1、 专题 25 定积分专项训练 1、已知函数 2 2 1, 10 1,01 xx f x xx ，则 1 1 f x dx （ ） A. 38 12 B. 34 12 C. 4 4 D. 34 12 解 、 f x在1,0 , 0,1的 解 析 式 不 同 ， 所 以 求 定 积 分 时 要 “ 依 不 同 而 分 段 ”、 101 2 2 110 11f x dxxdxx dx ， 而 0 22 0 1 1 11 11 33 xdxx ， 对于 1 2 0 1x dx 无 法找到原函数，从而考虑其几何意义、 222 110yxxyy， 1 2 0 1x dx 为单位圆面积 的 1 4 ，即 1
2、 2 0 1 4 x dx ，所以 1 1 143 3412 f x dx 答案、B 2、 4 0 cos2 cossin x dx xx （ ） A. 221 B. 21 C. 21 D. 22 解、被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。 22 cos2cossin =cossin cossincossin xxx f xxx xxxx ，所以、 44 0 0 cossinsincos|21xx dxxx 答案、C 3、设 2 x f x ，则 4 4 f x dx _ 解、本题可以通过对x的符号进行分类讨论，将 f x写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解， 但若观察到 f x
3、为偶函数，则可利用对称性得、 44 4 0 40 230 222 ln2ln2 x x f x dxdx 答案、 30 ln2 4、已知 2 2 0 316xk dx ，则k （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解、 2 232 0 0 382xk dxxkxk 8216k 解得4k 答案、D 5、由曲线 2 xt yt （t为参数）和2yx围成的封闭图形的面积等于_ 解、所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为 2 yx，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为 1,2xx ，结合图象可得、 2 2232 1 -1 119 22| 232 Sxx dxxxx 答案、 9 2 6、设
4、 2, 0,1 1 ,1, xx f x xe x （其中e为自然对数的底数） ，则 yf x的图像与0,xxe以及x轴 所围成的图形的面积为_ 解、作出图像可得 f x恒在x轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以 要拆成两个定积分、 1 23 1 01 01 1114 ln1 333 e e Sx dxdxxx x 答案、 4 3 7、曲线 2 y x 与直线1,4yxx所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln2 B. 2ln2 C. 4ln2 D. 42ln2 解、 作出图像观察可得、 所围成的区域上方曲线为1yx， 下方为 2 y x ， 自变量的取值范围为,
5、E F， 其 中 2 :2 1 y Exx yx ，4,0F， 所 以 所 求 面 积 为 4 24 2 2 21 12ln42ln2 2 Sxdxxxx x 答案、D 8、如图所示，正弦曲线sinyx，余弦曲线cosyx与两直线0,xx所围成的阴影部分的面积 为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 解、观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在0,中， sinyx与cosyx的 交 点 横 坐 标 为 4 x ， 所 以0, 4 时 ， 余 弦 函 数 位 于 上 方 ， 4 1 0 cossinSxx dx ，在, 4 处，正弦函数位于上方，
6、2 4 sincosSxx dx 所以 4 12 0 4 cossinsincos2 2SSSxx dxxx dx 答案、D 9、已知ab，若函数 ,f xg x满足 bb aa f x dxg x dx ，则称 ,f xg x为区间, a b上的 一组“等积分”函数，给出四组函数、 2,1f xx g xx sin ,cosf xx g xx 22 3 1, 4 f xxg xx 函数 ,f xg x分别是定义在1,1上的奇函数且积分值存在 其中为区间1,1上的“等积分”函数的组数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解、 111 2 1 0 110 1 2442 2 f x d
7、xx dxxdxx 11 21 1 11 1 12 2 g x dxxdxxx 11 11 f x dxg x dx 所以为“等积分” f x为奇函数， g x为偶函数 1 1 0f x dx 111 1 0 110 cos2cos2sin2sin1g x dxxdxxdxx 由几何含义可得、 11 2 11 1 1 2 f x dxx dx 11 23 1 1 11 311 442 g x dxx dxx 11 11 f x dxg x dx 所以为一组“等积分”函数 因为 ,f xg x为奇函数，所以 11 11 0f x dxg x dx 为一组“等积分”函数 综上所述，为“等积分”函数
8、 答案、C 10、已知函数 1 x f xe，直线 12 :1,:1 t lxlye（t为常数，且01t ） ，直 线 12 ,l l与函数 f x的图像围成的封闭图形如图中阴影所示， 当t变化时阴影部分的面积的 最小值为_ 解、 f x与 2 l的交点为、 111 txt f xeee ，解得、xt 所以阴影面积 1 12 0 1111 t txxt t SSSeedxeedx 1 0 t txxt t eedxee dx 1 0 231 txtxttt t e xeee xteee 设 231 tt S tteee ，则 221 ttt S tteeet S t在 1 0, 2 单调递减，在 1 ,1 2 单调递增 2 min 1 211 2 S tSeee 答案、 2 1e
