1、 专题 17 函数的极值专项训练 1、求函数( ) x f xxe的极值. 解、 1 xxx fxexex e 令 0fx 解得、1x f x的单调区间为、 x ,1 1 1,+ ( ) fx 0 f x 极大值 f x的极大值为 1 1f e ，无极小值 2、求函数1) 1()( 32 xxf的极值。 解、 2 2 312fxxx，令 0fx 解得、0x f x的单调区间为、 x ,0 0 0,+ ( ) fx 0 f x 极小值 f x的极小值为 00f，无极大值 3、求函数 2 2 3 4fxx在R上的极值 解、 23 3 44 = 32234 xx fx xxx 令 0fx 解得、2,
2、02,x f x的单调区间为、 x , 2 2,0 0,2 2,+ ( ) fx f x f x的极小值为 220ff，极大值为 33 0162 2f 4、已知函数bxaxxxf23)( 23 ，在点1x处有极小值1，试确定ba,的值，并求出)(xf的单 调区间。 解、 2 362fxxaxb 在点1x取得极小值 7 2 1 11 13 +21 3 36201 10 2 a f ab ab f b 2 321311fxxxxx ，令 0fx ，解得 1 3 x 或1x f x的单调区间为、 x 1 , 3 1 ,1 3 1,+ ( ) fx f x 5、若函数 322 f xxaxbxa在1x
3、 时有极值10，则ab_ 解、 2 32fxxaxb，依题意可得、 2 1110 1320 faba fab ，可解得、 4 11 a b 或 3 3 a b ，但是当 3 3 a b 时， 2 2 36331fxxxx 所以尽管 10f但1x 不是极 值点，所以舍去。经检验、 4 11 a b 符合，7ab 答案、7ab 6、 2 )()(cxxxf在1x处有极小值，则实数c为 . 解、 22 34fxxcxc,1x 为极小值点， 2 1340fcc ，解得、1c 或3c ， 考 虑 代 入 结 果 进 行 检 验 、1c 时 ， 2 341311fxxxxx ， 可 得 f x在 1 ,1
4、, 3 单调递增，在 1 ,1 3 单调递减。进而1x 为极小值点符合题意，而当3c 时， 2 3129313fxxxxx，可得 f x在,1 3,单调递增，在1,3单调递减。 进而1x 为极大值点，故不符合题意舍去 1c 答案、1c 7、 （1）已知函数 32 34f xxaxx有两个极值点，则a的取值范围是_ （2）已知函数 32 34f xxaxx存在极值点，则a的取值范围是_ （1）解、 2 323fxxax，若 f x有两个极值点，则方程 2 3230xax有两个不等实根， 从而只需0 ，即 2 43603aa 或3a 答案、3a 或3a （2）解、 f x存在极值点即 2 3230
5、fxxax有实数根，0 ，但是当0 即3a 时, 2 2 363310fxxxx，不存在极值点，所以方程依然要有两个不等实数根，a的范围 为3a 或3a 答案、3a 或3a 8、设函数xbxxfln) 1()( 2 ，其中b为常数若函数( )f x的有极值点，求b的取值范围及( )f x 的极值点； 解、 （1） 2 22 21 bxxb fxx xx ，令 0fx 即 2 220xxb f x有极值点 2 220xxb有正的实数根，设方程的根为 12 ,x x 有两个极值点，即 12 ,0x x , 12 12 480 1 10 2 0 2 b xxb b x x 有一个极值点，即 12=
6、00 2 b x xb 综上所述、 1 , 2 b （2）解、利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论 方程 2 220xxb的两根为、 248 112 2 b xb 当 1 0 2 b时， 12 11 2 ,11 2xb xb f x的单调区间为、 x 0,112b 112 ,112bb 112 ,b ( ) fx f x f x的极大值点为112xb ，极小值点为112xb 当0b时， 12 11 20,11 2xbxb f x的单调区间为、 x 0,112b 112 ,b ( ) fx f x f x的极小值点为112xb ，无极大值点 综上所述、 当 1 0 2 b时， f x
7、的极大值点为112xb ，极小值点为112xb 当0b时， f x的极小值点为112xb ，无极大值点 9、若函数 2 1 ln1 2 fxxx在其定义域内的一个子区间1,1kk内不是单调函数，则实数k的 取值范围_ 解、 1 2 2 fxx x ,令 1 0 2 fxx.函数 f x在1,1kk内不是单调函数，所以 1 1,1 2 kk，又因为1,1kk是定义域0,+ 的子区间，所以10k ，综上可得、 10 3 1 1 211 2 k k kk 答案、 3 1, 2 10、设aR，若函数 3 , ax f xex xR有大于零的极值点，则（ ） A. 1 3 a B. 1 3 a C. 3a D. 3a 解、 3 ax fxae， 13 030ln ax fxaex aa , 13 ln0 aa ， 由此可得、 3 00a a 1 0 a ，所解不等式化为、 3 ln0ln1 a 所以 3 013a a 答案、C
