1、吴 波2010年10月1日 1 1、仪表维修性的特征量、仪表维修性的特征量 2 2、有效性特征量、有效性特征量 3 3、仪表系统的有效性模型、仪表系统的有效性模型 第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量 可维修系统是指系统的组成单元可维修系统是指系统的组成单元(或零、部件或零、部件)发生故障后，经过修发生故障后，经过修理使系统恢复到正常工作状态。理使系统恢复到正常工作状态。仪表的维修性是指在规定的使用条件下，在规定的时间内，按照规仪表的维修性是指在规定的使用条件下，在规定的时间内，按照规定的程序和方法维修时，保持或恢复到规定功能的能力。定的程序和方法维修时，保持或恢复到规定功能的能
2、力。维修性与可靠性均是产品设计阶段人们赋予它的固有性能之一。维修性与可靠性均是产品设计阶段人们赋予它的固有性能之一。对于不可维修系统来说，我们总是希望系统具有较高的可靠性，或对于不可维修系统来说，我们总是希望系统具有较高的可靠性，或者说系统不易发生故障。对于可维修系统来说，不仅如此，而且还希者说系统不易发生故障。对于可维修系统来说，不仅如此，而且还希望产品本身一旦发生故障时，在规定的维修条件下，如何便于发现故望产品本身一旦发生故障时，在规定的维修条件下，如何便于发现故障、排除故障，这称为维修性设计问题。障、排除故障，这称为维修性设计问题。由于故障发生的原因、部位、程度不同，系统所处环境不同，以
3、及由于故障发生的原因、部位、程度不同，系统所处环境不同，以及维修工具及修理人员水平不同，因而修复时间是一个随机变量。因此，维修工具及修理人员水平不同，因而修复时间是一个随机变量。因此，研究可修复系统的可靠性，不仅包含系统的狭义可靠性，而且还应包研究可修复系统的可靠性，不仅包含系统的狭义可靠性，而且还应包括维修因素在内的广义可靠性。括维修因素在内的广义可靠性。本章主要讨论有关维修性的主要数量特征以及典型的维修系统。本章主要讨论有关维修性的主要数量特征以及典型的维修系统。产品的维修性不仅是一个定性的能力表示，而且可以定量的加以描述。产品的维修性不仅是一个定性的能力表示，而且可以定量的加以描述。这些
4、定量的指标称为维修性特征量，其中包括维修度这些定量的指标称为维修性特征量，其中包括维修度MM，修复率，修复率及平均及平均维修时间维修时间MTTRMTTR等。等。一、维修度一、维修度 维修度是可维修产品，在规定的使用条件下，在规定时间内，按规定的维修度是可维修产品，在规定的使用条件下，在规定时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复规定功能状态的概率。一般将维修程序和方法进行维修时，保持或恢复规定功能状态的概率。一般将维修度记为度记为MM，它是维修时间，它是维修时间的函数，故记为的函数，故记为M(M()，M(M()称为维修度函数。称为维修度函数。如果维修时间随机变量用如果维修时间随机变量用
5、T表示，则产品从发生故障后开始维修，到某表示，则产品从发生故障后开始维修，到某一时刻一时刻以内能完成修复的概率为以内能完成修复的概率为(1)(1)显然，显然，0M(0M()1)1。若同一时刻的维修度。若同一时刻的维修度M(M()值越大，说明该产品修值越大，说明该产品修好的可能性越大。好的可能性越大。第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)当当维修度的观测值为：在维修度的观测值为：在=0时处于故障状态，需要维修的产品时处于故障状态，需要维修的产品数与经过时间数与经过时间修复的产品数之比，则维修度为：修复的产品数之比，则维修度为：(2)(2)式中式中 N N 开始维修时的产品数：
