1、 专题 5 函数的对称性与周期性专题训练 1 、 设( )f x为 定 义 在R上 的 奇 函 数 ，(2)( )f xf x ， 当01x时 ，( )f xx， 则 ( 7 . 5 )f_ 【解析】由(2)( )f xf x 可得、 f x的周期4T ，考虑将(7.5)f用01x中的函数值进行 表示、(7.5)3.50.5fff，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调、 1 0.50.5 2 ff ，所以 1 (7.5) 2 f 【答案】 1 (7.5) 2 f 2、 定义域为R的函数 f x满足 22f xf x， 当0,2x时， 3 2 1 2 x f x ， 则 5 2
2、f （ ） A. 1 4 B. 1 8 C. 1 2 D. 1 4 【解析】由 1 222 2 f xf xf xf x，可类比函数的周期性，所以考虑将 5 2 x 向 0,2x进行转化、 33 22 51113111 22242424 fff 3、定义在R上的函数 f x对任意xR，都有 11 2,2 14 f x f xf f x ，则2016f等于 （ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 3 5 【 解 析 】 由 1 2 1 f x f x f x 及 所 求2010f可 联 想 到 周 期 性 ， 所 以 考 虑 1 1 121 4 112 1 1 f x f xf
3、x f xf x f xf x f x ， 所 以 f x是 周 期 为 4 的 周 期 函 数 ， 故 2 0 1 64ff，而由已知可得 123 4 125 f f f ，所以 3 2016 5 f 【答案】D 4、定义在R上的函数 f x满足 2 log1,0 12 ,0 xx f x f xf xx ，则2009f的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【 解 析 】 所 给 f x的 特 点 为0x 才 有 解 析 式 能 够 求 值 ， 而0x 只 能 通 过 12f xf xf x减少自变量的取值，由所求2009f可联想到判断 f x是否具有周期 性，0x 时， 1
4、2f xf xf x，则有123f xf xf x，两式相加可得、 3f xf x ，则 36f xf xf x ，即 f x在0x 时周期是 6，故 200952fff ，而 21001011fffffff 【答案】C 5、函数 f x是周期为4的偶函数，当0,2x时， 2 log11f xx，则不等式 0xf x 在 1,3上的解集为_ 【解析】从已知出发可知0,2x时， f x为增函数，且 2 1log 2 10f ，所以0,1x时， 0f x ，1,2x时， 0f x ，由偶函数可得、1,0x 时， 0f x ， 2, 1f x 时， 0f x 。 从而可作出草图。 由所解不等式 0x
5、f x 可将1,3分为1,00,3两部分， 当0x 时， 0f x ， 所以1,0x ， 当0x 时， 0f x ， 所以 1,3f x ， 综上解集为、1,01,3 【答案】1,01,3 6、已知 f x是定义在R上的函数，满足 0,11f xfxf xf x，当0,1x时， 2 f xxx ，则函数 f x的最小值为（ ） A. 1 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 1 2 【解析】由11f xf x可得 f x是周期为 2 的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值 即 可 。 由 0fxfx可 得 f x为 奇 函数 ， 所 以考 虑区 间1,1， 在0,1x时 ， 2 11 24
6、 f xx ，所以 max 11 24 f xf ，而由于 f x为奇函数，所以在1,0x 时， min 111 224 f xff ， 所以 1 2 f 即为 f x在1,1的最小值， 从而也是 f x在R 上的最小值 【答案】B 7、已知定义域为R的函数 f x满足4fxf x ，且函数 f x在区间2,上单调递增， 如果 12 2xx，且 12 4xx，则 12 f xf x的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0 【解析】 题目中给了单调区间， 与自变量不等关系， 所求为函数值的关系， 从而想到单调性， 而 12 4xx 可得 21 4xx，因为
7、 1 2x ，所以 1 42x，进而将 21 ,4xx装入了2,中，所以由 21 4xx 可得 21 4f xfx， 下一步需要转化 1 4fx， 由4fxf x可得 f x关于2,0中 心 对 称 ， 所 以 有 4fxfx 。 代 入 1 x 可 得 11 4fxf x ， 从 而 21120 fxfxfxfx 【答案】D 8、函数 f x的定义域为R，若1f x 与1f x 都是奇函数，则（ ） A. f x是偶函数 B. f x是奇函数 C. 2f xf x D. 3f x是奇函数 【解析】从已知条件入手可先看 f x的性质，由1 ,1f xf x为奇函数分别可得到、 11 ,11f
