1、二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质1 1c是常数是常数,a0)0)1 1一般地一般地,形如形如2 2我们学习过哪些函数我们学习过哪些函数？y=a x+b x+c(a、b、的函数叫做的函数叫做 x 的的二次函数二次函数.知识回顾知识回顾二次函数二次函数y=k x+b (k0)0)y=k x (k0)0)一次函数一次函数变量之间的关系变量之间的关系函数函数反比例函数反比例函数正比例函数正比例函数y=(k0)0)kx3.3.一次函数的图像是一次函数的图像是 4 4.反比例函数反比例函数的图像是的图像是 .双曲线双曲线5.5.二次函数的图像是什么形状呢二次函数的图像是什么形状呢？一条直线一条直线
2、3 3连线连线.1 1列表列表;用描点法画函数图像的主要步骤是用描点法画函数图像的主要步骤是:2 2描点描点;6.6.通常怎样画一个函数的图像通常怎样画一个函数的图像？答答:通常用描点法画一个函数的图像通常用描点法画一个函数的图像.(1)(1)观察观察 y=x2 y=x2 的表达式的表达式,选择适当的选择适当的 x x 值值,并计算相应的并计算相应的 y y 值值,完成下表完成下表:请作出二次函数请作出二次函数 y=x2 的图像的图像xy-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3新知探究新知探究 (2)(2)在直角坐标系在直角坐标系中描点中描点.(3)(3)用光滑的曲线用光滑的曲线顺次连
3、接各点顺次连接各点,便得便得到函数到函数 y=x2 y=x2 的图像的图像.xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2(1)(1)你能描述图像的形状吗你能描述图像的形状吗？二次函数二次函数y=x2的图像形的图像形如物体抛射时所经过的如物体抛射时所经过的路线路线,我们把它叫做我们把它叫做抛物抛物线线y=x2.议一议议一议xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 8
4、7 7y=x2(2)(2)图像与图像与 x x 轴有交点轴有交点 吗吗？如果有？如果有,交点坐交点坐标是什么标是什么？有有,0,00,0 xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2(3)(3)当当x0 x0 x0时呢时呢？当当 x0 x0 x0 时时,y y随着随着x x的增的增大而增大大而增大(4)(4)当当x x取什么值时取什么值时,y,y的的值最小值最小？最小值是什？最小值是什么么？你是如何知道的？你是如何知道的？当当 x=0 x=0 时时,函数函数y y 的值最小的值最小,最小值是最小值是0 0可以观察图像可以观察图
5、像,也也可以分析表达式可以分析表达式xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2是是,対称轴是対称轴是 y y 轴轴-2,4-2,4和和2,42,4;-3,9-3,9和和3,93,9等等等等-1,1-1,1和和1,11,1;(5)(5)图像是轴対称图形吗图像是轴対称图形吗？如果是如果是,它的対称轴是什它的対称轴是什么么？请你找出几対対称？请你找出几対対称点点対称点有很多対称点有很多,如如:xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2二次函数二次函数y=x2y=
6、x2的图像的图像的顶点是原点的顶点是原点,它是图它是图像的最低点像的最低点xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2(6)(6)图像与対称轴有交点吗图像与対称轴有交点吗？抛物线与对称轴的交抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的点叫做抛物线的顶点顶点 二次函数二次函数 y=x2 y=x2 的的图像是一条抛物线图像是一条抛物线,它它的特点是的特点是:xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x21.开口向上开口向上;2.対称轴是対称轴是y轴轴;3.顶点是原点顶点是原点,
