1、 专题 7 分段函数的性质与应用 1、已知函数 2 211 ( ) 1 x x f x xax x ，若 04ffa ，则实数a_ 【解析】从里向外一层层求值， 0 0212f 0242fffa 所以4242aaa 【答案】2a 2、设函数 cos,0 11,0 x x f x f xx ，则 10 3 f 的值为_ 【解析】 由 f x解析式可知， 只有0x ， 才能得到具体的数值，0x 时只能依靠 11f xf x 向0x 正数进行靠拢。由此可得、 107412 1234 33333 fffff ，而 221 cos 332 f 109 32 f 【答案】 9 2 3、函数 34 ,2 2
2、 ,2 1 xx f x x x ，则不等式 1f x 的解集是( ) A. 5 ,1, 3 B. 5 ,1,3 3 C. 5 1, 3 D. 5 ,3 3 【解析】首先要把 1f x 转变为具体的不等式，由于 f x是分段函数，所以要对x的范围分类讨论 以代入不同的解析式、当2x 时， 1341f xx ，可解得、1x 或 5 3 x 。所以1x 或 5 2 3 x；当2x 时， 2 1121 1 f xx x 解得3x ，所以23x，综上所述、 5 ,1,3 3 x 【答案】B 4、已知函数 10 ( ) 10 xx f x xx ，则不等式1(1)1xxf x的解集是_ 【解析】要想解不
3、等式，首先要把1f x转变为具体的表达式，观察已知分段函数， 10 ( ) 10 xx f x xx ，x占据 f整个括号的位置，说明对于函数 f x而言，括号里的式子小于 0 时，代入上段解析式，当括号里的式子大于 0 时，代入下段解析式。故要对1x的符号进行分类讨论。 （ 1 ） 当101xx 时 ，111f xxx ， 不 等 式 变 为 、 2 111xx xxx （2）当101xx 时，11 1f xxx ，不等式变为、 2 112101212xx xxxx 1, 12x 【答案】1, 12x 5、已知函数 2 1 23,0 21,0 x xxx f x x ，则不等式 2 83f
4、xf xx的解集为_ 【解析】本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二、一是要顾及 2 8,3xxx 的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行 求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析 f x的图像性质，发现 f x的两段解析式均可作图，所以 考 虑 作 出 f x的 图 像 ， 从 而 发 现 f x是 增 函 数 ， 从 而 无 论 2 8,3xxx在 哪 个 范 围 ， 22 8383f xf xxxxx，从而解得、4x 或2x 【答案】, 42, 6、已知函数 2 2 2 ,0 2 ,0 xx x f x xx x .若
5、21faf af，则a的取值范围是 A1,0 B0,1 C1,1 D2,2 【解析】本题可以对a进行分类讨论，以将 21faf af变成具体不等式求解，但也可从 , a a的特点出发，考虑判断 f x的奇偶性，通过作图可发现 f x为偶函数，所以 faf a， 所解不等式变为 1f af，再由图像可得只需1a ，即11a 【答案】C 7、已知函数 22 ( )1 2, ( )2f xxg xxx ，若 ( ),( )( ) ( ) ( ),( )( ) g xf xg x F x f xf xg x ，则( )F x的值域是 _ 【解析】 F x是一个分段函数，其分段标准以 ,f xg x的大
6、小为界，所以第一步先确定好x的取 值 ， 解 不 等 式 、 22 1 22f xg xxxx ， 解 得 、 1 1 3 x， 故 2 2 1 2 ,1 3 1 12,1 3 xxx F x xxor x ，分别求出每段最值，再取并集即可 【答案】 7 , 9 8、已知函数 (2)1(1) ( ) log(1) a axx f x xx ，若( )f x在, 单调递增，则实数a的取值范围是 _ 【解析】若 f x在, 单调增，则在R上任取 12 xx，均有 12 f xf x，在任取中就包含 12 ,x x均在同一段取值的情况，所以可得要想在R上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，
7、 由此可得、 20 1 a a ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为 12 ,x x不在同一段取值， 若也满足 12 xx， 均有 12 f xf x， 通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小 值。代入1x ，有左段右端，即2 1log 103 a aa 综上所述可得、2,3a 【答案】2,3 9、已知 2 1.1,0 1,0,1 xx f x xx ，则下列选项错误的是（ ） A. 是1f x 的图像 B. 是fx的图像 C. 是fx的图像 D. 是 f x的图像 【解析】考虑先作出 f x的图像（如右图所示） ，再按照选项进行验证即可、 A. 1f x 为 f
8、x向右平移一个单位， 正确； B. fx为 f x关于y 轴对称的图像，正确；C. fx为 f x正半轴图像不变，负半轴作与 f x正半轴关于y轴对称的图像， 正确； D. f x的图像为 f x在x轴 上方的图像不变，下方图像沿x轴对称翻折。而 f x图像均在x轴上方，所 以 f x应与 f x图像相同。错误 【答案】D 10、函数 3 1,1 2sin,1 2 xx f x x x ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数 f x在1,上为增函数 B. 函数 f x的最小正周期为 4 C. 函数 f x是奇函数 D. 函数 f x无最小值 【解析】可观察到 f x的图像易于作出，所以考虑先作