6、开始维修时的产品数：NrNr到时刻到时刻已修复的产品数。已修复的产品数。如果维修度函数如果维修度函数M(M()连续可导，则连续可导，则M(M()的导数为维修密度函数，的导数为维修密度函数，记为记为m(m()，即，即:(3)(3)若已知维修密度函数若已知维修密度函数m(m()，则，则(4)(4)第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)图图1 1所示为维修度函数所示为维修度函数M(M()曲线。曲线。若维修的产品数为若维修的产品数为NN，经，经t时间间隔内产品由故障状态到完好状态时间间隔内产品由故障状态到完好状态的修复数为的修复数为 N Nr r()，则可得维修密度的观测值为，则可
7、得维修密度的观测值为:(5)(5)第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)图图1 1 维修度维修度M()M()线图线图二、修复率二、修复率 修复率是指维修时间达到某一时刻修复率是指维修时间达到某一时刻尚未修复的产品，在该时刻尚未修复的产品，在该时刻后的单位时间内完成修复的概率，记为后的单位时间内完成修复的概率，记为。它也是维修时间。它也是维修时间的函的函数，故也记为数，故也记为()，()称为修复率函数，简称修复率，也称维修称为修复率函数，简称修复率，也称维修率。显然，修复率是在时刻率。显然，修复率是在时刻尚未修复的产品，在尚未修复的产品，在 +的单的单位时间内完成修复的条件概
8、率，即位时间内完成修复的条件概率，即(6)(6)平均修复率平均修复率()是在某一规定时间间隔是在某一规定时间间隔(1 1，2)内修复率的平内修复率的平均值，即均值，即(7)(7)第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)平均修复率的观测值，是指在维修的某观测期内，产品已修复数与平均修复率的观测值，是指在维修的某观测期内，产品已修复数与累积修复时间之比，即累积修复时间之比，即 (8)(8)式中式中,N,Nr r在规定的修复时间内完成修复的产品数；在规定的修复时间内完成修复的产品数；在规定的时间内累积修复时间。在规定的时间内累积修复时间。三、平均修复时间三、平均修复时间 产品修复时
9、间产品修复时间是一个随机变量，平均修复时间是维修时间是一个随机变量，平均修复时间是维修时间的数学的数学期望期望E(T)E(T)，一般记为，一般记为MTTR(Mean TirweMTTR(Mean Tirwe To Repair)To Repair)，简记为，简记为 。如果。如果已知维修密度函数已知维修密度函数m(m()，则，则(9)(9)第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)平均修复时间的观测值是修复时间总和与已修复产品数之比，即平均修复时间的观测值是修复时间总和与已修复产品数之比，即(10)(10)式中式中,累积修复时间；累积修复时间；NNr r在在 时间内已修复的产品数
10、。时间内已修复的产品数。四、四、修性特征量间的关系修性特征量间的关系 由式由式(3)(3)可知可知:令令 则则 故故 第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)将上述公式代入式将上述公式代入式(6)(6)得得(11)(11)上式两边积分并整理可得上式两边积分并整理可得(12)(12)若维修时间若维修时间T T服从指数分布时，其修复率为常数，即服从指数分布时，其修复率为常数，即(13)(13)把常数把常数代入到式代入到式(12)(12)中可得中可得(14)(14)对上式求导可得对上式求导可得(15)(15)把把(15)(15)代入式代入式(9)(9)可得可得(16)(16)第一节