7、它是它是图像的最低点图像的最低点作出二次函数作出二次函数 y=-x2 的图像的图像(1)(1)列表列表:x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y-9-9-4-4-1-1-1-1-4-4-9-90 0 (2)(2)在直角坐标系在直角坐标系中描点中描点.(3)(3)用光滑的曲线用光滑的曲线顺次连接各点顺次连接各点,便得便得到函数到函数 y=-x2 y=-x2 的图像的图像.yx-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 3-6-6-7-7-8-8-3-3-4-4-5-5-9-9-1-1-2-2y=-x2(1)(1)二次函数二次函数 y=-x2 的图像是一条的图像是一条抛物线抛物线(2)
8、(2)图像与图像与 x x 轴交于轴交于原点原点(0,0)(0,0)yx-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 3-6-6-7-7-8-8-3-3-4-4-5-5-9-9-1-1-2-2y=-x2(3)(3)当当x 000时，时，y 随随 x 的增大而减小的增大而减小(4)(4)当当 x=0 0时时，y最大值最大值=0 0(5)(5)图像关于图像关于 y 轴对称轴对称yx-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 3-6-6-7-7-8-8-3-3-4-4-5-5-9-9-1-1-2-2y=-x2(6)(6)图像的顶点图像的顶点是是原点原点，它，它是图像的是图像的最高点最高点 二次函数二次
9、函数 y=-x2 的的图像是一条抛物线图像是一条抛物线,它的它的特点是特点是:yx-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 3-6-6-7-7-8-8-3-3-4-4-5-5-9-9-1-1-2-2y=-x21.开口向下开口向下;2.対称轴是対称轴是y轴轴;3.顶点是原点顶点是原点,它是它是图像的最高点图像的最高点2 2顶点坐标顶点坐标;1 1対称轴対称轴;3 3开口方向开口方向;二次函数二次函数 y=y=x2 x2 的图像和性质的图像和性质:y642-2-4-6-55xoy=x2y=x2抛物线抛物线y=x2y=-x2图像图像对称轴对称轴顶点顶点开口方向开口方向增减性增减性最值最值yxoyx
10、o在対称轴左侧在対称轴左侧,y随随x的增大的增大而增大而增大;在対称轴右侧在対称轴右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小y 轴轴开口向开口向上上开口向开口向下下y 轴轴原点最低点原点最低点原点最高点原点最高点当当x=0=0时时,最最大大值为值为0 0在対称轴左侧在対称轴左侧,y随随x的增大的增大而减小而减小;在対称轴右在対称轴右侧侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大当当x=0=0时时,最最小小值为值为0 0相同点相同点:y642-2-4-6-55xoy=x2y=x23.形状完全相同形状完全相同1.顶点都是原点顶点都是原点;2.対称轴都是対称轴都是 y 轴轴;二次函数二次函数 y=y=x
11、2 x2 的图像和性质的图像和性质:差别点差别点:1 1开口方向差别开口方向差别;2 2y y 随随 x x 值的变化趋势差值的变化趋势差别别;3 3最值差别最值差别探究归纳探究归纳y642-2-4-6-55xoy=x2y=x2函数函数 y=-x2 的图的图像与函数像与函数 y=x2 的图的图像关于像关于 x 轴対称轴対称联系联系:1.在在y=x2的图像所在坐标系内作的图像所在坐标系内作二次函数二次函数 y=2x2 的图像的图像 xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2y=2x2(1)(1)二次函数二次函数 y=2x2 y
12、=2x2 的图像是什的图像是什么形状么形状?它的开口方向、対称轴它的开口方向、対称轴和顶点坐标分别是什么和顶点坐标分别是什么?它与二次它与二次函数函数y=x2y=x2的图像有什么相同和差的图像有什么相同和差别别?二次函数二次函数 y=2x2 的图像是抛的图像是抛物线物线,它的开口向上它的开口向上,対称轴対称轴是是y 轴轴,顶点坐标是顶点坐标是(0,0)做一做做一做 二次函数二次函数 y=2x2 y=2x2 的图像在的图像在 y=x2 y=x2 的图像的相同点的图像的相同点:対称轴是対称轴是 y y 轴轴;开口向上开口向上;顶点坐标是顶点坐标是原点原点xy-1-1-2-2-3-3O1 12 2
