1、第一与第二可数性公理第一与第二可数性公理 可分空间可分空间Lindelff空间空间5.1 第一与第二可数性公理第一与第二可数性公理可可 数数 基基可数邻域基可数邻域基 拓扑空间在某一点处拓扑空间在某一点处的一个邻域基是一个可数族，则的一个邻域基是一个可数族，则称它是可数邻域基称它是可数邻域基.拓扑空间的一个基拓扑空间的一个基,如果是一个可数族如果是一个可数族,则称这个基是则称这个基是一个可数基一个可数基.定义定义5.1.1 一个拓扑空间如一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为的空间，或简称为
2、A2空间空间 定义定义5.1.2 一个拓扑空间一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间或简称为A1空间空间不满足第一可数性公理的空间的例子 设设X是包含着不可数多个点是包含着不可数多个点的可数补空间的可数补空间,则则X在它的任何一在它的任何一点处都没有可数邻域基点处都没有可数邻域基 定理定理5.1.3 每一个满足第每一个满足第二可数性公理的空间都满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理反之不成立一可数性公理反之不成立.定理定理5.1.4 设设 X
3、和和Y是两个是两个拓扑空间，拓扑空间，是一个满的是一个满的连续开映射连续开映射.如果如果X满足第二可满足第二可数性公理数性公理(满足第一可数性公理满足第一可数性公理)，则则Y也满足第二可数性公理也满足第二可数性公理(满足满足第一可数性公理第一可数性公理):fXY继续可遗传性质可遗传性质 如果一个拓扑空间具有这个如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质都具有这个性质对开对开闭闭子空间可遗传性质子空间可遗传性质 例例:局部连通空间的任何局部连通空间的任何一个开集作为子空间都是一个一个开集作为子空间都是一个局部连通空间局部连通空间证明：设证明：设
4、X是一个局部连通空是一个局部连通空间，间，U是是X的一个开集，则对的一个开集，则对任意任意xU和和x在子空间在子空间U中的中的任意一个邻域任意一个邻域V，V也是也是x在在X中的一个邻域中的一个邻域,由于由于X是一个局部连通空间，是一个局部连通空间，从而从而 x有一个连通的邻域有一个连通的邻域W,使得使得 ,从而从而U是一个局部连通空间是一个局部连通空间.WV 定理定理5.1.5 满足第二可数性公满足第二可数性公理理(满足第一可数性公理满足第一可数性公理)的空间的空间的任何一个子空间是满足第二可的任何一个子空间是满足第二可数性公理数性公理(满足第一可数性公理满足第一可数性公理)的空间的空间 推论
5、推论5.1.7 n维欧氏空间维欧氏空间 Rn的每一个子空间都满足第的每一个子空间都满足第二可数性公理二可数性公理作业作业:2,65.2 可分空间可分空间 定义定义5.2.1 设设X是一个拓扑是一个拓扑空间，空间，如果如果 ，则称则称D是是X的一个稠密子集的一个稠密子集DXDX 定理定理5.2.1 设设X是一个拓是一个拓扑空间，扑空间，D是是X中的一个稠密中的一个稠密子集子集.又设又设 都是连都是连续映射续映射,如果如果 ,则则f=g.,:f g XR|DDfgf(x)g(x)x()(V1V2fgf-1(V1)g-1(V2)UX 定义定义5.2.2 设设X是一个拓是一个拓扑空间如果扑空间如果X中
6、有一个可数中有一个可数稠密子集，则称稠密子集，则称X是一个可分是一个可分空间空间 定理定理5.2.2 每一个满足第二每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间可数性公理的空间都是可分空间.继续 推论推论5.2.3 满足第二可满足第二可数性公理的空间的每一个子数性公理的空间的每一个子空间都是可分的空间都是可分的.定理定理5.3.2逆不成立逆不成立可分性出不具有可遗传性可分性出不具有可遗传性(见例见例5.2.1)继续 定理定理5.2.4 每一个可分的度每一个可分的度 量空间都满足第二可数性公理量空间都满足第二可数性公理.推论推论5.2.5 可分度量空间的可分度量空间的每一个子空间都是可分空间每一个
7、子空间都是可分空间.作业：作业：45.3 Lindelff 空间空间 定义定义5.3.1 设设A 是一个集族，是一个集族，B是一个集合如果是一个集合如果 ,则称集则称集族是集合族是集合B的一个覆盖，并且当的一个覆盖，并且当A是是可数族或有限族时，分别称集族是可数族或有限族时，分别称集族是集合集合B的的个可数覆盖或有限覆盖个可数覆盖或有限覆盖AABA 设集族设集族 A 是集合是集合B的一个的一个覆盖如果集族覆盖如果集族 A 的一个子族的一个子族A1也是集合也是集合B的覆盖，则称集族的覆盖，则称集族 A1 是覆盖是覆盖A (关于集合关于集合B)的一个的一个子覆盖子覆盖.设设X是一个拓扑空间如果由是
8、一个拓扑空间如果由X中开中开(闭闭)子集构成的集族子集构成的集族 A 是是X的子集的子集B的一个覆盖，则称集的一个覆盖，则称集族族 A 是集合是集合B的一个开的一个开(闭闭)覆覆盖盖 定义定义5.3.2 设设X是一个拓扑空是一个拓扑空间如果间如果 X 的每一个开覆盖都有的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个是一个Lindelff空间空间 定理定理5.3.1 任何一个满足第二任何一个满足第二可数性公理的空间都是可数性公理的空间都是 Lindelff空间空间继续 推论推论5.3.2 满足第二可数性满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是公理的空间的每一
9、个子空间都是Lindelff空间空间 特别，特别，n欧氏空间欧氏空间Rn的每的每一个子空间都是一个子空间都是Lindelff空间空间 定理定理5.3.1和推论和推论5.3.2的逆的逆命题不成立命题不成立.(见例见例5.3.1)定理定理5.3.3 每一个每一个Lindelff的度量空间都满足第二可数性公的度量空间都满足第二可数性公理理.继续 定理定理5.3.4 Lindelff空间的每一个闭子空间都空间的每一个闭子空间都是是Lindelff空间空间继续继续 注注 意意Lindelff空间不可以遗传空间不可以遗传(见例见例5.3.2）但对闭子空间可遗传但对闭子空间可遗传两个两个Lindelff空间的积空间不一空间的积空间不一定是定是Lindelff空间空间(见习题见习题4)作业作业:1
