1、 专题 8 函数方程问题的分析 1、已知函数 f x对任意的,m nR均有 f mnf mf n，且当0x 时， 0f x （1）求证、 f x为奇函数 （2）求证、 f x为R上的增函数 【解析】 （1）令,mx nx ，则 0ff xfx 令0,0mn，则 000fff解得 00f f xfx f x为奇函数 （2）任取 12 ,x xR，且 12 xx，令 211 ,mxx nx，代入方程可得、 211211 fxxxf xxf x 2121 f xf xf xx 21 xx 21 0xx，依题意可得、 21 0f xx 21 0f xf x即 21 f xf x f x为增函数 2、已
2、知定义在R上的函数 f x，对于任意实数, a b都满足 f abf a f b，且 10f，当 0x 时， 1f x （1）求 0f的值 （2）求证、 f x在, 上是增函数 （3）求不等式、 2 1 24 f xx fx 的解集 【解析】 （1）令0ab，则有 2 00ff，解得 00f或 01f 令0,1ab可得、 1011010fffff 10f 01f （2）证明、 1212 ,x xR xx，则令 211 ,axx bx，代入函数方程有、 2211 f xf xxf x 21211 1f xf xf xxf x 21 0xx 21 0f xx，下证 1 0f x 由已知可得， 1
3、0x 时 1 10f x ，所以只需证明 1 ,0x 时， 1 0f x 令 11 ,0ax bx 111 1 1 0ff xfxf x fx 1 0x 1 0x 1 0fx 1 1 1 0f x fx 21211 10f xf xf xxf x ，即 12 f xf x f x在R上单调递增 （3） 0f x 22 1 241 24 f xxf xxfx fx 222 242434f xx fxf xxxf xx，且 01f 2 340f xxf 由（2）可得 f x单调递增 2 340xx解得4,1x 3、定义在1,1的函数满足关系 1 xy f xfyf xy ，当1,0x 时， 0f
4、x ，若 111 ,0 452 PffQfRf ，则,P Q R的大小关系为（ ） A. RPQ B. RQP C. PQR D. QPR 【解析】由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简P，由 1 xy f xfyf xy 可得、 1 xy f xfyf xy ，令 1 4 1 15 y xy xy 解得、 3 7 x ，即 3 7 Pf ，所给方程左边已经作差， 所以考虑 12 1 ,0, 2 x x ， 12 xx，则 12 12 1 2 1 xx f xf xf x x ，因为 12 1 0 2 xx，所以 1212 11 13 0,11 22 24 xxx x ，从而 12 1
5、2 10 1 xx x x ，即 12 12 1 2 0 1 xx f xf xf x x ，得到 f x在 1 0, 2 单调递增，所以QPR 答案、D 4、函数 f x的定义域为|0x x ，满足 f xyf xf y， f x在区间0,上单调递增， 若m满足 31 3 loglog21fmfmf ，则实数m的取值范围是（ ） A. 1,3 B. 1 0, 3 C. 1 0,1,3 3 D. 1 ,11,3 3 【解析】从所求中发现 31 3 log,logmm互为相反数，所以联想到判定 f x是否具有奇偶性。令1y ， 则有 1fxf xf，需求出1f 、令1xy ，则 121ff，再令
6、1xy， 则 1211010ffff， 所 以 fxfx， f x为 偶 函 数 。 所 以 313 3 l o gl o g2l o gfmfmfm ，所解不等式为 3 log1fmf，因为 f x为偶函数，且 区间0,上单调递增，所以自变量距离y轴越近，则函数值越小，所以 3 log1m ，即 3 1log1m ，解得 1 3 3 m，因为 3 log01mm，所以m的范围为 1 ,11,3 3 答案、D 5、设角的终边在第一象限，函数)(xf的定义域为1 , 0，且1) 1 (, 0)0(ff，当yx 时，有 sin1sin 2 xy ff xfy ，则使等式 11 44 f 成立的的集
7、合为 【 解 析 】 首 先 从 所 求 出 发 ， 由 11 44 f 确 定 代 入 的 特 殊 值 。 令 1 ,0 2 xy得 、 1111 sin1sin0sin 4224 ffff ， 则 下 一 步 需 要 确 定 1 2 f 的 值 ， 令 1,0xy，则有 1 1 sin1sin0sin 2 fff ，所以 2 1 sin 4 ，由角的终边在 第一象限可得、 1 sin 2 ，从而的集合为|2, 6 kkZ 答案、|2, 6 kkZ 6 、 定 义 在2 0 1 3 , 2 0 1 3上 的 函 数 f x满 足 、 对 于 任 意 的,2013,2013a b ， 有 20