8、xfxf xfx ，所以 f x关于 1,0 ,1,0中心对称，双对称出周 期可求得2114T ，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合,A B。对于D选项， 因为4T ，所以511f xf xfx ，进而可推出 f x关于3,0中心对称，所以 3f x为 f x图像向左平移3个单位，即关于0,0对称，所以3f x为奇函数，D正确 【答案】D 9、 已知定义域为R的函数 yf x在0,7上有1和6两个零点， 且2yf x与7yf x 都 是偶函数，则 yf x在0,2013上的零点个数至少有（ ）个 A. 404 B. 804 C. 806 D. 402 【解析】2 ,7f xf x为偶函
9、数22 ,77f xfxf xfx f x关于 2,7xx轴对称 f x为周期函数，且27210T 将0,2013划分为0,1010,202000,20102010,2013 f x关于2,7xx轴对称 4,1 4fxfxfxfx 160ff 814860fff 34310fff 在0,10中只含有四个零点，而0,1010,202000,2010共201组 所以201 4804N ，在2010,2013中，含有零点 201110,201330ffff共 两个，所以一共有 806 个零点 【答案】C 10、设函数 yf x是定义在R上以 1 为周期的函数，若 2g xf xx在区间2,3上的值域
10、为 2,6，则函数 g x在12,12上的值域为（ ） A. 2,6 B. 20,34 C. 22,32 D. 24,28 【解析】设 0 2,3x ，则 0 2,6g x ，因为 f x为周期函数，故以 f x为突破口， 000000 2222g xnf xnxnf xxng xn， 考虑在12, 11中14n ， 所 以 000 1 421 42 82 6 , 3 4gxgxgx， 在11,12中9n ， 所 以 000 9291 82 0 ,1 2gxgxgx，所以 g x在12,12的值域为20,34 【答案】B 11、已知函数)(xf是 R 上的偶函数，且满足3)() 1(xfxf，
11、当1,0x 时，( )2f xx， 则)5 .2007(f的值为（ ） A0.5 B1.5 C1.5 D1 解析、由3)() 1(xfxf可得、( )(1)3f xf x，两式相减可得、11f xf x，所以 f x的周期 2T ，再由 f x是偶函数可得、2007.50.50.51.5fff 【答案】B 12、设函数 f x满足 sinf xf xx，当0,x时， 0f x ，则 23 6 f （ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 0 D. 1 2 【解析】由 sinf xf xx 可知 231717171 sin 66662 fff ， 171111111 sin 66662 fff
12、， 1155511 sin 666622 fff ，所 以可得、 231 62 f 【答案】A 13、设 f x是定义在R上的周期为 2 的函数，当1,1x 时， 2 42, 10 ,01 xx f x xx ，则 3 2 f _ 【解析】 2 311 421 222 ff 【答案】1 14、设函数 ,f xg x的定义域都为R，且 f x是奇函数， g x是偶函数，则下列结论中正确的是 （ ） A. f x g x是偶函数 B. fx g x是奇函数 C. fx g x是奇函数 D. fx g x是奇函数 【解析】 f x为奇函数，可知 f x为偶函数，所以根据奇偶性的规律可得、 f x g
13、 x为奇函数， fx g x是偶函数， fx g x是奇函数， fx g x是偶函数，故 C 正确 【答案】C 15、已知 11 ,2fxfxfxfx ，方程 0f x 在0,1内有且只有一个 1 2 ，则 f x在区间0,2014内根的个数为（ ） A. 1006 B. 1007 C. 2013 D. 2014 【解析】112f xf xT， ,2f xfx 可得 f x关于1x 轴对称， 因为 f x 在0,1内有且只有一个零点 1 2 ，所以由对称性可得 f x在0,2只有两个零点 1 3 , 2 2 。所以一个周期中 含有两个零点，区间0,2014共包含 1007 个周期，所以有 20
14、19 个零点 【答案】D 16、已知定义在R上的函数( )f x满足、()( ),(1)(1)fxf xfxfx ，当1,1x 时， 3 ( )f xx，则(2009)f_ 【解析】由()( )fxf x 可得、 f x关于0,0中心对称，由(1)(1)fxfx可得、 f x关 于1x 轴对称，所以可求出 f x的周期4T ，则 200911ff 【答案】1 17、已知定义在R上的函数 f x满足 ,22fxf xf xf x ，且1,0x 时， 1 2 5 x f x ，则 2 log 20f（ ） A. 1 B. 4 5 C. 1 D. 4 5 【 解 析 】 fxf x 可 知 f x为
15、 奇 函 数 ，22f xf x可 得4T ， 所 以 2 4 l o g5 2222 5541 l o g 2 04l o gl o gl o g21 4455 ffff 【答案】1 18、已知( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有(2)( )f xf x ，当0,2x时， 2 ( )2f xxx，求(0)(1)(2)(2012)ffff 【解析】由(2)( )f xf x 可得、 f x的周期4T ，由于 f x具备周期性，故求和时可考虑按 照周期将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果，在考虑求和的式子中含有多少组周期即可、 11,200,3111,400ffffffff 12340ffff 故 (0)(1)(2)(2012)0503 00fffff 【答案】0
