1、 专题 12 复合函数零点问题 1、设定义域为R的函数 1 ,1 1 1,1 x xf x x ，若关于x的方程 2 0fxbf xc由 3 个不同 的解 123 ,x x x，则 222 123 xxx_ 解析、先作出 f x的图像如图、观察可发现对于任意的 0 y，满足 0 yf x的x的个数分别为 2 个 （ 00 0,1yy）和 3 个（ 0 1y ） ，已知有 3 个解，从而可得 1f x 必为 2 0fxbf xc 的根， 而另一根为1或者是负数。 所以 1 i f x， 可解得、 123 0,1,2xxx， 所以 222 123 5xxx 答案、5 2、关于x的方程 2 22 1
2、3120xx的不相同实根的个数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 解析、可将 2 1x 视为一个整体，即 2 1t xx，则方程变为 2 320tt可解得、1t 或2t ，则只需作出 2 1t xx的图像，然后统计与1t 与2t 的 交点总数即可，共有 5 个 答案、C 3、已知函数 11 ( ) |f xxx xx ，关于x的方程 2( ) ( )0fxa f xb（, a bR）恰有 6 个不同实数解，则a的取值范围是 解析、所解方程 2( ) ( )0fxa f xb可视为 2 0f xa f xb，故考虑作出 f x的图 像、 2 ,1 2 ,01 2 , 10 2 ,
3、1 x x xx f x xx x x ， 则 f x的图像如图，由图像可知， 若有 6 个不同实数解，则必有 12 2,02fxfx，所以 12 2,4afxfx ，解得42a 答案、42a 4 、 已 知定 义在R上 的 奇函 数 ，当0x 时 ， 1 21, 02 1 2 ,2 2 x x f x f xx ， 则关于x的 方 程 2 610fxfx 的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析、 已知方程 2 610f xf x 可解， 得 12 11 , 23 fxfx ， 只需统计 11 , 23 yy 与 yf x的交点个数即可。由奇函数可先做出0x 的 图
4、像，2x 时， 1 2 2 f xf x，则2,4x的 图 像 只 需将0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图 像 完 成 后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形 结 合 可 得共有 7 个交点 答案、B 5 、 若 函 数 32 f xxaxbxc有 极 值 点 12 ,x x， 且 11 f xx， 则 关 于x的 方 程 2 320f xaf xb的不同实根的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 解析、 2 32fxxaxb由极值点可得、 12 ,x x为 2 320xaxb 的两根，观察到方程与 2 320f xaf xb结构完全相同，所以可得 2 320fxafxb的两根
5、为 1122 ,fxx fxx，其中 111 fxx，若 12 xx，可 判 断 出 1 x是 极 大 值 点 ， 2 x是 极 小 值 点 。 且 2211 fxxxfx，所以 1 yfx与 f x有两个交点， 而 2 fx与 f x有一个交点，共计 3 个；若 12 xx，可判断出 1 x是 极小值点， 2 x是极大值点。且 2211 fxxxf x，所以 1 yfx与 f x有两个交点，而 2 fx与 f x有一个交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案、A 6、已知函数 2 43f xxx，若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）
6、A. 2,0 B. 2, 1 C. 0,1 D. 0,2 解析、考虑通过图像变换作出 f x的图像（如图） ，因为 2 0f xbf xc 最多只能解出 2 个 f x，若要出七个 根 ， 则 12 1,0,1fxfx，所以 12 1,2bfxfx ，解得、 2, 1b 答案、B 7、已知函数 x x f x e ，若关于x的方程 2 10fxmf xm 恰有 4 个不相等的实数根，则实 数m的取值范围是（ ） A. 1 ,22,e e B. 1 ,1 e C. 1 1,1 e D. 1 ,e e 解析、 ,0 ,0 x x x x e f x x x e ，分析 f x的图像以便于作图，0x
7、时， 1 x fxx e， 从而 f x在0,1单调递增， 在1,单调 递 减 ， 1 1f e ， 且当,0xy ， 所以x正半轴为水平渐近线；当0x 时， 1 x fxxe，所以 f x在,0单调递减。由此作图， 从图 像 可 得 ， 若 恰 有4 个 不 等 实 根 ， 则 关 于 f x的 方 程 2 10fxmf xm 中 ， 12 11 0,fxfx ee ，从而将问题转化为根分布问题， 设 tf x，则 2 10tmtm 的两根 12 11 0,tt ee ，设 2 1gttmtm，则有 2 00 10 111 100 g m mmg eee ，解得 1 1,1m e 答案、C
8、8、 已知函数 2 1,0 log,0 axx f x x x ， 则下列关于函数 1yff x的零点个数判断正确的是 （ ） A. 当0a 时，有 4 个零点；当0a 时，有 1 个零点 B. 当0a 时，有 3 个零点；当0a 时，有 2 个零点 C. 无论a为何值，均有 2 个零点 D. 无论a为何值，均有 4 个零点 解析、所求函数的零点，即方程 1ff x 的解的个数，先作出 f x的图像，直线1yax为 过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当0a 时，图像如图所示，先拆外层可得 12 21 0, 2 fxfx a ， 而 1 fx有两个对应的x， 2 fx也有两个
9、对应的x， 共计 4 个； 当0a 时， f x的图像如图所示，先拆外层可得 1 2 fx ，且 1 2 fx 只有一个满足的x，所以共一个零 点。结合选项，可判断出 A 正确 答案、A 9、已知函数 2 32 2 1 1,0 231, 31,0 xx f xxxg x xx ，则方程 0gfxa （a为正实 数）的实数根最多有_个 解析、先通过分析 ,fxg x的性质以便于作图， 2 3632fxxxx x，从而 f x在 ,0 , 2,单 增 ， 在0,2单 减 ， 且 01,23ff ， g x为分段函数，作出每段图像即可，如图所 示，若要实数根最多，则要优先选取 f x能对应x较多的情
10、况，由 f x图像可得，当 3,1f x 时，每个 f x可对应3 个x。 只需 判断 gf xa 中， f x能在3,1取得的值的个数即可，观察 g x图 像 可 得 ， 当 5 1, 4 a 时 ， 可 以 有 2 个 3,1f x ，从而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案、6 个 10、已知函数 yf x和 yg x在2,2的图像如下，给出下列四个命题、 （1）方程 0fg x 有且只有 6 个根 （2）方程 0gf x 有且只有 3 个根 （3）方程 0ff x 有且只有 5 个根 （4）方程 0g g x 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C.
11、 3 D. 4 解析、每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数。 （1）中可得 123 2, 1 ,0,1,2gxgxgx ，进而 1 gx有 2 个对应的x ， 2 gx有 3 个， 3 gx有 2 个，总计 7 个， （1）错误； （2）中可得 12 2, 1 ,0,1fxfx ，进而 1 fx有 1 个对应的x， 2 fx有 3 个，总计 4 个， （2）错误； （3）中可得 123 2, 1 ,0,1,2fxfxfx ，进而 1 fx有 1 个对应的x ， 2 fx有 3 个， 3 fx有 1 个，总计 5 个， （3）正确； （4）中可得、 12 2, 1 ,0,1gxgx ，进而 1 gx有 2 个对应的x ， 2 gx有 2 个，共计 4 个， （4）正确 则综上所述，正确的命题共有 2 个 答案、B