13、3 33 32 21 16 65 54 49 98 87 7y=x2y=2x2 二次函数二次函数 y=2x2 y=2x2 的图像的图像在在 y=x2 y=x2 的图像的内侧的图像的内侧,说说明函数值的增长速度较快明函数值的增长速度较快,即开口程度差别即开口程度差别,x2,x2的系数的系数越大越大,抛物线的开口越小抛物线的开口越小 差别点差别点:yx-1-1-2-2-3-3O1 12 2 3 3-6-6-7-7-8-8-3-3-4-4-5-5-9-9-1-1-2-2y=-x22.2.在右图中作出二次函数在右图中作出二次函数 y=-2x2y=-2x2的图像的图像,它与它与y=-x2 y=-x2 的
14、图像有什么相同和差别的图像有什么相同和差别？y=-2x2 差别点是开口程度差别差别点是开口程度差别,x2 的系数越大的系数越大,抛物线的开口抛物线的开口越大越大 二次函数二次函数 y=-2x2 y=-2x2 与与y=-x2 y=-x2 的图像的相同点是开口的图像的相同点是开口向下向下,対称轴是対称轴是 y y 轴轴,顶顶点坐标是原点点坐标是原点;总结总结:二次函数二次函数y=ax2 a0的图像是一条关于的图像是一条关于y轴轴対称的曲线対称的曲线,这样的曲线叫抛物线曲线的対称这样的曲线叫抛物线曲线的対称轴叫做抛物线的対称轴轴叫做抛物线的対称轴,抛物线与対称轴的交点抛物线与対称轴的交点叫做抛物线的
15、顶点叫做抛物线的顶点一般地一般地,抛物线抛物线y=ax2a0具有以下性质具有以下性质:抛物线抛物线开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标 y随随x的变化情况的变化情况最值最值y=ax2（a0）y=ax2（a0）y轴轴x=0y轴轴x=00,00,0向上向上向下向下x0时,y随x的增大而增大x0时,y随x的增大而减小当x=0时,最大值为0当x=0时,最小值为01 1、不画出函数、不画出函数 的图像的图像,请指出它的対称轴、请指出它的対称轴、顶点坐标和开口方向顶点坐标和开口方向29xy対称轴是対称轴是x=0,顶点坐标是顶点坐标是0,0,开口向下开口向下2 2、先指出抛物线、先指出抛物线 的対称
16、轴、顶点坐标和的対称轴、顶点坐标和开口方向开口方向,然后再画出它的图像然后再画出它的图像231xy対称轴是対称轴是x=0,顶点坐标是顶点坐标是0,0,开口向下开口向下x-303y-30-312-1-2012-1-2-33-3随堂练习随堂练习3 3、已知、已知a a1,1,点点a a1,y11,y1、a,y2a,y2、a a1,y31,y3都在函数都在函数y=x2 y=x2 的图像上的图像上,那么那么 A Ay1y1y2y2y3 By3 By1y1y3y3y2y2 C Cy3y3y2y2y1 Dy1 Dy2y2y1y1y3y3C C观察图像观察图像,在在 y 轴的左侧轴的左侧 y 随随 x 的增
17、的增大而减小大而减小,所以所以 y3y2y1.y1y2y3也可以用特殊值法计算得到答案也可以用特殊值法计算得到答案分析分析:用数形结合的思想解决问题用数形结合的思想解决问题同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油考试加油!奥利给奥利给结束语结束语第二十四章圆244弧长和扇形面积专题课堂专题课堂(十一十一)圆中常见的辅助线归类圆中常见的辅助线归类D B 3如下图是一个古代车轮的碎
18、片如下图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点连接外圆上的两点A,B,并使并使AB与车轮内圆相切于点与车轮内圆相切于点D,作作CDAB交外圆于点交外圆于点C.测得测得CD10 cm,AB60 cm,那么这个车轮的外圆半径为那么这个车轮的外圆半径为_cm.504如下图如下图,已知点已知点O为两个同心圆的公共圆心为两个同心圆的公共圆心,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C,D两点两点(1)求证求证:ACBD;(2)假设假设AB8,CD4,求圆环的面积求圆环的面积解解:(1)过点过点O作作OEAB于点于点E,AEBE,CEDE,AECEBEDE,ACBD(2)
19、连接连接OA,OC,在在RtAOE与与RtOCE中中,OE2OA2AE2,OE2OC2CE2,OA2AE2OC2CE2,OA2OC2AE2CE2,AB8,CD4,AE4,CE2,OA2OC212,圆环的面积为圆环的面积为OA2OC2(OA2OC2)125如下图如下图,AB是半圆的直径是半圆的直径,D是弧是弧AC的中点的中点,ABC50,那么那么DAB等于等于A55 B60 C65 D706(牡丹江中考牡丹江中考)如下图如下图,AB为为 O的直径的直径,C,D为为 O上的两点上的两点,假设假设AB6,BC3,那么那么BDC_度度C307(南充中考南充中考)如下图如下图,在在RtABC中中,ACB
