1、 专题 20 一元不等式的证明专项训练 1、求证、ln1xx 证明、所证不等式等价于、ln10xx 令 ln1f xxx 则只需证明、 max0f x 11 1 x fx xx 令 0fx 解得、1x x 0,1 1, fx f x max 10f xf 10f xf 即所证不等式成立 2、设函数 1 x f xe ，证明、当1x时， 1 x f x x 证明、 1 1 1 x x ex 111 1 11 xx x exex 1x，所以所证不等式等价于 110 xx exex 设 1 x g xex 只需证 min0g x即可 1 x g xe 令 00g xx g x在,0单调递减，在0,单
2、调递增 min 00g xg 00g xg 故不等式得证 3、已知函数 1 ln1f xxxx ，证明、 10xf x 解、 11 ln1ln x fxxx xx 22 111x fx xxx fx在0,1单调递减，在1,单调递增 110fxf f x为增函数 10f 0,1x 时， 10f xf 10xf x 1,x时， 10f xf 10xf x 综上所述， 10xf x成立 4、已知 ln x f xeaxa，其中常数0a （1）当ae时，求函数 f x的极值 （2）求证、 221ln 0 xx eexx 解、 （1）当ae时， ln x f xeexe x e fxe x ， 10f
3、2 0 x e fxe x fx在0,单调递增 0,1x 时， 10fxf，1,x， 10fxf f x在0,1单调递减，在1,单调递增 f x的极小值为 10f，无极大值 （2）解、由（1）得ln0ln xx eexeeexe 所证不等式、 221ln 0 xx eexx 2 ln x x x eex e 设 2 2 x x x g xxe e 222 1 xxx g xexex e 令 0g x 可解得、1x g x在0,1单调递增，在1,单调递减 max 1g xge ln x eexeg x即 2 ln x x x eex e 221ln 0 xx eexx 5、已知 2 ln,2f
4、xxxax g xx （1）当1a时，求 f x在,30m mm的最值 （2）求证、0,x ， 12 ln1 x x eex 解、 （1） ln,ln2f xxxx fxx f x的单调区间为 x 2 1 0, e 2 1 , e g x g x 2 1 03mm e 2 1 0m e 22min 11 f xf ee max 33 ln33f xf mmmm 2 1 m e 时， minmax ln,3 ln33f xmmm f xmmm （2）解、所证不等式等价于 12 ln1 x x eex 2 ln x x xxx ee 设 lnp xxxx 1 ln1ln2p xxx 令 2 1 0
5、pxx e p x在 2 1 0, e 单调递减，在 2 1 , e 单调递增 22min 11 p xp xp ee 设 2 x q xxe e 1 x q xx e q x在0,1单调递增，在1,单调递减 max 1 1q xq xq e minmax p xq x minmax 0,xp xp xq xq x 所证不等式成立 6、设baRbabaxxxxf,(1) 1ln()(为常数） ，曲线)(xfy 与直线xy 2 3 在(0，0) 点相切. (1)求ba,的值. (2)证明、当20 x时， 6 9 )( x x xf. 解、 （1） f x过0,0点 0101fbb 11 121
6、fxa xx 13 010 22 faa 0 1 a b ln11 1f xxx （2）解、 所证不等式等价于、 9 ln11 1 6 x xx x 令 1,1, 3txt 则不等式转化为、 2 2 2 91 ln1 5 t tt t 22 52ln1910tttt （若不去分母，导函数比较复杂，不易分析） 令 222322 52ln1912ln10ln5599g tttttttttttt 232 2ln1010ln54tttttt 只需证 max0g t即可 观察 10g 22 1010 4 ln232054 ln3185g tttttttttt tt 10g 进而考虑 g x的单调性 （尽