11、第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)例例1 1 根据对某仪表装置的现场统计，有如下表记录根据对某仪表装置的现场统计，有如下表记录,若维修时间服从若维修时间服从指数分布，求平均维修时间，修复率及分别求，指数分布，求平均维修时间，修复率及分别求，=5(h)(h)，=10(h)10(h)的维的维修度。修度。解：根据公式解：根据公式(10)(10)，求得平均维修时间，求得平均维修时间 由式由式(16)(16)求得修复率求得修复率 由由(14)(14)求得维修度求得维修度 第一节第一节 仪表维修性的特征量仪表维修性的特征量(续续)有效度是对可修复系统综合考虑可靠度和维修度的广义可靠性指标
12、。有效度是对可修复系统综合考虑可靠度和维修度的广义可靠性指标。其定义为：对于可修复产品，在规定的条件下使用，在规定的维修条其定义为：对于可修复产品，在规定的条件下使用，在规定的维修条件下修复，在规定的时间具有或维持其规定功能的概率。因此，它表件下修复，在规定的时间具有或维持其规定功能的概率。因此，它表示了故障前时间段内的可靠度。但大多数仪表是允许在一定的维修时示了故障前时间段内的可靠度。但大多数仪表是允许在一定的维修时间内停机维修的。如果在这段时间内可以修好，就说这台仪表间内停机维修的。如果在这段时间内可以修好，就说这台仪表(系统系统)还是可用的。还是可用的。有效度的概念主要与系统的工作时间有
13、关。如有效度有效度的概念主要与系统的工作时间有关。如有效度A(480)=0.98A(480)=0.98，则表示某仪表系统在规定的则表示某仪表系统在规定的480h480h的工作时间内有的工作时间内有4804800.98 h0.98 h处于正处于正常工作，而其余时间处于故障状态。（常工作，而其余时间处于故障状态。（原教材中的表述不对！原教材中的表述不对！）对于某仪表系统，而可靠度对于某仪表系统，而可靠度R(480)R(480)0.980.98，则要求该台仪表应有，则要求该台仪表应有98%98%的可能性无故障地运行的可能性无故障地运行480h480h。这样对仪表正常运行的要求显然。这样对仪表正常运行
14、的要求显然要高得多。要高得多。因为有效度是工作时间因为有效度是工作时间t t与维修时间与维修时间的函数，记为的函数，记为A(t,A(t,)。显然，随。显然，随着工作时间着工作时间t t及维修时间及维修时间取值的改变，有效度是不同的。取值的改变，有效度是不同的。第二节第二节 有效度特征量有效度特征量 一、瞬时有效度一、瞬时有效度 瞬时有效度表示仪表设备瞬时有效度表示仪表设备(系统系统)在某时刻具有或维持其规定功能在某时刻具有或维持其规定功能的概率。的概率。可维修产品总是处于工作或维修交替发生的状态，在时刻可维修产品总是处于工作或维修交替发生的状态，在时刻t t产品产品究竟处于什么状态完全是随机的
15、，引入究竟处于什么状态完全是随机的，引入X(t)X(t)表示产品在表示产品在t t时刻的状时刻的状态，则定义如下：态，则定义如下：则时刻则时刻t t产品的瞬时有效度为产品的瞬时有效度为 而时刻而时刻t t产品的瞬时不可用度为产品的瞬时不可用度为 第二节第二节 有效度特征量有效度特征量(续续)二、平均有效度二、平均有效度 平均有效度是在某个规定时间间隔平均有效度是在某个规定时间间隔(t(t1 1，t t2 2)内有效度的平均值，记为内有效度的平均值，记为A Amm(t(t1 1，t t2 2):):(17)(17)三、稳态有效度三、稳态有效度 稳态有效度是当工作时间稳态有效度是当工作时间t t趋
16、于无限趋于无限(t(t)时，瞬时有效度的极限值，时，瞬时有效度的极限值，故也称极限有效度，记为故也称极限有效度，记为A(A()，简写为，简写为A A，即，即(18)(18)当工作时间当工作时间t t及维修时间及维修时间均服从指数分布时，可得稳态有效度为均服从指数分布时，可得稳态有效度为(19)(19)第二节第二节 有效度特征量有效度特征量(续续)式中式中,失效率；失效率；修复率。修复率。瞬时有效度、平均有效度及稳态有效度关系如图瞬时有效度、平均有效度及稳态有效度关系如图2 2所示。实际应所示。实际应用中经常用的是稳态有效度。用中经常用的是稳态有效度。第二节第二节 有效度特征量有效度特征量(续续
