1、7 向量应用举例 平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结中去探究、领会和总结.1.1.了解直线法向量的概念了解直线法向量的概念.2.2.掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解掌握利用向量方法解决平面几何
2、问题，体会解析法和向量方法的区别与联系析法和向量方法的区别与联系.(重点重点)3.3.会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实际问题决实际问题.（难点）（难点）问题问题1 1 用向量方法解决平面几何问题的基本思用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？路是什么？几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化.探究点探究点1 1 点到直线的距离公式点到直线的距离公式仓库仓库铁路铁路仓库仓库l.M点到直线的距离点到直线的距离l一定是垂一定是垂线段哟！线段哟！lM.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线
3、的距离点到直线的距离已知点已知点M(x0,y0)和直线和直线l:Ax+By+C=0.则点则点M到直线到直线 l 的距离的距离d为为:0022AxByCdAB点到直线的距离公式点到直线的距离公式问题问题2 2 如何借助向量的方法来证明点到直线的距离如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？公式？.oxyM(x0,y0)P(x,y)n00M,P,:ABC0,B,Axyx ylxyv是直线外一定点，是直线上任意一点，由直线可以取它的方向向量=.一般地，称与直线的方向向量垂直的向量为该直线证明：的法向量.ll:Ax+By+C=0 02222000,.,:0:nABnnABABM xylAxByCPM
4、n 于于是是，点点到到直直线线的的距距离离等等于于向向量量在在方方向向上上射射影影的的长长度度.oxyM(x0,y0)P(x,y)n 000222200002222,ABdPM nxx yyABABA xxB yyAxByAxByABAB 0022,.又又因因为为为为 上上任任意意一一点点，所所以以故故P x ylcAxByAxBycdAB1.1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式在使用该公式前，需将直线方程化为一般式2.2.A=0A=0或或B=0B=0，此公式也成立，但当，此公式也成立，但当A=0A=0且且B=0B=0时一时一般不用此公式计算距离般不用此公式计算距离特别提醒特别提醒:当当
5、A=0=0或或B=0=0时时,直线方程为直线方程为y=y1 1或或x=x1 1的形式的形式.QQx=x1M(x0,y0)-01MQyy-01MQxx yo y=y1(x0,y0)xM(x0,y1)(x1,y0)例例求求点点到到直直线线：的的距距离离.11 2210P,lxy 0022122112 1 1 215211 25 由由点点到到直直线线的的距距离离公公式式，得得所所以以点点到到线线的的：直直离离为为解解距距x,y,A,B,C.d,P,l.【总结提升总结提升】认清公式的形式，找准每一个变认清公式的形式，找准每一个变量代表的数值，准确代入，精确量代表的数值，准确代入，精确计算计算.P 0,
6、3,3x+4y=0.P-2,0,4x+3y-1=0.P 0,0,4x+7y=37.P-1,-2,x+y=0.P 2,3,x-1=0.P 1,-1,y+2=0.求下列各点到相应直线的距离求下列各点到相应直线的距离9537 656532211【变式练习变式练习】125探究点探究点2 2 几何中的应用举例几何中的应用举例例例2 2 如图如图,已知已知ADAD，BEBE，CFCF分别是分别是ABCABC的三条高，的三条高，求证：求证：ADAD，BEBE，CFCF相交于同一点相交于同一点.【解题关键解题关键】将相关的线段用向量表示，利用向将相关的线段用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则，量的
7、三角形法则和平行四边形法则，结合题目中的已知条件进行运算，结合题目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言得出结果，再翻译成几何语言 .CDEFBAH 两两式式相相减减，得得，即即所所以以，又又所所以以，三三点点共共线线，在在上上.CHCBCACH AB,CHABCHAB,CFAB,CHFHCF00 :设设交交于于点点，以以下下只只需需证证明明点点在在上上.因因为为所所以以又又，证证明明0000AD,BEHHCFADBC,BECA,AH CB,BH CA.CHCACBCH CBCA CB,CHCBCACH CACB CA CDEFBAH简述：简述：1.1.建立平面几何与向量的联系，用向