8、12f abf af b，且0x 时，有 2012f x ，设 f x的最大值和最小值分别为 ,M N，则MN的值为（ ） A. 2011 B. 2012 C. 4022 D. 4024 【解析】 12 ,2013,2013x x ，且 12 xx，令 211 ,axx bx代入函数方程可得、 2121 2012f xf xf xx， 21 0xx 21 2012f xx 21 0f xf x f x在2013,2013单调递增 maxmin 2013 ,2013Mf xfNf xf 20132013201320132012MNfff 02012f 令0ab，可得、 020201202012f
9、ff 4024MN 答案、D 7、已知函数 f x满足、 1 1 2 f，对任意实数, x y都有 2f xyf xyf x f y，则 1232014ffff（ ） A. 1 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 【解析】由所求出发可考虑判断 f x是否具备周期性，令1y ，可得 1121f xf xf x f，即 11f xf xf x，所以 21f xf xf x，两式相加可得 21f xf x ， 则 可 判 定 f x的 周 期 为 6 ， 由 11f xf xf x可 得 、 1 201 2 fff， 即 1 26 2 ff， 由21f xf x 可得 1 41 2 ff ， 则
10、1 354 2 fff ， 从 而 1234560ffffff， 所 以 1232 0 1 33 3 5162 0 1 32 0 1 3ffffffff ，且 1 20144 2 ff 答案、B 8 、 已 知 f x是 定 义 在R上 的 函 数 ，0 4 f ， 且 对 任 意 的, x yR， 都 有 2 22 xyxy f xfyff ，那么 352015 4444 ffff _ 【 解 析 】 函 数 方 程 为 “ 和 积 ” 的 特 点 ， 抓 住0 4 f ， 可 发 现 令 2 yx ， 则 2 2 2 220 22244 xx x f xfxfffxf ，所以可得、自变量间
11、 隔 2 ,，其函数值的和为 0，所以将求和的式子两两一组，即、 35720132015 0 444444 Sffffff 答案、0 9 、 设 函 数 f x的 定 义 域 为R， 01f， 且 对, xyR， 都 有 12f xyf x f yf yx，则 f x的解析式为_ 【解析】观察到右边的结构并非 ,f xf y的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值 为 1，则1x 时， 111 2f yff yf y ，1y 时， 1112f xf x ffx ， 则求 1f是关键，结合 01f，可令0xy，则 2 1000212ffff，代 入到可得、 11 12 fyfy f x
12、f xx ， 即 11 12 f xf x f xf xx ， 消去1f x解得、 1f xx 答案、 1f xx。 10、已知函数( )f x是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数, a b满足(2)2f， ()( )( )f abaf bbf a， (2 )(2 ) ,(),() 2 nn nn n ff anNbnN n ，考察下列结论、 (0)(1)ff ( )f x为奇函数 数列 n a为等差数列 数列 n b为等比数列， 其中正确的个数 为( ) A1 B2 C3 D 4 【解析】考虑按照选项对函数方程中的, x y进行赋值。 计算 0 ,1ff，令0ab，可得 00f；令1
13、xy，则 12110fff，所以 (0)(1)ff，正确 使等式中出现 ,f xfx，令,1ax b ，则 1fxxff x，需要计算出1f ， 结合方程可令1,1xy ，则有 121ff，即10f ， 所以 fxf x ， f x为 奇函数，正确 从 等 差 数 列 定 义 出 发 ， 考 虑 递 推 公 式 1 1 1 22 22 nn nn nn ff aa ， 因 为 1 2222222 nnnn ffff ，所以可得、 11 1 11 222222 1 2222 nnnnn nn nnnn ffff aa ，从而判定 n a为等差数列，正确 若按照等比数列定义，考虑 1 1 2 12 n n n n f bn bnf ，则不易于进行化简。可由出发得到2nf的 表达式、 1 2 1 2 f a ，所以 1 1 n aandn，即22 nn fn，所以 2 2 n n n f b n ，从 而可判定 n b是一个等比数列，正确 答案、D