17、)图图2 A(t)2 A(t)，A Amm(t(t1 1，t t2 2)及及A()A()关系关系四、有效度的观测值四、有效度的观测值 有效度的观测值是在某个观察时期内，产品能工作时间与能工作时有效度的观测值是在某个观察时期内，产品能工作时间与能工作时间和不能工作时间之和的比，记为间和不能工作时间之和的比，记为A A A=U/(U+D)(20)A=U/(U+D)(20)式中式中,U-,U-能工作时间，产品处于能完成规定功能状态的时间，工作能工作时间，产品处于能完成规定功能状态的时间，工作时间及待机时间。时间及待机时间。D-D-不能工作时间，产品处于不能完成规定功能状不能工作时间，产品处于不能完成
18、规定功能状态的时间，包括停机维护及维修时间、延误时间及改装时间等。态的时间，包括停机维护及维修时间、延误时间及改装时间等。例例2 2 有两台仪表，第一台仪表的有两台仪表，第一台仪表的MTBFMTBF为为2000h2000h，第二台为，第二台为3000h3000h，且第一台仪表的且第一台仪表的MTTRMTTR为为15h15h，第二台的，第二台的MTTRMTTR为为40h40h，试求它们的稳，试求它们的稳定有效度。定有效度。解：根据公式解：根据公式(19)(19)虽然第一台仪表虽然第一台仪表MTBFMTBF较短，但有效度反而较高较短，但有效度反而较高 第二节第二节 有效度特征量有效度特征量(续续)
19、维修是提高仪表系统有效度的有效途径之一。而实施维修时，除维修是提高仪表系统有效度的有效途径之一。而实施维修时，除仪表系统本身之外，还需要维修工利用维修工具及维修设备，对仪仪表系统本身之外，还需要维修工利用维修工具及维修设备，对仪表系统的故障组件表系统的故障组件(或仪器仪表或仪器仪表)进行修理；修复后组件继续工作。由进行修理；修复后组件继续工作。由若干组件若干组件(或仪器仪表或仪器仪表)和一个或多个维修工和一个或多个维修工(包括维修工具和仪器设包括维修工具和仪器设备备)组成的系统称为可维修仪表系统。组成的系统称为可维修仪表系统。这里仅讨论组成系统的各组件这里仅讨论组成系统的各组件(或仪表或仪表)
20、的寿命分布和维修时间分布的寿命分布和维修时间分布及其它出现的有关分布均为指数分布的情形。这种可维修系统通常及其它出现的有关分布均为指数分布的情形。这种可维修系统通常可以用马尔可夫过程来描述。可以用马尔可夫过程来描述。即：系统的状态即：系统的状态“转换转换”为：工作状态由于故障而转到处于不工为：工作状态由于故障而转到处于不工作的状态（故障状态），或从不工作状态（故障状态）转到因修理作的状态（故障状态），或从不工作状态（故障状态）转到因修理而处于工作的状态。而处于工作的状态。马尔可夫过程的数学表示如下马尔可夫过程的数学表示如下：设设X(t)X(t)，toto是取值在是取值在E E00，l l，N)
21、N)离散状态空间的一个随机离散状态空间的一个随机过程。若对任意自然数过程。若对任意自然数n n及任意及任意n n个时刻点个时刻点0t0t1 1tt2 2toto，有限状态空间，有限状态空间E E00，1)1)的随的随机过程。由于指数分布的无记忆性，可以证明，机过程。由于指数分布的无记忆性，可以证明，X(t)X(t)，t0t0是一个齐是一个齐次马尔可夫过程。次马尔可夫过程。若已知若已知X(t)=0(X(t)=0(时刻时刻t t系统工作系统工作)或或X(t)X(t)1(1(时刻时刻t t系统故障系统故障)，由于部件，由于部件的寿命分布和修理时间分布是指数分布，因此，时刻的寿命分布和修理时间分布是指
22、数分布，因此，时刻t t以后系统发展的以后系统发展的概率规律完全由时刻概率规律完全由时刻t t系统是工作还是故障所决定，而与该部件在时刻系统是工作还是故障所决定，而与该部件在时刻t t已工作多长时间或已修理了多长时间无关。即时刻已工作多长时间或已修理了多长时间无关。即时刻t t以后系统发展的概以后系统发展的概率规律完全由率规律完全由X(t)X(t)0 0还是还是X(t)X(t)1 1所决定，而与时间所决定，而与时间t t以前的历史无关。以前的历史无关。而且还认为，在很短时间内，系统出现两次或多次状态变化的概率为而且还认为，在很短时间内，系统出现两次或多次状态变化的概率为零；在时刻零；在时刻(t