8、量表示问题中建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题离、夹角等问题.3.3.把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何元素成几何元素.问题问题3 3 根据例题你能总结一下利用向量法解决平根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？面几何问题的基本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：形到向量形到向量向量的运算向量的运算向量和数到形向量和数到形B
9、O为平面上的定点，为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的是平面上不共线的三点三点.若若(-)(+-2)=0,则则ABC是是()A.以以AB为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形B.以以BC为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形C.以以AB为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形D.以以BC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形OA OB OC OB OC 变式练习变式练习.设设M为为 的中点，则有的中点，则有所以所以所以所以ABC中，中，边上的中线边上的中线AM也是也是CB边上的高，边上的高，所以所以ABC是以是以BC为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形.()2OBOCOBOCOA 12()2CB
10、ABACCBABAC 1,2AMABAC 220.OBOCOBOCOACBAM CBCB解析解析问题问题4 4 物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种运算运算?提示：提示：体现了向量的加减法的运算体现了向量的加减法的运算.问题问题5 5 在物体的运动过程中在物体的运动过程中,是否力越大是否力越大,做的功就做的功就越多越多?提示：提示：不一定不一定.力所做的功不仅取决于力的大小力所做的功不仅取决于力的大小,还还和力与物体运动方向的夹角有关系和力与物体运动方向的夹角有关系.探究点探究点3 3 物理中的应用举例物理中的应用举例例例3 3 一架飞机从一架飞机从A地
11、向北偏西地向北偏西6060的方向飞行的方向飞行 1 0001 000km到达到达B地，然后向地，然后向C地飞行地飞行.设设C地恰好在地恰好在A地的南偏西地的南偏西6060，并且，并且A，C两地相距两地相距2 0002 000km，求，求飞机从飞机从B地到地到C地的位移地的位移.BADC6060o o6060o o西西南南东东北北 【解题关键解题关键】要求飞机从要求飞机从B B地到地到C C地的位移，需要解决两个问题：地的位移，需要解决两个问题：利用解三角形的知识求线段利用解三角形的知识求线段BCBC的的长度长度.求求BCBC与基线的夹角与基线的夹角.60km60km601 000km13090
12、23sin60 o oooooooooo o设设 在在东东西西基基线线和和南南北北基基线线的的交交点点处处.依依题题意意，的的方方向向是是北北偏偏西西，；的的方方向向是是南南偏偏西西，.所所以以过过点点 作作东东西西基基线线的的垂垂线线，交交于于，则则为为正正三三角角形形.所所以以解解：，.所所以以.=2 000=2 000AABABACACBAC.BACDABDBDCDCBDBCDBDAABCBCAC 1 000 3 km3km23 km30o o=,=1 000.=,=1 000.答答：飞飞机机从从 地地到到 地地的的位位移移大大小小是是10001000，方方向向是是南南偏偏西西BCBC.
13、变式训练变式训练 一架飞机向北飞行一架飞机向北飞行300 km300 km后，改变航向向西飞后，改变航向向西飞行行300 km300 km,则飞行的路程为则飞行的路程为 ,两次位移的两次位移的和的方向为和的方向为,大小大小.600 km北偏西北偏西45300 km2向量解决航空、航海问题方法：向量解决航空、航海问题方法：1.1.按照题意正确作图按照题意正确作图.2.2.分析图形的边角关系分析图形的边角关系.3.3.利用平面几何的知识求出答案利用平面几何的知识求出答案.30【解题关键解题关键】本题是向量在物理学中本题是向量在物理学中“力学问题力学问题”上应用的例子，可以清上应用的例子，可以清楚地
