1、12.3.2角平分线的判定角平分线的性质角平分线的性质知识回顾知识回顾角平分线的性质？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何表示：如图，OC是AOB的平分线，点P是OC上一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.PD=PE.OABCPDE学习目标学习目标1、探究并证明角的平分线的判定.2、会用角的平分线的判定解决实际问题.3、熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.课堂导入课堂导入思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处
2、500m的位置即可建集贸市场.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？知识点知识点1新知探究新知探究角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何表示：如图，点P是AOB内的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且PD=PE，点P在AOB的平分线OC上.（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.OABCPDE证明：PDOA，PEOB，PEO=PDO=90.在RtPEO和RtPDO中，PE=PD，PO=PO，RtPEORtPDO（HL）.AOC=BOC.点P在AOB的平分线OC上.知识点知识点1新知
3、探究新知探究如图，点P是AOB内的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在AOB的平分线OC上.OABCPDE角的平分线的性质定理与判定定理的关系.知识点知识点2新知探究新知探究点在角的平分线上 （角的内部）点到角 的两边的距离相等 性质定理 判定定理 正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.知识点知识点3新知探究新知探究分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.AABBCCABC知识点知识点3新
4、知探究新知探究过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？过交点作三角形三边的垂线段相等.ABCABBCAC知识点知识点3新知探究新知探究如图，ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P到ABC三边AB，BC，CA的距离相等.BCPDEFMNO证明：过点P作PMBC，PNAC，POAB，垂足分别为点M，N，O.AD为ABC的角平分线，PN=PO.BE为ABC的角平分线，PM=PO.CF为ABC的角平分线，PM=PN.PM=PN=PO，即点P到ABC三边AB、BC、CA的距离相等.A知识点知识点3新知探究新知探究 三角形的三条角平分线相交于三角形内
5、一点，且该点到三角形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.ABCP1、判断题：（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分AOB.（）（2）如图2，若QMOA于点M，QNOB于点N，则OQ平分AOB.（）跟踪训练跟踪训练新知探究新知探究OBAM图2NOBAQM图1NQ随堂练习随堂练习1如图，P是ABC外部一点，PDAB，交AB的延长线于点D，PEAC，交AC的延长线于点E，PFBC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：点P在DBC的平分线上；点P在BCE的平分线上；点P在BAC的平分线上.其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3D
6、本题源自教材帮CAEBDFP随堂练习随堂练习2 分析：AD是BAC的平分线.（角的平分线的判定）DEAB，DFAC，DE=DF.（三角形全等的判定）RtDEBRtDFC.（直角三角形全等”HL“）BE=CF，DB=DC.如图，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F且DB=DC.求证：AD是BAC的平分线.CEAFDB随堂练习随堂练习2 证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，BED=CFD=90.在RtBDE和RtCDF中，BE=CF，DB=DC，RtBDERtCDF（HL）.DE=DF.点D在BAC的平分线上，即AD是BAC的平分线.如图，BE=CF，DEAB的延长线于点E
7、，DFAC于点F且DB=DC.求证：AD是BAC的平分线.CEAFDB随堂练习随堂练习3 分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE.（角的平分线的判定）OB、OC分别平分ABC和ACB.（角的平分线的性质）OBC=OBA，OCB=OCA.（三角形内角和定理）转化为 BAC和BOC的关系.如图，O是ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若BAC=70，则BOC=（）.随堂练习随堂练习3125证明：OF=OD=OE，OB、OC分别平分ABC和ACB.BAC=70，ABC+ACB=180-BAC=110.OBC+OCB=（ABC+
8、ACB）=55.BOC=180-（OBC+OCB）=125.21如图，O是ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若BAC=70，则BOC=（）.随堂练习随堂练习4如图，在四边形ABCD中，ADC+ABC=180，BC=DC，CEAD，交AD的延长线于点E，CFAB于点F.求证：AC平分BAD.EABCDF 分析：AC平分BAD.（角的平分线的判定）CF=CE.（全等三角形的性质）CFBCED.（全等三角形的判定）ADB+ABC=180，BC=DC（转化已知条件）.随堂练习随堂练习4证明：ADC+ABC=180，ADC+EDC=180，ABC=E
9、DC.CEAD，CFAB，CED=CFB=90.在BCF和DCE中，CFB=CED，FBC=EDC，BC=DC，BCFDCE（AAS）.CF=CE，即AC平分BAD.如图，在四边形ABCD中，ADC+ABC=180，BC=DC，CEAD，交AD的延长线于点E，CFAB于点F.求证：AC平分BAD.EABCDF课堂小结课堂小结角平分线的判定学会用添加辅助线的方法解题判定定理应用角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题拓展提升拓展提升1如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.求证：AE是DAB的平分线.分析：AE是DAB的平分线.（角的
10、平分线的判定）点E到AB、AD的距离相等（BE=FE）.（等量代换）BE=CE，EF=CE.（角的平分线的性质）DE平分ADC，DFE=C=90.ABCED拓展提升拓展提升1证明：过点E作EFAD于点F，B=C=90，DCEC，EBAB.DE平分ADC，EC=EF.E是BC的中点，EC=EB.又EFAD，EBAB，点E在BAD的平分线上，即AE是DAB的平分线.如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.求证：AE是DAB的平分线.ABCEDF拓展提升拓展提升2如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在MON的内部，AOB的外部有一点P，且AP=B
11、P，APB=120.求证：点P在MON的平分线上.分析：（1）过点P分别向OM、ON作垂线段，利用角的平分线的判定来证明结论；（2）等角加（减）等角，其和（差）仍然是等角；（3）证明两条线段相等利用三角形全等的性质.OABPMN 证明：过点P分别作PCOM，PBON，垂足分别为C，D，则ACP=BDP=90.在四边形OCPD中，CPD=360-OCP-COD-ODP=120，APB=CPD.APB-APD=CPD-APD，即APC=BPD.在APC和BPD中，APC=BPD，ACP=BDP，AP=BP，APCBPD（AAS）.PC=PD，即点P在MON的平分线上.拓展提升拓展提升2OABPMNDC