23、(t，t+t+t)t)发生故障的条件概率为发生故障的条件概率为dt，在时刻，在时刻(t(t，t+t+t)t)完成完成修理的条件概率为修理的条件概率为dt 。第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)对此马尔可夫过程，我们有（四种状态转移概率为）：对此马尔可夫过程，我们有（四种状态转移概率为）：第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)(26)(26)由由(26)(26)式可写出（写成矩阵的形式）式可写出（写成矩阵的形式）(27)(27)由式由式(27)(27)可绘出马尔可夫过程曲线图，一般被称为状态转移概率可绘出马尔可夫过程曲线图，一般被称为状态转移概率图，如图
24、图，如图3 3所示。所示。图图3 3表示表示t t时间内系统状态转移的可能性时间内系统状态转移的可能性(概率概率)。进而可写出状。进而可写出状态转移速率矩阵态转移速率矩阵(28)(28)图图3 3 状态转移概率图状态转移概率图 第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)解微分方程组，求解微分方程组，求Pj(t)PX(t)=j，j E。由全概率公式可知。由全概率公式可知 则上述系统则上述系统 对上式进行微分，得微分方程组对上式进行微分，得微分方程组(29)或写作或写作(30)(30)第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统
25、有效度模型(续续)若时刻若时刻t=0t=0，系统处于工作状态，即初始条件是，系统处于工作状态，即初始条件是P P0 0(0)(0)1 1，P P1 1(0)(0)：=0=0，或写作或写作 (P(P0 0(0)(0)，P P1 1(0)(0)(1(1，0)0)。对对(30)(30)式两边作拉氏变换，得线性方程组式两边作拉氏变换，得线性方程组(31)(31)利用初始条件，解出利用初始条件，解出(32)(32)反演上式，得到反演上式，得到(33)(33)由可用度由可用度A(t)定义可知，即系统在随机时刻定义可知，即系统在随机时刻t处于正常状态的概率，处于正常状态的概率，故故(34)若时刻若时刻t0系
26、统处于故障状态，即初始条件为系统处于故障状态，即初始条件为(P0(0)，Pl(0)(0，1)，则，则(35)此时，系统的可用度为此时，系统的可用度为(36)第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)当当t t时，可得系统的稳态可用度时，可得系统的稳态可用度A 由于由于1/MTBF，1/MTTR/MTTR，因此，因此(37)一般来说一般来说的值要比的值要比大得多，大得多，A可写成可写成 第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)二、二、n个部件串联的可维修系统的有效度模型个部件串联的可维修系统的有效度模型 假设：假设：1）由）由n个单元构成的串联系统，每个单元的失
27、效及维修个单元构成的串联系统，每个单元的失效及维修时间均服从指数分布。时间均服从指数分布。n个单元全部正常工作时系统处于正常状态，个单元全部正常工作时系统处于正常状态，当其中某一个单元出现故障，则系统处于故障状态，此时维修工当其中某一个单元出现故障，则系统处于故障状态，此时维修工立刻进行修复。立刻进行修复。2）修理期间，未发生故障的单元也处于停止工作。当故障单）修理期间，未发生故障的单元也处于停止工作。当故障单元修复后，元修复后，n个单元又进入工作状态，系统恢复正常工作。修复后个单元又进入工作状态，系统恢复正常工作。修复后的单元寿命仍然服从指数分布。的单元寿命仍然服从指数分布。3）当）当n个单