14、看出向量的直接作用，根据向量楚地看出向量的直接作用，根据向量数量积的几何意义，可知对物体所做数量积的几何意义，可知对物体所做的功即是表示力的向量和表示位移的的功即是表示力的向量和表示位移的向量的数量积向量的数量积.例例4 4 已知力已知力 与水平方向的夹角为与水平方向的夹角为3030（斜向上），（斜向上），大小为大小为50 50 N，一个质量为，一个质量为8 8 kg的木块受力的木块受力 的作用在的作用在动摩擦因数动摩擦因数=0.02=0.02的水平平面上运动了的水平平面上运动了20 20 m.问力问力 和摩擦力和摩擦力 所做的功分别为多少？（所做的功分别为多少？（g=10 g=10 m/s2
15、 2）FFFfF1F2F fG 180250 021 1 Ncos1801 1 20122 J3JJ o o所所以以，摩摩擦擦力力 的的大大小小为为因因此此答答 和和 所所做做的的功功分分别别是是5 50 00 0和和-2 22 2ffGF.f sf s.Ff.1135020500 3 J215025 N2o oo o设设木木块块的的位位移移为为，则则cos 30cos 30将将力力 分分解解，它它在在铅铅垂垂线线方方向向上上的的分分力力 的的大大小小为为sin 0sin 0解解：3 3sF sFs.FFFF,向量解决物理问题方法：向量解决物理问题方法：1.1.将物理中的矢量用向量表示将物理中
16、的矢量用向量表示.2.2.找出向量与向量的夹角找出向量与向量的夹角.3.3.利用向量的数量积计算功利用向量的数量积计算功.变式训练变式训练 如图，用两条成如图，用两条成120120角的等长的绳子悬挂角的等长的绳子悬挂一个箱子，已知箱子的重量为一个箱子，已知箱子的重量为10 N10 N，则每根绳，则每根绳子的拉力大小是子的拉力大小是.10 N1.1.以原点以原点O O及点及点A A(5,2)(5,2)为顶点作等腰直角三角形为顶点作等腰直角三角形OABOAB,使使A A=90=90,则的坐标为则的坐标为()A.(2,-5)A.(2,-5)B.(-2,5)B.(-2,5)或或(2,-5)(2,-5)
17、C.(-2,5)C.(-2,5)D.(7,-3)D.(7,-3)或或(3,7)(3,7)AB BB【解析】由题意知【解析】由题意知-6=2,-6=2,所以所以=-3.=-3.答案答案:-3:-3-3-312500 m10kmh2 kmh4 4 一一条条河河的的两两岸岸平平行行，河河宽宽 ，一一艘艘船船从从出出发发航航行行到到河河的的正正对对岸岸 处处.航航行行的的速速度度，水水流流的的速速度度 ，问问行行驶驶航航程程最最短短时时，所所用用的的时时间间是是多多少少？.dABv/v/v v2 v1 AB1212210 km/h,2 km/h.如如图图，已已知知，求求vvvvvvvt 思路分析思路分
18、析0,2由由已已知知条条件件得得解解:：v v 2212|96(km/h),vvv 所所以以dtv 0.5603.1(min).|96 本题方法：本题方法：1.1.计算速度的合速度计算速度的合速度.2.2.计算时间必须使速度的方向和位计算时间必须使速度的方向和位移的方向一致移的方向一致.答：行驶航程最短时，所用的时间是答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min.3.1 min.5.5.证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角.ABCO如图所示，已知如图所示，已知O O，ABAB为直径，为直径，C C为为O O上任意一点，不与上任意一点，不与ABAB重合重合.求证求证ACB=90
19、ACB=90.ab 要证要证ACB=90ACB=90，只需证向，只需证向量量 ，即，即 .ACCB 0AC CB 【解题关键解题关键】证明：证明：设设 则则 ，由此可得：由此可得：,AO OB a OCb ,ACa b CBa b AC CBabab 22220,a a b babrr 即即 ，ACB=90.0 0AC CB 所所以以,ACCB 6、已知平行四边形已知平行四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD相交于相交于E，O是平面内任意一点，求是平面内任意一点，求证：证：4.OAOBOCODOE 2.OBODOE 2.OAOCOE 4.OAOBOCODOE 证明证明:因为因为E为为BD的中点，的中点，所以所以同理，同理，所以所以注意注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式用该公式时应先将直线方程化为一般式.1.1.点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：，0022AxByCdAB2.2.掌握用向量方法解决平面几何问题的三个步骤：掌握用向量方法解决平面几何问题的三个步骤：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形不奋苦而求速效，只落得少日浮夸，老来窘隘而已.郑板桥
