1、 专题 27 三角函数的值域与最值专项训练 1、已知向量 cos ,sin3cos,cos3sin , sin,axxxbxxxf xa b （1）求函数 f x的单调递增区间 （2 2）当）当, 6 4 x 时，求时，求 f x的取值范围的取值范围 解、 （1） coscos3sinsin3cossinf xa bxxxxxx 22 cossin2 3sin cosxxxx cos23sin22cos 2 3 xxx 5 2222 336 kxkkxkkZ 单调递增区间为、 5 , 36 kkkZ （2）解、由（1）得、 2cos 2 3 f xx , 6 4 x 5 2,20, 3 236
2、 xx 3 cos 2,1 32 x 2cos 23,2 3 f xx 2、已知函数 cos 22sinsin 344 f xxxx （1）求函数 f x的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数 f x在区间, 12 2 的值域 解、 （1） cos 22sinsin 344 f xxxx 132222 cos2sin22sincossincos 222222 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 1331 cos2sin2cos2sin2cos2 2222 xxxxx sin 2 6 x T 对称轴方程、2 6232 k xkxkZ （2）解、 sin
3、2 6 f xx , 12 2 x 5 2, 636 x 3 sin 2,1 62 f xx 3、函数 2 7 cossincos2 4 yxxx的最大值为_ 解、解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观 察可得cosx次数较低， 所以不利于转化， 而 2 sin,cos2xx均可以用cosx进行表示， 确定核心项为cosx， 解析式变形为 22 7 cos1cos2cos1 4 yxxx，化简后为 2 2 71 coscoscos2 42 yxxx ，当 1 cos 2 x 时， max 2y 答案、2 4、设函数 sincos2f xxx，若,
4、 6 2 x ，则函数 f x的最小值是_ 解、 2 sincos2sin12 sinf xxxxx 设sintx，由, 6 2 x 可得、 1 sin,1 2 x ，从而0,1t 2 2 19 212 48 yttt ，所以 9 0, 8 y 所以最小值为0y 答案、0 5、函数 3sin 2sin x f x x 的值域为_ 解、令sintx，可得1,1t 35 1 22 t y tt 1,1t 21,3t 55 ,5 23t 52 1,4 23 y t 答案、 2 ,4 3 6、函数 2sin cos x f x x 的值域为_ 解、可变形为 2sin 0cos x f x x ，且 2
5、sin 0cos x x 可视为0,2与cos ,sinxx连线的斜率k的取值范围， cos ,sinxx为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2lykx与圆 22 1xy有公共点的k的范 围。所以 2 2 1 1 O l d k ，解得、3k 或3k ，所以 ,33,f x 答案、 ,33, 7、 设函数 sin 2, 66 f xxxa 的值域是 1 ,1 2 ， 则实数a的取值范围是_ 解、本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a计算角2 6 x 的范围为,2 66 a ， 可知 1 62 f ，值域中最大值为 1，所以说明,2 66 a 经过 2 ，同时范围不能超过 7 6 （否 则最小
6、值就要小于 1 2 ） ，从而可得 7 2 266 a ，解得、 62 a 答案、 62 a 8、 已知函数 2 cossin cos 2 a f xaxbxx的最大值为 1 2 ， 且 3 34 f ， 则 3 f （ ） A. 1 2 B. 3 4 C. 1 2 或 3 4 D. 1 2 或 3 4 解、 2 1cos21 cossin cossin2 2222 axa f xaxbxxabx 22 11 cos2sin2sin 2 22 axbxabx 所以可得、 22 max 11 22 f xab 另一方面、 2 133 cossincos 33332444 a fabab 整理可得
7、、 22 1 33 ab ab ，解得、 3 0 2 , 1 1 2 a a b b 当 0 1 a b 时， 3 sincos 3334 f 当 3 2 1 2 a b 时， 2 313 cossincos0 3232334 f 3 f 的值为 1 2 或 3 4 9、当0 2 x 时，函数 2 1cos28sin sin2 xx f x x 的最小值为_ 解、考虑将所有项转变为关于2x的三角函数，即 5 cos2 1 cos24 1 cos25 3cos2 3 3 sin2sin20 sin2 x xxx f x xxx ，从而 想 到 分 式 与 斜 率 的 关 系 ， 5 cos2 3
8、 sin2 x x 可 视 为 5 0, sin2 ,cos2 3 xx ， 结 合0 2 x 可 得 s i n 2 , c os 2xx为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得、最小值为 4 答案、4 10、求函数 sincossin cos1f xxxxx的值域 解、 22 22 11 sin cossincossincossincos1 22 xxxxxxxx 21 sincossincos11 2 f xxxxx 21 sincos2 sincos12 2 xxxx 21 sincos12 2 xx 因为sincos2sin2, 2 4 xxx sincos1xx时， max2f x 当sincos2xx 时， min 1 2 2 f x 所以可得、 f x的值域为 1 2,2 2 11、求 2sin 2, 44 4 f xxx 的值域 解、设2 4 tx 当, 4 4 x 时， 3 2, 444 tx 22 sin, 22 t 2, 2f x 12、求 2 2 sincos2, 63 f xxxx 的值域 解、 22 sin1sin2sinsin1f xxxxx 设sintx 2 , 63 x 1 ,1 2 t 2 2 13 1 24 yttt 3 ,3 4 y ，即 f x的值域为 3 ,3 4
