一，同一个数学对象有不同的表现；之二，在同一视角（或功
6、能变换）下，发现数学知识的连续性。2-1-1、同一个数学对象有不同的表现例：“认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。”（摘自普通高中数学课程标准（实验）第88页“不等式选讲”）2-1-2、同一视角（或功能变换）下的数学知识的连续性例：离心率（或射影变换）下的圆锥曲线。课标在“圆锥曲线与方程”的教学建议中指出，“教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。”（摘自普通高中数学课程标准（实验）第55页）ll01e1e 1e平面内到一个定点F的距离和到一条定直线（F不在上）的距离的比等于常数e的
7、点的轨迹。当 时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线。2-2、数学思想（方法）与数学文化数学思想（方法）也不等于数学文化，但是数学文化离不开数学思想（方法），因为思想是文化的生命。如果我们善于发现数学思想方法的普遍性，那么也能很好地品尝数学文化的滋味。有生命力的思想方法都是朴实自然的，也是具有广泛的普遍性，正所谓“道不远人”。数学思想方法的普遍性体现在数学的外部与内部2-2-1、人们解决不同领域问题的方法往往是相通的例：古希腊三大几何作图问题与曹冲称象。“三等分角问题、倍方问题和画圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类的思想
8、史上都具有重大意义。”（摘自普通高中数学课程标准（实验）第77页）2-2-2、相同的数学思想方法在数学内部往往会不期而遇 “数学家好比一个服装设计师，他实在完全忘记了穿他缝制的衣服的人物。当然，他的手艺，原是为了给这些人物作衣服的，不过那是好久以前的事了；到了现在，偶尔遇见某人的身材正合于此衣服，好像这衣服就是为这身材而制的，这样就有了无限的惊奇和喜悦！”（摘自：丹齐克 著数：科学的语言第192页）相同的数学思想方法在数学内部往往会不期而遇例：孙子定理与拉格朗日插值公式 “孙子定理由特解而后求通解的想法和建立拉格朗日（Lagrange）插值公式是一样的，因此列入建立插值公式一节有助于学生加强注
9、意有关内容联系的意识”（摘自普通高中数学课程标准（实验）第91页）孙子算经中的“物不知其数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？明朝的程大位在算法统宗中给出了解法口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得之。2-3、数学精神与数学文化数学精神同样也不等于数学文化，但数学文化更离不开数学精神，因为精神是文化的灵魂。如果我们体会到数学精神的创新意识，那么就会强烈地感受到数学文化的熏陶。“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。”（摘自：R柯朗 什么是数学第1页）数学的创新精神表现为演绎
10、推理与直观构作两种方式。2-3-1、演绎推理是数学创新不可或缺的方式 “对于数学学科来说，公理方法是剖析各种事实之间的相互联系以及展示这种结构的基本逻辑梗概的最自然的方法。有时候，形式结构之如此集中，比概念的直观意义更易于推广和应用。”（摘自：R柯朗 什么是数学第226页）例：从复数乘法的棣莫弗公式到被称为数学最美公式之一的欧拉公式 01ie2-3-2、直观构作是数学创新最为重要的方式 “对于数学学科来说，凡是重要的发现或者具有实质性内容的见解，很少是由单纯的公理程序得到的。在直觉指引下的构造性思想是数学动力的真正源泉。虽然公理化是理想的形式，但是，相信公理体系构成了数学的精髓，这是一个危险的
11、错误。数学家的构造性直觉，给数学带来一个非演绎且非理性的要素，可以拿它同音乐与艺术相比拟。”（摘自：R柯朗 什么是数学第226页）例：康托尔带给我们的对无限的认识。“我们传统上把无限看作无限制地增加或是与之密切关联的一个收敛序列的形式。与此相反，我把无限理解为具有某种完成了东西的确定形式，是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。这种无限的概念是和我所珍视的传统相违背的，和我自己的愿望更相违背，我是被迫接受这种观点的。可是多年的思考和尝试，我自信，没有什么持之有据的反对意见是我所无法对付的。”康托尔 （摘自：丹齐克 著数：科学的语言第176页）小 结 对于什么是“数学文化”，我们必须放弃形
12、而上学的追问方式，好像本身就存在一种“数学文化”的东西，我们似乎可以直接去把握它。取而代之的是，我们应当通过发现、理解与体会具有统一性的数学知识、普遍性的数学思想方法以及充满创新意识的数学精神，去感受数学文化的魅力。3、数学文化的学习与教学“数学的传授，如果不满足于填鸭式的灌输，而是更多地针对数学这门学科的特点，采取启发、诱导的方式，就可以使学生在学习知识的过程中，逐步地由不自觉到自觉地将这些方面的素质耳濡目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，变成他们的数学素养，终生受用不尽。”中国科学院 数学院士 李大潜 (引自中国大学数学教学2008年第10期“数学文化与数学教养”)3-1、数学文化的学习数
13、学文化的学习，在学习内容方面应消除一个误区。“某些传记性与历史性的名著以及富有启发性的普及读物，曾激起了潜在的一般兴趣。但是，借助轻松愉快的传授所得到的数学知识，决不会比通过最出色的新闻杂志对那些从未听过音乐的人进行音乐教育获得的更多。实际去接触活生生的数学内容是必不可少的。当然，应当避免走弯路或陷入技术性的细节。”（摘自：R柯朗 什么是数学第一版序言）数学文化的学习，在学习方法上要超越于知识的传授型的学习。“Learning is better than knowing”(“识”比“知”更重要)3-2、数学文化的教学数学教育工作者应当树立“数学育人”的意识。当今人力资源管理的新理念是：从“用
14、人做事”到“做事育人”。同样的，在数学教育中，我们不仅仅是使学生掌握数学，更重要的是用数学来育人。“化者，教化，培育，潜移默化也”。正如日本的数学家、数学教育家米山国藏对数学教育有如下的体会：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”数学教学的三种境界 第一种境界：能胜任向学生传授知识的教书匠境界；第二种境界：能做到给于学生思维启迪的智者境界；第三种境界：能潜移默化地对学生进行文化熏陶的大师境界。也许，我们终其一生都做不了大师。但是，“高山仰止，景行行止。虽不能至，然心乡往之”。谢 谢 大 家！