20、90,以以AC为直径作为直径作 O交交AB于点于点D,E为为BC的中点的中点,连接连接DE并延长交并延长交AC的延长线于点的延长线于点F.(1)求证求证:DE是是 O的切线的切线;(2)假设假设CF2,DF4,求求 O直径的长直径的长解解:(1)如下图如下图,连接连接OD,CD,AC为为 O的直径的直径,BCD是直角三角形是直角三角形,E为为BC的中点的中点,BECEDE,CDEDCE,ODOC,ODCOCD,ACB90,OCDDCE90,ODCCDE90,即即ODDE,DE是是 O的切线的切线(2)设设 O的半径为的半径为r,ODF90,在在RtODF中中,OD2DF2OF2,即即r242(
21、r2)2,解得解得r3,O的直径为的直径为6解解:(1)BC与与 O相切证明相切证明:连接连接OD.AD是是BAC的平分线的平分线,BADCAD.又又ODOA,OADODA.CADODA.ODAC.ODBC90,即即ODBC.又又BC过半径过半径OD的外端点的外端点D,BC与与 O相切相切9(威海中考威海中考)已知已知:AB为为 O的直径的直径,AB2,弦弦DE1,直线直线AD与与BE相相交于点交于点C,弦弦DE在在 O上运动且保持长度不变上运动且保持长度不变,O的切线的切线DF交交BC于点于点F.(1)如下图如下图,假设假设DEAB,求证求证:CFEF;(2)如下图如下图,当点当点E运动至与
22、点运动至与点B重合时重合时,试判断试判断CF与与BF是否相等是否相等,并说明理由并说明理由解解:证明证明:如下图如下图,连接连接OD,OE,AB2,OAODOEOB1,DE1,ODOEDE,ODE是等边三角形是等边三角形,ODEOED60,DEAB,AODODE60,EOBOED60,AOD和和BOE是等边三角形是等边三角形,OADOBE60,CDEOAD60,CEDOBE60,CDE是等边三角形是等边三角形,DF是是 O的切线的切线,ODDF,EDF906030,DFE90,DFCE,CFEF(2)相等相等;如下图如下图,点点E运动至与点运动至与点B重合时重合时,BC是是 O的切线的切线,O
23、的切线的切线DF交交BC于点于点F,BFDF,BDFDBF,AB是直径是直径,ADBBDC90,FDCFDBDBFC,FDCC,DFCF,BFCFC(3248)12(扬州中考扬州中考)如下图如下图,已知平行四边形已知平行四边形OABC的三个顶点的三个顶点A,B,C在以在以O为圆心的半圆上为圆心的半圆上,过点过点C作作CDAB,分别交分别交AB,AO的延长线于点的延长线于点D,E,AE交半圆交半圆O于点于点F,连接连接CF.(1)判断直线判断直线DE与半圆与半圆O的位置关系的位置关系,并说明理由并说明理由;(2)求证求证:CFOC;假设半圆假设半圆O的半径为的半径为12,求阴影部分的周长求阴影部
24、分的周长解解:(1)结论结论:DE是是 O的切线理由的切线理由:四边形四边形OABC是平行四边形是平行四边形,又又OAOC,四边形四边形OABC是菱形是菱形,OAOBABOCBC,ABO,BCO都是等边三角形都是等边三角形,AOBBOCCOF60,OBOF,OGBF,AF是直径是直径,CDAD,ABFDBGDBGC90,四边形四边形BDCG是矩形是矩形,OCD90,DE是是 O的切线的切线同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念
25、，有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油考试加油!奥利给奥利给结束语结束语第第2323章章1.1.相似三角形相似三角形1 1、什么叫相似多边形呢、什么叫相似多边形呢？2 2、你能类似的给相似三角形下一个定义吗、你能类似的给相似三角形下一个定义吗？3 3、什么叫相似比、什么叫相似比？复习回顾复习回顾概念类比概念类比1 1、各角対应相等、各角対应相等,各边対应成比例的两个多边形各边対应成比例的两个多边形 叫相似多边形叫相似多边形2 2、三个角対应相等、三个角対应相等,三条边対应成比例的两个三条边対应成比例的两个 三角形叫相似三角形三角形叫相似三角形相似三角形対应边的比相似三角形対应边的