28、元失效相互独立，在个单元失效相互独立，在t到到t+t时间内，时间内，n个单元失效个单元失效率均为率均为，修复率均为，修复率均为时，该系统状态转移图如图时，该系统状态转移图如图4所示。所示。由图由图4可见，这样系统的状态及转移关系形式上与单部件仪表可见，这样系统的状态及转移关系形式上与单部件仪表设备情况一样，只是设备情况一样，只是n个单元均以个单元均以向故障状态转移，而一旦有某向故障状态转移，而一旦有某一单元失效，则以一单元失效，则以向工作状态转移，故可写出向工作状态转移，故可写出:第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)图图4 4 相同相同n n个单元串联状态转移图个单元串联
29、状态转移图(38)(38)第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)显然，其状态转移矩阵为显然，其状态转移矩阵为 利用全概率公式及利用全概率公式及 t t0求极限过程可推得求极限过程可推得(39)解此微分方程，得通解解此微分方程，得通解 第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)当初始条件当初始条件(t0)，P0(0)=0，Pl(0)1时，得特解时，得特解 系统有效度为系统有效度为(40)当初始条件当初始条件P0(0)1，P1(0)0时，得特解时，得特解 第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)系统有效度为系统有效度为(44)当当t时，系统的稳
30、态有效度时，系统的稳态有效度A()为为(45)第三节第三节 仪表系统有效度模型仪表系统有效度模型(续续)练练 习习 题题 1 1 各仪器至修复完毕的时间与件数的数据如下：各仪器至修复完毕的时间与件数的数据如下：维修时间维修时间(h)(h)：l 2 2 4 5 6l 2 2 4 5 6 修复件数修复件数(件件)：20 10 5 3 1 120 10 5 3 1 1 试求平均维修时间。试求平均维修时间。2 2 在一个月内，工厂某自控系统的工作时间、故障次数、维修时间统在一个月内，工厂某自控系统的工作时间、故障次数、维修时间统计值为：工作时间为计值为：工作时间为720h720h；故障数；故障数(维修
31、件数维修件数)为为1515；维修时间为；维修时间为6h6h。试由这些数据求该系统的有效度。试由这些数据求该系统的有效度。3 3 设某仪表的修复率设某仪表的修复率0.050.05，在，在150h150h内维修度为多少内维修度为多少?要达到要达到90%90%的维修度所需的维修时间为多少的维修度所需的维修时间为多少?4 4 某仪表其工作寿命及维修时间均服从指数分布，某仪表其工作寿命及维修时间均服从指数分布，0.001/h0.001/h，=0.2/h=0.2/h，试求，试求 (1)(1)在开始时，该产品处于正常状态，在开始时，该产品处于正常状态，t=l0ht=l0h的有效度；的有效度；(2)(2)在开
32、始时，该产品处于故障状态，在开始时，该产品处于故障状态，t=l0ht=l0h的有效度；的有效度；(3)(3)求稳态有效度求稳态有效度 练习题练习题 5 5 四个单元组成串联系统，每个单元相互独立，其寿命及修复时四个单元组成串联系统，每个单元相互独立，其寿命及修复时间均为指数分布，一个维修工，若间均为指数分布，一个维修工，若1 10.001/h0.001/h，2 20.0015/h0.0015/h，3 30.0001/h0.0001/h，4 40.00020.0002L L，1=0.2/h=0.2/h，2=0.15/h=0.15/h，3=0.L/h0.L/h，4=0.25/h=0.25/h，试求稳态有效度，试求稳态有效度，
