1、 专题 23 恒成立问题数形结合法专项训练 1、已知不等式 2 1logaxx在1,2x上恒成立，则实数a的取值范围是_ 解、本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出 2 1yx的图像，观察图像可得、若要使 不等式成立，则logayx的图像应在 2 1yx的上方，所以应为单增的对 数函数，即1a ，另一方面，观察图像可得、若要保证在1,2x时不等式成 立 ， 只 需 保 证 在2x 时 ， 2 1logaxx即 可 ， 代 入2x 可 得 、 1log 22 a a，综上可得、12a 答案、12a 2、若不等式logsin2 (0,1) ax x aa对于任意的0, 4 x 都成立，则实
2、数 a的取值范围是_ 解、本题选择数形结合，可先作出sin2yx在0, 4 x 的图像，a扮演的角色为对数的底数，决定 函数的增减，根据不等关系可得01a，观察图像进一步可得只需 4 x 时，logsin2 ax x，即 logsin21 444 a a ，所以,1 4 a 答案、,1 4 a 3、若不等式21xxc对任意xR恒成立，求c的取值范围 解、恒成立不等式变形为21xcx ，即2yxc的图像在1yx 图像的上方即可，先作出 1yx 的图像，对于2yxc，可看作yx经过平移得到，而平移 的距离与c的取值有关。通过观察图像，可得只需21c ，解得、 1 2 c 答案、 1 2 c 4、若
3、| 2p ,不等式 2 12xpxpx 恒成立,则x的取值范围是_ 解、本题中已知p的范围求x的范围，故构造函数时可看作关于p的函数，恒成立不等式变形为 2 210xpxx ,设 2 2122f xxpxxp ,即关于p的一次函数，由图 像可得、无论直线方向如何，若要 0f x ，只需在端点处函数值均大于 0 即可，即 20 20 f f ,解 得、 113 2 x 或 113 2 x 答案、 113 2 x 或 113 2 x 5、已知函数 2 1f xxmx，若对任意的,1xm m，都有 0f x 成立，则实数m的取值范围是_ 解、恒成立的不等式为 2 10xmx ，如果进行参变分离，虽可
4、解决问题，但是因为x所在区间含参， m的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨 论，较为麻烦。换一个角度观察到 f x是开口向上的抛物线， 若要 0f x ，只需端点处函数值小于零即可（无论对称轴是 否在区间内），所以只需 2 2 22 210 22 31230 0 2 m f mm f mmm m ， 解 得 2 ,0 2 m 答案、 2 ,0 2 6、已知函数 1f xxa x，设关于x的不等式 f xaf x的解集为A，若 1 1 , 2 2 A ， 则实数a的取值范围是_ 解、首先理解条件 1 1 , 2 2 A ，即 1 1 , 2 2 x 时，不等式 f xaf x恒成
5、立，可判断出函 数 f x为奇函数， 故先作出0x 的图像，即 2 yaxx， 参数a的 符号决定开口方向与对称轴。 故分类讨论、 当0a 时， 2 yaxx单 调递增，且f xa为 f x向左平移a个单位，观察图像可得不存 m+1 m 在满足条件的a，当0a 时， 2 yaxx开口向下，且f xa为 f x向右平移a个单位，观察 可得只需 11 , 22 xx ， f xaf x， 即可保证 1 1 , 2 2 x ，f xa的图像始终在 f x的 下方。 1 2 1 2 faf x faf x 解得、 15 0 2 a ；当0a 时，代入验证不符题意。 答案、 15 0 2 a 7、已知函
6、数 2 1 2ln 2 fxaxaxx .当x1,+时，不等式 0f x 恒成立，则实数a的 取值范围是_ 解、所证不等式可转化为 2 1 2ln 2 axaxx ，作出lnyx 的图像，当 1 2 a 时a的取值决定 2 1 2 2 yaxax 的 开 口 ， 观 察 可 得 1 0 2 a ， 且1x 时 ， 2 1 2l n 2 axa xx 即可， 1 0 11 2 122 20 2 a a aa 当 1 2 a 时，不等式为ln0xx，可证明其成立 答案、 1 1 , 2 2 a 8、设aR，若0x时均有 2 1110axxax ，则a_ 解、本题如果考虑常规解，让两个因式同号去解a
7、的值（或范围） ，则不可避免较复 杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数、 11f xax， 2 1g xxax，则在图像上要求这两个函数同时在x轴 的上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点0, 1，且 g x为开口向上的抛 物线。 所以 f x的斜率必大于 0， 即1a ， 通过观察图像可得、 f x与 g x与x轴的交点必须重合。 1 0 1 f xx a ，所以 2 111 010 111 ga aaa ，解得、0a （舍）或 3 2 a 答案、 3 2 a 9、 已知 2 2 43,0 23,0 xxx f x xxx ， 不等式2f xafax在,1a a
8、上恒成立， 则实数a的 取值范围是( ) A. , 2 B. ,0 C. 0,2 D. 2,0 解、本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是xa与2ax很难确定 其范围，从而f xa与2fax无法化成解析式。但由于所给不等式可视 为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出 f x图像，看 是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然 f x是分段函数，但是图像连 续且单调递减。所以 f x是R上的减函数。那么无论xa与2ax位于哪个区间，由 2f xafax及 单 调 性 均 可 得 到 、 只 需22xaaxax， 所 以 max 221axa，解得2a 答案、A 10、已知函数
9、 f x是定义在R上的奇函数，当0x 时， 222 1 23 2 f xxaxaa ，若 ,1xR f xf x ， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 _ 解、 f x是奇函数且在0x 时是分段函数（以 22 ,2aa为 界） ，且形式比较复杂，恒成立的不等式 1f xf x较 难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值 法。 从数形结合的角度来看， 一方面 f x的图像比较容易作 出，另一方面1f x 可看作是 f x的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。所以考 虑利用图像寻找a满足的条件。先将 f x写为分段函数形式、 22 222 2 3,2 ,2 ,0 xaxa f xa axa xxa ，作出正半 轴图像后再根据奇函数特点， 关于原点对称作出x负半轴图像。 1f xf x恒成立， 意味着 f x 的图像向右平移一个单位后， 其图像恒在 f x的下方。 通过观察可得在平移一个单位至少要平移 2 6a个 长度，所以可得、 2 66 61 66 aa 答案、 66 , 66