26、比,叫做相似比叫做相似比.新课导入新课导入从图象中观察并找出以下各対相似三角从图象中观察并找出以下各対相似三角形的対应角和対应边形的対应角和対应边:ADCB图图1CBOAD图图2ABCDEFABCACDAOCBODABCEDF图图3 已知已知:ABC与与 DEF,它们相似吗它们相似吗？记为记为:ABC DEFCABo45o40234DEFo95o406912定义定义:対应角相等対应角相等,対应边成比例的两个三角形対应边成比例的两个三角形,我们称为相似三角形我们称为相似三角形.两个相似三角形用两个相似三角形用”表示表示,读做相似读做相似于于”。A=AA=A、B=BB=B、C=CC=C如如ABC与
27、与ABC相似相似,ABCABCA AB BC C注意注意:対应顶点対应顶点写写 在対应位在対应位置上置上记作记作ABCABC”111111ABACBCA BA CB C=ACBDFE=対应角相等、対应边成比例対应角相等、対应边成比例想一想讨论讨论u、两个全等三角形一定相似吗、两个全等三角形一定相似吗？为什么？为什么？u、两个直角三角形一定相似吗、两个直角三角形一定相似吗？为什么？为什么？两个等腰直角三角形呢？两个等腰直角三角形呢？u、两个等腰三角形一定相似吗、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？为什么？两个等边三角形呢？两个等边三角形呢？A AB BC C3030AABBC C303060606
28、06060605 55 55 5606060606060101010101010等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形303020204545454521 11 1454545455 55 525直角三角形直角三角形等腰直角三角形等腰直角三角形1.1.两个全等三角形两个全等三角形 相似相似2.2.两个等腰直角三角形两个等腰直角三角形 相似相似3.3.两个等边三角形两个等边三角形 相似相似4.4.两个直角三角形和两个等腰三角形两个直角三角形和两个等腰三角形 相似相似一定一定一定一定一定一定不一定不一定小结如下图如下图,DE/BC,AED与与ABC是否是相似的是否是相似的？由此由此,可以得出下面
29、常用的结论可以得出下面常用的结论:平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线,和其他两边或两边和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似ADEBC 1.1.如下图如下图,在在ABCABC中中,点点D D是边是边ABAB的三等分的三等分点点,DE/BC,DE=5.,DE/BC,DE=5.求求BCBC的长。的长。ADEBC1,3315DEADBCABBCDE解解 DE/BCDE/BC，ADEADEABCABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边（平行于三角形一边的直线，和其他两边（相交所构成的三角形与原三角形相似）（相交所构成的三角形与原三角
30、形相似）2.判断判断1.1.如果两个三角形全等如果两个三角形全等,那么它们必相似。那么它们必相似。2.2.假设两个三角形相似假设两个三角形相似,且相似比为且相似比为1,1,那么它们那么它们必全等。必全等。3.3.如果两个三角形与第三个等腰直角三角形相似如果两个三角形与第三个等腰直角三角形相似,那么这两个三角形必相似。那么这两个三角形必相似。4.4.相似的两个三角形一定大小不等相似的两个三角形一定大小不等。3.3.如下图如下图,有一块呈三角形形状的草坪有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长其中一边的长是是20m,20m,在这个草坪的图纸上在这个草坪的图纸上,这条边长这条边长5cm,5cm,其他其
31、他两边的长度都是两边的长度都是3.5cm3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。求该草坪其他两边的实际长度。解解:20m=2000cm 设其他两边的实际长度都是设其他两边的实际长度都是x cm,520005.3x解得解得:14001400cm14mx 所以所以,草坪其他两边的实际长度都是草坪其他两边的实际长度都是14mxx20m3.5cm3.5cm5 通过本节课的学习通过本节课的学习,対本章的知识你有哪些新的认识和体会対本章的知识你有哪些新的认识和体会？同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油考试加油!奥利给奥利给结束语结束语