9、图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示 可得、BC 选项错误，D 选项 f x存在最小值12f ，所以 D 错误，A 选项是正确的 【答案】A 11、已 知 函 数 , 1,1lg , 1, 3 2 xx x x a x xf若 31 ff， 则 a_ 【解析】 2 3lg311f ， 所以 11313faa 【答案】3 12、已知 )0( ,sin2 ),0( , )( 2 xx xx xf，若3)( 0 xff，则 0 x_. 【答案】 0 3 x 或 0 2 3 x 【解析】若 0 0,f x，则 00 3 2sin3sin 2 f xf x ，无解；若 0 0f x，则 2 00 3
10、3fxf x ，由解析式可得、 0 0 2sin3 30 x x x 或 0 2 3 x 13、函数 , 0, ,0,4 )( 2 xx xx xf,若 1)()(affaff，则实数a的取值范围为（ ） A0 , 1( B0 , 1 C4, 5( D4, 5 【解析】当 0,10f af a ，即5a时； ( )(4)8, ( ) 19f f afaa f f aa， 故 ( ) ( ) 1f f af f a，故 1)()(affaff不成立；当 0,14f af a ，即 54a 时； 2 ( )(4)8, ( ) 1(5)(5)f f afaa f f afaa ，又 2 8(5)aa
11、在 ( 5, 4上显然成立即故 ( ) ( ) 1f f af f a，故选 C 【答案】C 14、已知 2 21, 0 1 ,0 x x x f x x x ，则 1f x 的解集为_ 【解析】0x 时， 2 2 2 21 121010 x xxx x ， 可得0,11,+x， 当0x 时， 1 111xx x ，综上可得、0,11,+, 1x 【答案】0,11,+, 1 15、设函数 2,1 42,1 x a x f x xaxax 若1a ，则 f x的最小值为_ 若 f x恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_ 【解析】 1a 时， 21,1 412 ,1 x x f x xxx ，
12、当1x 时， 1,1f x ，当1x 时， 2 2 3 4128411 2 f xxxx ，综上所述可得、 min1f x 当1x 时 ， f x为 单 调 增 函 数 ， 且 ,2f xaa ， 当1x 时 ， 解 析 式 42f xxaxa可能的零点为,2xa xa，因为 f x恰有 2 个零点，所以1x 的区域中 至少有一个零点。 当 211 1 12 a a a 时， 可知 f x在1,1xx各有一个零点， 符合题意。 当1a 时， f x在1x 已有两个零点， 所以在1x 不能有零点， 故202aa， 综上所述、11 2 a 或2a 【答案】 1 1 1 2 a或2a 16、若函数
13、6,2 0,1 3log,2 a xx f xaa x x 的 值域是4,，则实数a的 取值范围 是 _ 【解析】 从常系数函数入手，2x 时， 可得、 4,f x ， 所以当2x 时， f x的值域应为4, 的子集，从而可知1a ，所以 3log 2, a f x ，则3log 22 a a，所以1,2a 【答案】1,2 17、设函数 2 1 1log2,1 2,1 x xx f x x ，则 2 2log 12ff（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【 解 析 】 由 分 段 函 数 可 得 、 2 21log 43f ， 因 为 22 log 122log 31， 所 以
14、22 log 12 1log 6 2 log 12226f ，则 2 2log 129ff 【答案】C 18、设函数 31,1 2 ,1 x xx f x x ，则满足 2 f a ff a的a的取值范围是（ ） A. 2 ,1 3 B. 0,1 C. 2 , 3 D. 1, 【解析】可将 f a视为一个整体、 tf a，则有 2tf t ，根据分段函数特点可推断出1t ，即 1f a ，所以有 1 21 a a 或 1 311 a a ，解得、 2 3 a 【答案】C 19、已知函数 sincossincosf xxxxx，则 f x的值域是（ ） A. 2,2 B. 2,2 C. 2, 2
15、 D. 2,2 【 解 析 】 2cos ,sincos sincossincos 2sin ,sincos xxx f xxxxx xxx ， 由 三 角 函 数 性 质 可 得 、 5 2cos ,2,2 44 3 2sin ,2,2 44 x xkk f x x xkk ，即可求得值域为2, 2 【答案】C 20、已知函数 3 2134, , axaxt f x xx xt ， 无论t为何值， 函数 f x在R上总是不单调， 则a的 取值范围是_ 【解析】由 3 f xxx得 2 31fxx， 0fx 解得 33 , 33 x ，所以 f x在 33 , 33 单调递增，在 33 , 3
16、3 单调递减。对于2134yaxa可 知为单调函数或水平线。当y单调递增时，无论a为何值，只要将t取到足够小，总能使 f x为增函 数。当y单调递减或是为水平线时，可知 f x恒不单调。所以 1 210 2 aa 【答案】 1 2 a 21 、 已 知 2 2 1, 01 1,10 xx f x xx ， 且01,01,0mnmn， 则 使 不 等 式 0f mf n成立的,m n还应满足的条件为（ ） A. mn B. mn C. 0mn D. 0mn 【解析】解析、观察可得题目条件,m n具备轮换对称的特点，所以可以给,m n定序，不妨设mn，又 由0mn可知,m n异号，从而0mn，所以、 222222 01101111f mf nmnmnmn 22 mnmn即0mnmn 【答案】D