7、管 ,g tg t复杂，但有零点在，就能够帮助继续分析，坚持往下 进行） 22 1010 44ln6184ln614gxtttt tt “ gt单调递增， “ 10 34ln36 3140 3 gtg g t单调递减 10g tg （1t 是 ,g xg x的零点，从而引发连锁反应） g t单调递减 10g tg 0g t即所证不等式成立 当20 x时， 6 9 )( x x xf 7、已知函数 ln 1,f xxg xkx （1）求证、当0x 时， f xx （2）求证、当1k 时，存在 0 0x ，使得对任意的 0 0,xx，恒有 f xg x 解、 （1）所证不等式为：ln 1xx，只需
8、将含x的项移植不等号一侧，构造函数即可证明 证明、所证不等式等价于、ln 10xx，设 ln1h xxx 1 10 11 x h x xx h x在0,单调递减 0,x 时， 00h xh 即ln 1xx得证 （2）证明、 0ln10f xg xxkx 设 ln1h xxkx 则 11 11 kxk h xk xx 且 00h 令 0h x ，即1kxk 当0k 时，解得 11 1 k x kk 1 10 k 1k x k 恒成立 h x在0,单调递增 00h xh 0 x可取任意正数 当0k 时， ln1h xx，当0x ， 0h x ，故 0 x可取任意正数 当01k时，解得 1k x k
9、 ，而10 k k h x在 1 0, k k 单调递增，在 1 , k k 单调递减 1 0, k x k ，均有 00h xh，只需取 0 1 0 k x k 即可 综上所述、存在 0 0x ，使得对任意的 0 0,xx，恒有 f xg x 8、已知函数 ln x xk fx e （k为常数，2.71828e，是自然对数的底数） ，曲线 yf x在 1,1f处的切线与x轴平行 （1）求k的值 （2）设 2 g xxx fx，其中 fx为 f x的导函数。 证明、对 2 0,1xg xe 解、 （1） 2 11 lnln xx xx exk exk xx fx ee 1,1f处的切线与x轴平
10、行 1010fk 1k : （2）所证不等式等价于、 22 1 ln1 1 x x x xxe e 2 1ln1 1 x e xxxe x 设 1lnp xxxx 1 ln1ln2p xxx 令 2 0ln20p xxxe p x在 2 0,e单调递增，在 2, e单调递减 22 1p xp ee ，即 2 1ln1xxxe 若要证 2 1ln1 1 x e xxxe x ，只需证11 1 x x e ex x 设 1 x q xex 1 x q xe，令 0q x 解得、0x q x在0,单调递增 00q xq 11 1 x x e ex x 2 1ln1 1 x e xxxe x ，即原不
11、等式得证 9、已知函数 lnf xaxx，函数 g x的导函数 x gxe，且 01gge，其中e为自然对 数的底数 （1）求 f x的极值； （2）当0a 时，对于0,x ，求证、 2f xg x 解、 （1）函数 f x的定义域为0,， 11ax fxa xx 当0a 时， 0fx ， f x在0,上为增函数， f x没有极值； 当0a 时，令 1 0fxx a f x在 1 0, a 单调增，在 1 , a 单调递减 f x有极大值 1 1lnfa a ，无极小值 （2）当0a 时， lnf xx，令 2xg xf x，即 ln2 x xex 1 x xe x ，则 x在0,上为增函数
12、1 20,110 2 ee 00 1 ,10 2 xx ， x在0,上为增函数 0 0,xx 时， 0x 0, xx时， 0x x在 0 0,x单调递减，在 0, x 单调递增 0 00 min ln2 x xxex 00 0 00 11 00 xx xee xx ， 000 0 1 lnlnxxx x 00 0 1 2xx x ，由 0 1 ,1 2 x 可知 00 00 11 22xx xx 0 0x 0 0xx即 2f xg x 10、设函数 2 cosf xaxx. （1）证明、 1 2 a 时，函数 f x在0,上单调递增； （2）证明、 2 4sin2 ln310xxxx . 解、 （1） 2sinfxaxx 只需证2sin0axx即可 令 2sing xaxx 00g 2cosg xax 1 21 2 aa 2cos0ax g x在0,单调递增 00g xg即 2sin0fxaxx 函数 f x在0,上单调递增 （2）解、所证不等式等价于 1 32ln4 sinxxxx x 设 1 32lnh xxx x 2 222 31121321 3 xxxx h x xxxx h x在0,1单调递减，在1,+单调递增 14h xh即 1 32ln4xx x 由（1）问可得、sin0xx 1 32ln4sinxxxx x 原不等式得证
