1、第 一 章第 一 章集 合 与 简 易 逻 辑集 合 与 简 易 逻 辑1.3 1.3 含绝对值的不等式含绝对值的不等式 和一元二次不等式和一元二次不等式第二课时第二课时题型题型4 二次不等式、分式不等式的解法二次不等式、分式不等式的解法 1.解不等式组.x-xx-x2130862 解：解：由由x2-6x+80，得，得(x-2)(x-4)0，所以所以x2或或x4.由由 得得 所以所以1x5.所以原不等式组的解集是所以原不等式组的解集是(1，2)(4，5).点评：点评：解一元二次不等式，一般先化解一元二次不等式，一般先化二次项系数为正，然后解得其对应的一元二二次项系数为正，然后解得其对应的一元二
2、次方程的两个根，再由此写出不等式的解集；次方程的两个根，再由此写出不等式的解集；分式不等式，一般是先通分，然后对分子分分式不等式，一般是先通分，然后对分子分母分解因式，再根据实数乘除的符号法则化母分解因式，再根据实数乘除的符号法则化为一元二次不等式进行求解为一元二次不等式进行求解.,x-x213,x-x-015 解不等式 解：原不等式可化为 即 即 所以 其解用数轴表示如下：所以不等式的解集是(1，)(2，+).拓展变式拓展变式.x-x-x-x-12232,x-)x-(1112112,x-x-02111,)(x-(x-x-02132,)(x-)(x-(x-0212323 2.解下列不等式：(1
3、)2x3-x2-15x0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30.解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0，把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0,x2=-x3=3顺次标在数轴上,然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集为如图所示的阴影部分.题型题型5 高次不等式的解法高次不等式的解法,25 所以原不等式的解集为x|-x0或x3.(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30 所以原不等式的解集为 x|x-5或-5x-4或x2.2502405)(x-(xx.或x-x-x245 点评：解高次不等式的策略是降次，降次的方法一是分解因式法，二是换元法.本题是利用
4、分解因式，然后根据实数的积的符号法则，结合数轴标根法得出不等式的解集.(原创)解不等式 解：原不等式可化为 即 所以(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)0且x-3,x2，用“数轴标根法”画草图，所以原不等式的解集是(-3，-1(2，4.拓展变式拓展变式.x-xx-16242,)(x(x-x-x032432,)(x(x-)(x-(x03241 3.已知不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x3，求cx2+bx+a0的解集.解法1：注意到一元二次不等式的解集与相应二次方程的根之间的关系，可以知道ax2+bx+c=0的两个根为1，3，即原不等式与(x-1)(x-3)0同解.即x2-4x+30与-
5、ax2-bx-c0同解，因此题型题型6 含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法,k-c-b-a0341 这样目标不等式cx2+bx+a0可变成3x2-4x+10，而方程3x2-4x+1=0的根为 ，1，因此所求不等式的解集为x|x 或x1.解法2：由ax2+bx+c0的解集为x|1x3,可知ax2+bx+c=0的两个实根为1,3,且a0，根据韦达定理有 因为a0，不等式cx2+bx+a0可变成 即3x2-4x+10，解得x 或x1，故原不等式的解集为x|x 或x1.3131,ac,ab-34,xabxac0123131 点评：一元二次不等式与一元二次方程有着千丝万缕的关系，如
6、一元二次不等式解集的边界值等于其对应的一元二次方程的两根，而方程的根又与系数有着联系，因此不等式的边界值与系数也就联系起来了.不同的是要注意一元二次不等式最高次项的符号.已知a0，因为a0 -2x0；(2)当0a1时,原不等式 因为-2-a ，所以-2x ；拓展变式拓展变式.x-x-aaaxx02220222x-x-aaaxx,a)(xa)(x-(x012a1a1 (3)当a0时,原不等式 若-a0时,原不等式-2x-a或x ；若a=-时,原不等式x 且x-2；若a-时,原不等式 x-a或x-2,综上，当0a1时,解集是x|-2x ；当a=0时，解集是x|-2x0；当-a0时，解集是x|-2x
7、-a或x ；当a=-时，解集是x|x 且x-2；当a-时，解集是x|x-a或x-2.,a)(xa)(x-(x01221a12121a1212121212121a1a1 不等式(m-2)x2+2(m-2)x-40对一切实数x都成立，求实数m的取值范围.解：若m=2，不等式可化为-40，这个不等式与x无关，即对一切xR都成立.若m2，这是一个一元二次不等式.由于解集为R，故知抛物线y=(m-2)x2+2(m-2)x-4的开口向下，且与x轴无交点，必有 即参考题参考题,m-002,)(-(m-)(m-m-042424022 解得-2m2.综上，m的取值范围是m|-2m2.1.含参数的二次不等式可从二
8、次项系数与0的大小；判别式与0的大小；一元二次方程的根这三个方面进行分层讨论.2.一元n(n2，nN)次不等式及分式不等式的求解问题也可采用标根分区间法求解.其步骤是：(1)将多项式的最高次项的系数化为正数;(2)将多项式分解为若干个一次因式的积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；(4)根据曲线显现出的多项式值的符号变化规律，写出不等式的解集.一般地，一元n次不等式:(x-a1)(x-a2)(x-an)0 (x-a1)(x-a2)(x-an)0 其中a1a2a3an，把a1，a2，an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如下图所示.右端第一区间(an，+)一定为正，然后正负相间.对于一次因式中有奇次方(大于1)和偶次方的高次不等式，其办法为：“奇次方一穿而过，偶次方穿而不过.”
